立体几何动点大题4类通关
1．如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，由此求得平面的法向量与，利用空间数量积判断两向量的关系，从而证得平面；
（2）利用（1）中结论求得平面与平面的法向量，利用空间数量积求角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值；
（3）设，从而得到，再由它们所成角的余弦值为得到关于的二次方程，解之即可.
【详解】（1）在三棱棱中，底面，，易得两两垂直，故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为点分别为棱的中点，是线段的中点，，
则，
则，,
设平面的一个法向量，则，即，
令,则，故，
所以，故，
又平面，所以平面.
.
（2）由（1）得，
设平面的一个法向量，则，
令，则，得，
易知平面，故设平面的一个法向量，
设平面与平面的平面角为，则由图形易知为锐角，
故，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设，则，
故
则，解得或（舍去），
故，即线段的长为.
2．如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在使且，其中是线段靠近的四等分点，是线段靠近的四等分点.
【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面；
（2）假设存在存在符合题意，建立空间直角坐标系，利用向量的方法保证 且，进而确定确定的位置.
（1）
，且平面
又平面，
矩形中，
又，则与相似，则
．；
又，平面；
（2）
，且平面．又，
则可以D为原点分别以DA、DC、DS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知
，
假设存在满足且．
在线段上 ，可设
的坐标
在线段上，可设
则．
要使且，则，
又，
可得，解得 ．
故存在使且，
其中是线段靠近的四等分点，是线段靠近的四等分点.
3．如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．
（1）与能否垂直？说明理由；
（2）当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围．
【答案】（1）不能．见解析；（2）
【分析】（1）以分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，进而得到，结合向量的数量积的运算，即可求解；
（2）求得，求得，根据，设，化简得到，再由题设条件和二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，菱形中，于，设,
以分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，
（1）因为，
可得，所以与不能垂直.
（2）因为，所以，
由，所以，则，
又由，
所以，
因为，设，
因为，所以，所以，
所以，
因为，可得，
所以异面直线与所成角的取值范围.
【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系中的应用，以及异面直线所成角的求解，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
4．如图所示正四棱锥，P为侧棱SD上的点，且．
(1)求证：；
(2)求直线SC与平面ACP所成角的正弦值；
(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得面，即，从而利用线面垂直的判定定理可得面，由此得；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的长度，从而得到各点的坐标，再求出与平面ACP的一个法向量为，利用向量的数量积运算即可求得直线SC与平面ACP所成角的正弦值；
（3）假设存在，且，由此求得，再由平面PAC得，从而求得，由此可得的值.
（1）
连结，连结，如图，
因为四棱锥是正四棱锥，所以面，
又面，所以，
在正方形中，，
又面，所以面，
因为面，所以.
（2）
由（1）知两两垂直，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
则由平面几何知识易知，，，
所以，则，，
因为，所以，
故，
设平面ACP的一个法向量为，则，即，
令，则，故，
设直线SC与平面ACP所成角为，则，
所以直线SC与平面ACP所成角的正弦值为.
（3）
假设上存在点满足题意，不妨设，
则，
因为平面PAC，所以，即，故，
所以，则，
所以.
5．如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．
(1)若平面，求证：为的中点；
(2)若是直线与平面的交点，试确定的值；
(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）由线面平行的性质得到线线平行，从而证明出结论；
（2）建立空间直角坐标系，设出，利用空间向量表达出，求出平面的法向量，利用，列出方程，求出的值；
（3）在第二问的基础上，得到与的夹角的余弦值的绝对值为，从而列出方程，求出，求出平面的法向量，进而求出点到平面的距离，利用三角形面积公式求出，由比例关系求出，从而求出三棱锥体积.
【详解】（1）连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为分别是线段的中点，
所以为的中点
（2）取得中点，
因为四棱锥的底面为菱形，，
所以为等边三角形，故，
因为底面，平面，
所以，
所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，分别是线段，的中点，，
则，
则，
设，即，设，则，
解得：，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
因为是直线与平面的交点，所以，
故，
因为，解得：，
故.
（3）由（2）知：平面的法向量为，
设，则，
直线与平面所成角的正弦值为，
故与的夹角的余弦值的绝对值为，
即
，
因为，解得：，故，，
，
设平面的法向量为，
则
令，则，
故，又，
故点到平面的距离为，
在中，，，
所以，
因为，所以，
由三角形面积公式可知：，
，
所以
所以.
6．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为的中点．
.
(1)若点M在线段上，试确定点M的位置使得直线平面．并证明；
(2)若，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)为的中点，证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用中位线定理及矩形的性质证得且，由此证得，再利用线面平行的判定定理即可证得平面；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再利用空间向量的数量积的坐标表示求得平面与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）为的中点，证明如下：
记为的中点，连接，如图，
因为为的中点，所以且，
又因为四边形是矩形，所以且，故且，
又因为E为的中点，所以且，
故四边形是平行四边形，故，
又面，面，所以平面．
.
（2）在平面内过作轴垂直于，
因为平面，则，轴，
故以为坐标原点，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
因为，则，故，
所以，
则，
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
.
