复数 测试题（含解析）

复数测试题
（时间120分钟 满分150分）
班级 学号 姓名 得分
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
2、设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3、若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A. B．2
C．0 D．1
4、当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5、在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
6、已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是(　　)
A．实轴 B．虚轴
C．原点 D．原点和虚轴
7、若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
8、复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于(　　)
A．2 B．2＋2i
C．4＋2i D．4－2i
9、设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
10、i为虚数单位，＋＋＋等于(　　)
A．0 B．2i
C．－2i D．4i
11、若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
12、在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13、在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________．
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
14、复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第________象限．
15、如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．
16、已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)
如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？
18、(本小题满分12分)
请你求一下方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
19、(本小题满分12分)
已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
20、(本小题满分12分)
在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
21、(本小题满分12分)
已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
22、(本小题满分12分)
设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
参考答案
B　解析：由题意知，∴m＝0.
B　解析：因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
D　解析：由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1. 故选D
D　解析：　复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．由0，m－1<0.所以点Z位于第四象限故选D
5、C　解析：A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
B　解析：a＝0时，z＝bi，复平面内的点z的轨迹是虚轴，故选B.
B　解析：z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.故选B.
C　
D 解析：由，得，∴a＋bi＝－2－i.
故选 D.
A　解析： ∵＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0，故选A.
11、D　解析：由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝2＋i＋3＝5＋i.所以＝5－i．故选D
12、B 解析：
＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．故选B
13、1
解析：　因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．
14、　三
解析：log3<0，log3 <0，
∴z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限．
15 ＋i
解析：设这个复数为x＋yi(x，y∈R)
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴，∴∴x＋yi＝＋i.
16、－2i
解析： 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
17、解　因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，
所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，
综上可得m＝0，n＝1
18、解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为
a2－b2－5＋6＋2abi＝0
，
或
或
即x＝±2或x＝±3或x＝±i.
故方程在复数集上的解共有6个
19、解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，
∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
∴∴或.
∴z＝－1，或z＝－1－3i.
20、解　 (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
21、解：　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得.
∴b、c的值为b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．
22、解：．设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.
(2)证明　ω＝＝＝＝
－i.因为a∈[－，]，b≠0，所以ω为纯虚数．