人教A版数学选修2-1 3.2 立体几何中的向量方法1 课件（65张PPT）

(共65张PPT)
3.2立体几何中的向量方法学习目标
1.用向量表示空间中的点、直线和平面的位置；
2.用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等；
3.利用空间向量求距离；
4.用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”； 向量方
法与坐标方法结合解决立体几何问题.
重难点
重点：理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法
（“三步曲”）；
难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何
问题转化为向量问题.
从上一节，我们把向量从平面推广到空间，
并利用空间向量解决了一些立体几何问题.你是否已经初步体会到空间向量在解决立体几何问题中的作用？这一节我们将进一步学习立体几何中的向量方法.
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.
新课导入
思考1：
1.如何确定一个点在空间的位置？
2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？
3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
讲授新课
问题1.如何确定一个点在空间的位置？OP一、点的位置向量在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.ABP问题2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
二、直线的向量参数方程
空间中任意一条直线,可以通过上的一个定点A和的一
个方向向量来确定.设点P是上的任意一点，则有向量表
示形式,其中为实数，这种形式叫做直线的点向式
表示.注意：同一条直线的点向式表示并不唯一，例如直线
可以表示为，或,这里的是不同的实数
和是不同的向量，但是一定有.
此方程称为直线的向量参数方程.这样点A和向量不仅
可以确定直线的位置，还可以具体写出上的任意一点.
问题3.给一个定点和两个定方向（向量），
能确定一个平面在空间的位置吗？
空间中任意一个平面α，有两种向量表示形式：
（1）通过α上的一个定点O和两个向量和来确定.
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.设
这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为和，设
点P是α上的任意一点，则α有向量的表示形式,其中为实数，这种形式与平面向量基本定理一致.注意：同一个平面的这种形式的表达式并不唯一.例如，平面α可以表示为，或,这里的,,,.不完全相同.
这样点O和向量, 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意一点.
（2）通过α上的一个定点O和一个向量来确定.
设点P是α上的任意一点，则α有向量表示形式=0,
其中是α的法向量，这种形式叫做平面的点法式表示.
注意：同一个平面的这种形式的表达式并不唯一.
例如：平面α可以表示为=0，或=0，这里的
和是不同的法向量，但法向量一定是非零向量，且一定
有.
问题4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
从以上可以看出，用空间向量确定点、直线、平面的位
置时,都需要事先确定某个定点，作为表达式中向量的起
点,例如以上所说的O,A等.所谓用空间向量确定点、直线、
平面的位置,即用空间向量形式可以表达空间中确定的点、
直线、平面.这样就能将立体几何问题转化为向量问题来讨论,这是学习用空间向量确定点、直线、平面的位置的目的.
想一想
1.如果另有一条直线,在直线上任取向量 ,与（是法向量）有什么关系
2.如何求平面的法向量？
共线
练习1：如图所示, 正方体的棱长为
直线OA的一个方向向量坐标为___________
平面OABC 的一个法向量坐标为___________
平面AB1C 的一个法向量坐标为___________
(-1,-1,1)
(0,0,1)
(1,0,0)
练习2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,
E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
解：分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系.
,
设平面EDB的法向量为
则,
是平面EDB的一个法向量
因为方向向量与法向量可以确定直线和
平面的位置，所以我们可以利用直线的方
向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
设直线的方向向量是=,平面α的法向量
,则
⊥ =0
0;
⊥
,
=, ,
探究
1.若直线和平面α所成的角为θ，你能用,表示θ吗？
2.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？
3.你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
一般地，由直线、平面的位置关系以及直线的方
向向量和平面的法向量，可以归纳如下结论：
设直线的方向向量分别为,,平面α，β的法向量分别
为,,则：
线线平行
线面平行 ⊥ =0;
面面平行 α//β .
线线垂直 ⊥ ⊥ =0;
线面垂直 ⊥ , ;
面面垂直 α⊥β ⊥ =0.
线线所成角 的夹角为θ（0≤ θ ≤）,;
线面所成角 的夹角为θ（0≤ θ ≤）,;
面面所成角 ,β的夹角为θ（0≤ θ ≤）,
注意：（1）线线平行包括线线重合，线面平行包括在面
内，面面平行包括面面重合
（2）线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相
关定义给出的，即0≤ θ ≤.
排忧解难
1.直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量，它有无数多个，平面的法向量也就有无数个.
2.利用空间向量解决立体几何中的平行问题
（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向
向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不重合.
（2）证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但
要说明直线不在平面内；
②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的
方向向量共线，也要说明直线不在平面内;
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与
平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意
强调直线不在平面内.
几个判定定理的证明
一、平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直
线与另一个平面平行，则这两个平面平行
已知：直线和平面α，β，其中 α， 与相交，
// β, // β,求证α//β.
证明：设相交直线的方向向量分别为,,平面α，β的
法向量分别为,.
因为 // β, // β,所以⊥, ⊥.
所以 =0, =0.
因为 α， 且 与相交，所以α内任一直线的方向向
量可以表示为如下形式（ x,y）.
因为 ,即平面β的法线与平面α内
任一直线垂直.所以平面β的法向量也是平面α的法向量
即.
因此 α//β
二、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面
内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
已知：直线和平面α，其中 α， //
求证 //α.
