1.5 三角函数的应用 教案
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1.5 三角函数的应用 教学设计
课题 1.5 三角函数的应用 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
核心素养分析 1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．2．把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求值”的习惯．
学习目标 1.牢记特殊角的三角函数值；2.分清实际问题中的已知和未知，选择合适的三角函数解决实际问题；3.会添加适当的辅助线将非直角三角形转化成直角三角形解决问题．
重点 1．理解方向角的概念．2．用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
难点 建立直角三角函数模型，解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及直角三角函数。而我们这节课要进一步探究用直角三角形的三角函数解决实际问题的相关知识。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。1.直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三边关：a2+b2=c2(勾股定理)（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.（3）直角三角形的边和锐角之间关系:sin A= cos A= tan A=认识方位角正东，正南，正西，正北(2)西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________ (3)南偏西25°北偏西70°南偏东60° 各代表哪条射线 思考自议学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课 提炼概念 仰角、俯角：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.典例精讲 例1 【思考问题】与方向角有关的实际问题 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 请与同伴交流你是怎么想的 怎么去做 解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险. 根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.∵tan55°=，tan25°=∴BD=xtan55°，CD=xtan25°∴ xtan55°- xtan55°=20∴x=（海里）答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.从刚刚思考问题探究中，我们可以发现： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．例2【思考问题】与仰角、俯角相关的测量与计算 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).现在你能完成这个任务吗 要解决这问题，我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做 解:如图，根据题意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m, 则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.∵tan∠ADC=，tan∠BDC=∴AC=xtan60°，BC=xtan30°∴ xtan60°- xtan30°=50∴x=（m）答:该塔约有43m高.【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决这类问题时，找出仰角并解含这个仰角的直角三角形是解题的关键． .结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学会用锐角三角函数解决实际问题。 通过学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）等活动，培养学生将实际问题清晰条理地转化成数学问题的能力.
课堂练习 四、巩固训练1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )A．40√2海里 B．40√3海里 C．80海里 D．40√6海里C2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( ) A．100√3 m B．50√2 m C．50√3 m D.100√3/3 mA3.如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)4.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m). 1.现在你能完成这个任务吗 2.请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做 可以将实际问题转化成数学问题，再解决.转化后的问题：如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的长. (2) AD的长.解：（1）∵sin40°=，∴BC=BDsin40°∵sin35°=∴AB=，∴AB-BD 4.48-4=0.48（m）答:调整后的楼梯会加长约0.48m.（2）∵tan40°=，∴DC=∵tan35°=，∴AC=∴AD=AC-DC=BC（-）=BDsin40°（-），答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，∴AD＝CDtan∠ACD＝1000√3 (米)，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CDtan∠BCD＝3000√3 (米)，∴AB＝BD－AD＝2000√3 (米)．答：此时渔政船和渔船相距2000√3米.6.如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D． 设CD = x. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CD/AD，∴AD=CD/tan∠CAD=x/tan30°.同理，在Rt△BCD中，AD=CD/tan∠CBD=x/tan60°.∵AB=AD-BD，∴x/tan30° x/tan30°=40.解得x=20√3.又20√3≈34.64>30.因此，该船能继续安全地向东航行．
课堂小结
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1.5 三角函数的应用 教学设计
课题 1.5 三角函数的应用 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
核心素养分析 1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．2．把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求值”的习惯．
学习目标 1.牢记特殊角的三角函数值；2.分清实际问题中的已知和未知，选择合适的三角函数解决实际问题；3.会添加适当的辅助线将非直角三角形转化成直角三角形解决问题．
重点 1．理解方向角的概念．2．用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
难点 建立直角三角函数模型，解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及直角三角函数。而我们这节课要进一步探究用直角三角形的三角函数解决实际问题的相关知识。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。1.直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三边关：a2+b2=c2(勾股定理)（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.（3）直角三角形的边和锐角之间关系:sin A= cos A= tan A=认识方位角正东，正南，正西，正北(2)西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________ (3)南偏西25°北偏西70°南偏东60° 各代表哪条射线 思考自议学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课 提炼概念 仰角、俯角：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.典例精讲 例1 【思考问题】与方向角有关的实际问题 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 请与同伴交流你是怎么想的 怎么去做 解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险. 根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.∵tan55°=，tan25°=∴BD=xtan55°，CD=xtan25°∴ xtan55°- xtan55°=20∴x=（海里）答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.从刚刚思考问题探究中，我们可以发现： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．例2【思考问题】与仰角、俯角相关的测量与计算 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).现在你能完成这个任务吗 要解决这问题，我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做 解:如图，根据题意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m, 则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.∵tan∠ADC=，tan∠BDC=∴AC=xtan60°，BC=xtan30°∴ xtan60°- xtan30°=50∴x=（m）答:该塔约有43m高.【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决这类问题时，找出仰角并解含这个仰角的直角三角形是解题的关键． .结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学会用锐角三角函数解决实际问题。 通过学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）等活动，培养学生将实际问题清晰条理地转化成数学问题的能力.
课堂练习 四、巩固训练1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )A．40√2海里 B．40√3海里 C．80海里 D．40√6海里C2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( ) A．100√3 m B．50√2 m C．50√3 m D.100√3/3 mA3.如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)4.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m). 1.现在你能完成这个任务吗 2.请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做 可以将实际问题转化成数学问题，再解决.转化后的问题：如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的长. (2) AD的长.解：（1）∵sin40°=，∴BC=BDsin40°∵sin35°=∴AB=，∴AB-BD 4.48-4=0.48（m）答:调整后的楼梯会加长约0.48m.（2）∵tan40°=，∴DC=∵tan35°=，∴AC=∴AD=AC-DC=BC（-）=BDsin40°（-），答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，∴AD＝CDtan∠ACD＝1000√3 (米)，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CDtan∠BCD＝3000√3 (米)，∴AB＝BD－AD＝2000√3 (米)．答：此时渔政船和渔船相距2000√3米.6.如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D． 设CD = x. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CD/AD，∴AD=CD/tan∠CAD=x/tan30°.同理，在Rt△BCD中，AD=CD/tan∠CBD=x/tan60°.∵AB=AD-BD，∴x/tan30° x/tan30°=40.解得x=20√3.又20√3≈34.64>30.因此，该船能继续安全地向东航行．
课堂小结
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