1.5 三角函数的应用 学案
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1.5 三角函数的应用 导学案
课题 1.5 三角函数的应用 单元 第1单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
核心素养分析 1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．2．把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求值”的习惯．
学习目标 1.牢记特殊角的三角函数值；2.分清实际问题中的已知和未知，选择合适的三角函数解决实际问题；3.会添加适当的辅助线将非直角三角形转化成直角三角形解决问题．
重点 1．理解方向角的概念．2．用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
难点 建立直角三角函数模型，解决实际问题．
教学过程
课前预学 引入思考勾股定理 a +b =c .两锐角互余 ∠A+∠B=90 .锐角三角函数sinA=cosBsin2A+cos2A=1认识方位角正东，正南，正西，正北(2)西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________ (3)南偏西25°北偏西70°南偏东60° 各代表哪条射线
新知讲解 提炼概念在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角典例精讲 例1探究一： 如图 ，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁． 今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是怎样想的 与同伴进行交流. 例2探究二： 想一想如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
课堂练习 巩固训练1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )A．40√2海里 B．40√3海里 C．80海里 D．40√6海里2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( ) A．100√3 m B．50√2 m C．50√3 m D.100√3/3 m3.如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)4.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m). 1.现在你能完成这个任务吗 2.请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做 可以将实际问题转化成数学问题，再解决.转化后的问题：如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的长. (2) AD的长.5.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号) 6.如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？答案引入思考认识方位角提炼概念典例精讲 例1解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险. 根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.∵tan55°=，tan25°=∴BD=xtan55°，CD=xtan25°∴ xtan55°- xtan55°=20∴x=（海里）答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.例2解:如图，根据题意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m, 则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.∵tan∠ADC=，tan∠BDC=∴AC=xtan60°，BC=xtan30°∴ xtan60°- xtan30°=50∴x=（m）答:该塔约有43m高.巩固训练1.C2.A3.4.解：（1）∵sin40°=，∴BC=BDsin40°∵sin35°=∴AB=，∴AB-BD 4.48-4=0.48（m）答:调整后的楼梯会加长约0.48m.（2）∵tan40°=，∴DC=∵tan35°=，∴AC=∴AD=AC-DC=BC（-）=BDsin40°（-），答:楼梯多占约0.61m长的一段地面5.解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，∴AD＝CDtan∠ACD＝1000√3 (米)，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CDtan∠BCD＝3000√3 (米)，∴AB＝BD－AD＝2000√3 (米)．答：此时渔政船和渔船相距2000√3米.6.解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D． 设CD = x. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CD/AD，∴AD=CD/tan∠CAD=x/tan30°.同理，在Rt△BCD中，AD=CD/tan∠CBD=x/tan60°.∵AB=AD-BD，∴x/tan30° x/tan30°=40.解得x=20√3.又20√3≈34.64>30.因此，该船能继续安全地向东航行．
课堂小结
水平线
视线
视线
俯角
仰角
铅垂线
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课题 1.5 三角函数的应用 单元 第1单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
核心素养分析 1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．2．把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求值”的习惯．
学习目标 1.牢记特殊角的三角函数值；2.分清实际问题中的已知和未知，选择合适的三角函数解决实际问题；3.会添加适当的辅助线将非直角三角形转化成直角三角形解决问题．
重点 1．理解方向角的概念．2．用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
难点 建立直角三角函数模型，解决实际问题．
教学过程
课前预学 引入思考勾股定理 a +b =c .两锐角互余 ∠A+∠B=90 .锐角三角函数sinA=cosBsin2A+cos2A=1认识方位角正东，正南，正西，正北(2)西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________ (3)南偏西25°北偏西70°南偏东60° 各代表哪条射线
新知讲解 提炼概念在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角典例精讲 例1探究一： 如图 ，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁． 今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是怎样想的 与同伴进行交流. 例2探究二： 想一想如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
课堂练习 巩固训练1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )A．40√2海里 B．40√3海里 C．80海里 D．40√6海里2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( ) A．100√3 m B．50√2 m C．50√3 m D.100√3/3 m3.如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)4.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m). 1.现在你能完成这个任务吗 2.请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做 可以将实际问题转化成数学问题，再解决.转化后的问题：如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的长. (2) AD的长.5.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号) 6.如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？答案引入思考认识方位角提炼概念典例精讲 例1解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险. 根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.∵tan55°=，tan25°=∴BD=xtan55°，CD=xtan25°∴ xtan55°- xtan55°=20∴x=（海里）答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.例2解:如图，根据题意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m, 则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.∵tan∠ADC=，tan∠BDC=∴AC=xtan60°，BC=xtan30°∴ xtan60°- xtan30°=50∴x=（m）答:该塔约有43m高.巩固训练1.C2.A3.4.解：（1）∵sin40°=，∴BC=BDsin40°∵sin35°=∴AB=，∴AB-BD 4.48-4=0.48（m）答:调整后的楼梯会加长约0.48m.（2）∵tan40°=，∴DC=∵tan35°=，∴AC=∴AD=AC-DC=BC（-）=BDsin40°（-），答:楼梯多占约0.61m长的一段地面5.解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，∴AD＝CDtan∠ACD＝1000√3 (米)，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CDtan∠BCD＝3000√3 (米)，∴AB＝BD－AD＝2000√3 (米)．答：此时渔政船和渔船相距2000√3米.6.解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D． 设CD = x. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CD/AD，∴AD=CD/tan∠CAD=x/tan30°.同理，在Rt△BCD中，AD=CD/tan∠CBD=x/tan60°.∵AB=AD-BD，∴x/tan30° x/tan30°=40.解得x=20√3.又20√3≈34.64>30.因此，该船能继续安全地向东航行．
课堂小结
水平线
视线
视线
俯角
仰角
铅垂线
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