7．在多面体中，平面为正方形，，，，二面角的平面角的余弦值为，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面，然后根据面面垂直的判定定理即得；
（2）由题可得是二面角的平面角，作于点，根据面面垂直的性质可得平面，建立空间直角坐标系，利用坐标法结合面面角的向量求法可得面面角的夹角的余弦值，然后利用换元法结合对勾函数的性质即得.
【详解】（1）∵，，，
∴，即，
又∵在正方形中，，
且，平面，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（2）由（1）知，是二面角的平面角，
作于点，则，，且平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，
取中点，连接，则，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
∴
，
令，则根据对勾函数的性质可得或，
∴，
∴；
当时，；
∴，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围为.
8．如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）
(1)若，设平面面，求证：；
(2)当平面与平面夹角为，试确定点的位置.
【答案】(1)证明见解析；
(2)为中点.
【分析】（1）由线面垂直、圆的性质有、，再由线面垂直的判定及性质得，进而有面，最后由线面垂直的性质、射影定理及线面平行的判定和性质证结论；
（2）构建空间直角坐标系求的坐标，设，可得，再分别求出面、面的法向量，结合已知面面角的大小求参数，即可确定点的位置.
【详解】（1）由题知面面，则，
由为底面圆的直径，则，
由，面，
面，
又∵面，∴，
又，面，
面，
又∵面，故.
由，在中，由射影定理：，
故面面,
∴面，又面面，面，
∴.
（2）由（1）知，以为原点为轴正方向，过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
设，，
设面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量
设平面与平面的夹角为，则，
解得或，
其中时重合，不合题意，
故当平面与平面夹角为时，此时为中点.
9．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
10．如图，在直角梯形中，，，平面，，．
(1)求证：；
(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析.
(2)存在，.
【分析】(1)证明平面即可；
(2)假设M存在，建立直角坐标系，用向量法求M的坐标即可.
【详解】（1）
如图，作，，连接交于，连接，，
∵且，∴，即点在平面内．
在平行四边形中，，
∴，又由平面知，
∴平面，∴①
在矩形中，，∴②
∴由①②知，平面，∴．
（2）
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
∴，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，∴，
又平面，∴为平面的一个法向量，
∴，解得，
故在上存在点，且．
11．已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
【答案】(1)答案见解析.
(2)当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大.
【分析】（1）（i）连接PO后确定点G，再通过在中的重心来确定PO线上的比例关系，进而得出的重心.
（ii）利用（i）中得出的比例关系与原题中相同的比例关系构建相似三角形即可证明.
（2）先设出N的位置，即PN与PC的关系，建立空间直角坐标系求出直线PA与平面AMN所成角带参数的正弦值，通过线面角正弦值的范围与分式、根式的最值即可求出答案.
（1）
（i）设AC与BD的交点为O，连接PO与AN交于点G，
点O为AC中点，点N为PC中点，
PO与AN的交点G为的重心，
，
又PO为在BD边上的中线，
点G也为的重心，即重心点G在线段AN上.
（ii）
证明：连接DG并延长交PB于点H，连接，
点G为的重心，
，
又，
即，又MG在平面AMN内，BP不在平面AMN内，
所以PB∥平面AMN.
（2）
四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，
AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，方向为x轴正方形建立空间直角坐标系，如图所示，
则点，，，，
则，，，
设则，
，
设平面AMN的法向量为，
则有，
化简得：，
取则，，
设直线PA与平面AMN所成角为，
则，
当时的值最大，
即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，最大值为.
12．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面平面，证明：；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质，先证明平面POH即可；
（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，设MN与平面PAB所成的角为，再根据线面角的向量方法求得，根据二次函数的最值求解即可
【详解】（1）因为四边形OBCH为正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH.
∵平面PBC，平面平面，∴.
（2）∵圆锥的母线长为，，∴，，
以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，
，为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为，
则，令，
则
所以当时，即时，最大，亦最大，此时，
所以.立体几何动点大题4类通关
一.异面直线成角动点
1．如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长．
通关题
2．如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
提高题
3．如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．
（1）与能否垂直？说明理由；
（2）当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围．
二.线面平行动点
4．如图所示正四棱锥，P为侧棱SD上的点，且．
(1)求证：；
(2)求直线SC与平面ACP所成角的正弦值；
(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
5．如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．
(1)若平面，求证：为的中点；
(2)若是直线与平面的交点，试确定的值；
(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
通关题
6．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为的中点．
.
(1)若点M在线段上，试确定点M的位置使得直线平面．并证明；
(2)若，求平面与平面所成角的余弦值．
三.二面角动点问题
7．在多面体中，平面为正方形，，，，二面角的平面角的余弦值为，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
8．如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）
(1)若，设平面面，求证：；
(2)当平面与平面夹角为，试确定点的位置.
通关题
9．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
10．如图，在直角梯形中，，，平面，，．
(1)求证：；
(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
四.最值问题相关动点
11．已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
通关题
12．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面平面，证明：；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