证明：设相交直线的方向向量分别为,,平面α的法向量为.
因为 //,所以, ∈ .
因为 ⊥α , α 所以⊥，
因此 =0, = =0.
所以 //α
三、平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一
个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知：直线和平面α, β,其中,且⊥α，,求证α⊥ β.
证明：设相交直线的方向向量为,平面α, β的法向量分别为,.
因为 ⊥α,所以,, ∈ .
因为 ,所以=0
因此 =·0
所以 α⊥ β.
利用空间向量求距离1.点与点间的距离若A,B,则设直线的方向向量分别为,,平面α，β的法向量分别为,,则：2.点与直线间的距离3.点到面的距离
①据定义，求由点向面所引垂线段的长；
②利用法向量求点面距，设是平面α的法向量，
点A是平面α内任一点，点P在平面外，则点P到平面
α的距离
d
注意：线面距，面面距均可
转化为点面距离求解
利用空间向量求距离
4.异面直线的距离
①先确定两异面直线所在向量的坐标表示；
②设出它们共垂线的一个向量（此向量方向
不影响计算结果），由与两异面直线所在向量分
别垂直，得出的坐标表示;
③在异面直线上各找一个点（如E和F），算出
或的坐标，然后用公式
利用空间向量求距离
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1中点，求点E到直线A1B的距离.
点E到直线A1B的距离为
利用空间向量求点到直线的距离
证明：设正方体棱长为1，以 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
,
利用空间向量求点到面的距离
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
证明：设正方体棱长为1，以 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
,
设为面的法向量
由
得
又因为
所以到面A1BE的距离为
=
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.
解:∵D1C∥面A1BE
∴ D1到面A1BE的距离即为
D1C到面A1BE的距离.
仿上例求得D1C到面A1BE的距离为
利用空间向量求直线到面的距离
=
利用空间向量求面到面的距离
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.
解1:∵面D1CB1∥面A1BD
∴D1到面A1BD的距离即
为面D1CB1到面A1BD的距离
平面的一个法向量为
且
=
利用空间向量求异面直线的距离
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.
,
设与，都垂直
由
得
又因为
所以到的距离为
=
作业：P104练习1,2
立体几何中的向量方法——“三步曲”
1.建立立体图形与空间向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置
关系以及它们之间距离和夹角等问题；
3.根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
例题精讲
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°,那么 (1)以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
图1
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。
（2）晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到面间的距离）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
H
分析：面面距离
回归图形
点面距离
向量的模
解：
∴ 所求的距离是
思考
1.本题中平行六面体的对角线的长与棱长有什么关系？
=
3+2
2
所以本题中平行六面体的对角线的长是棱长的倍
思考
2.如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α，那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗？
设以这个顶点为端点的对角线长为，棱长为
则
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和 ,CD的长为 ,AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
解：如图，
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算
于是，得
A
B
C
D
图3
所以
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角.
因此
思考
1.本题中如果夹角可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算AB的长吗？
=
可以
思考
2.如果已知一个平行六面体的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间的余弦值吗？
设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分为
则
可以
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
是BB1,,CD中点，求证：
练习1:正方体
中，E、F分别
平面ADE.
证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
所以
x
D1F
以
练习2:如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长.
B
A
C
D
解:
解得
例3 一块均匀的正三角形面的钢板的质量为50kg，在它的顶点处分别受力 ,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是600，且 ，这些钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？
, ,
解：以点A为原点，平面ABC为xAy坐标平面，方向为y轴正方向，为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系Axyz,
设力方向上的单位向量坐标为,由于与,
的夹角均为，利用向量的数量积运算，得
解得,
注意到向量是单位向量，
因此
于是
同理可得,
这样，它们的合力
由于
则需
解得
要提起这块钢板，设均为
所以要提起这块钢板，均要大于.
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB;
(2)
(3)求二面角C-PB-D的大小.
A
B
C
D
P
E
F
(1)求证：PA//平面EDB;
（思路：证明PA与平面EDB内一条直线平行）
A
B
C
D
P
E
X
Y
Z
G
解法1 立体几何法
连接AC交BD于点G，再连结GE.
A
B
C
D
P
E
X
Y
Z
G
解法2：设，以 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG
A
B
C
D
P
E
X
Y
Z
解法3：设，以 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
(1)证明：
解得 ＝-２,＝１
则
即
共面
A
B
C
D
P
E
X
Y
Z
解法4：设，以 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
(1)证明：
设平面EDB的法向量为
则
由
(2)求证：平面;
（思路：证明PB与平面EFD内两条相交直线垂直）
由题意得：
又,
所以
由已知，且
所以
A
B
C
D
P
E
F
解法1 立体几何法：设DC=1，
(3)求二面角C-PB-D的大小
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
解法2 解：如图建立空间直角坐标系，设DC=1.
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
平面的一个法向量为：
解法3 如图所示建立空间直角坐标系，
设DC=1.
平面的一个法向量为：
G
课堂总结
知识总结：
1.用向量表示空间中的点、直线和平面的位置；
2.用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等；
3.利用空间向量求距离；
4.用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”； 向量方法与坐标方法结合解决立体几何问题.
方法收获：
向量法；数形结合法；坐标法；探究法