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专题13 概率与统计
考情分析
概率与统计是高考考查学生数学建模素养和数据分析素养的重要载体，也是高中数学课程内容的重要部分。概率主要研究随机现象，统计主要研究数据，进行数据分析。概率与统计不仅是高中必修的内容，也是大学学习概率与统计的基础。在高考中，概率与统计占有不可或缺的地位。
2022年教育部教育考试院命制6套高考数学试卷：全国甲卷(文、理)、全国乙卷(文、理)、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷，对6套高考卷中概率统计部分试卷进行分析研究，6套试卷都对概率与统计知识进行了考查，除新高考Ⅰ卷对概率、统计的考查题型只有填空题和解答题两种，其分值分别为5分、12分，总分值为17分，占试卷总分的11.3%；全国甲卷和乙卷文、理科、新高考Ⅱ卷，对概率、统计的考查题型有选择题、填空题和解答题三种，其分值分别为5分、5分、12分，总分值为22分，占试卷总分的14.6%。
通过对试卷考查内容进行分析，发现6套试卷考查的概率与统计的知识涉及古典概型、频率分布直方图、样本估计总体、数据的数字特征(平均数、中位数、标准差、极差)、2×2列联表、独立性检验、排列组合、条件概率、独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的分布列，二项式定理等内容，考查全面，层次分明，试题对于学生灵活应变能力的考查以及创新能力的考查更为突出。2022年的高考数学试题结构同2021年相比，条件概率相关内容所占比例加大，大题布局变化不大，在概率统计方面的考查体现为概率统计题目位置提前至17题，考查数据分析及应用，试题难度有所降低，重在考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。
习题精练 夯基础 做真题
选择题
1.(2022·全国乙卷(文))分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：，得如图茎叶图：则下列结论中错误的是
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案：C
解析：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，选项A说法正确；
由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项B说法正确；
甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项C说法错误；
乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项D说法正确．故选：C．
2.(2022·全国乙卷(理))某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P1，P2，P3，且P1＞P2＞P3＞0．记该棋手连胜两盘的概率为P，则( )
A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，P最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，P最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，P最大
答案：D
解析：设棋手在第二盘与甲的比赛连胜两盘的概率为，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为，在第二盘与丙的比赛连胜两盘的概率为
，
，
，
，，
所以最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．故选：D．
3.(2022·全国甲卷(文、理))某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案：B
解析：讲座前中位数为,所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是80％,4个85％,剩下全部大于等于90％,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题正确率的极差为,所以错.故选:B
4.(2022·全国甲卷(文))从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)6种情况，故概率为.故选：C.
5.(2021·全国乙卷(文))在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，所以．故选：B．
6.(2021·全国甲卷(文、理))为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案：C
解析：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
7.(2021·全国甲卷(文))将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
答案：C
解析：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，故选：C
8.(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是( )
A.至少有1个红球与至少有1个黑球 B.至少有1个红球与都是黑球
C.至少有1个红球与至多有1个黑球 D.恰有1个红球与恰有2个红球
答案：D
解析：对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；
对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；
对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；
对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．
9.(2022·昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：6个云南省特色小镇分别为a，b，c，d，e，f，其中a为安宁温泉小镇，则从6个云南特色小镇中任意选两个的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15个，其中一个是安宁温泉小镇有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5个，所以要求的概率为P＝＝.
10.(2022·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学计划在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，所以一共有6种方法，他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为＝.
11.(2022·郑州模拟)皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(p－1)次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，基本事件总数为20，所取两个数(p，a)符合费马小定理包含的基本事件有(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(3,8)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，(5,8)，共9个，∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝.
12. (2022·太原模拟)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则为整数的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意得，从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，则共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，20种等可能情况，其中为整数的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(4,2)，5种情况，所以所求概率为＝.
13. (2022·黄山质检)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，可以组成向量m＝(a，b)的个数是9个，其中与向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2个，故所求的概率为P＝.
14. (2022·莆田质检)甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车(线路图如下)．甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车．假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：甲从“管委会”站到“北埭”站的每一站下车都可以，有8种情况，乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种情况，若乙在“管委会”站下车，则甲有7种情况，若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种情况，若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种情况，若乙在“闽台风情街”站下车，则甲有4种情况，若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种情况，若乙在“金沙滩”站下车，则甲有2种情况，若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种情况，因此，甲比乙后下车的概率为P＝＝＝.
二、填空题
15.(2022·全国乙卷(文、理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
答案：
解析：解法一:由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数，
甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率．故答案为：．
解法二：甲乙丙丁戊5名同学选3名同学参加社区服务的总数：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊、乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共10种，其中甲乙入选有：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊3种，所以甲、乙都入选的概率
16.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．
答案：0.92
解析：记抽捡的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，且事件A和事件B∪C是对立事件，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.
17.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是______．
答案：
解析：若函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是.
三、解答题
18.(2022·全国乙卷(文、理))某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：和材积量(单位：，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得，，．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
解：(1)设这棵树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：，；
(2)由题可知，
(3)设从根部面积总和，总材积量为，则，故．
19.(2022·全国甲卷(文))甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
解：(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
(2)列联表
准点班次数 未准点班次数 合计
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
20.(2021·全国乙卷(文、理))某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求，，，；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解：(1)，
，
，
.
(2)依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
21.(2021·全国甲卷(文、理)) 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：K2＝
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
(2),
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
22.(2022·鹰潭模拟)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京举行．为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核．为了了解本次培训活动的效果，从A，B两所大学各随机抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图．
(1)计算A，B两所大学学生的考核成绩的平均值；
(2)由茎叶图判断A，B两所大学学生考核成绩的稳定性；(不用计算)
(3)将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示．现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率．
考核成绩 [60,85] [86,100]
考核等级 合格 优秀
解：(1)A＝＝＝80，
B＝＝＝80.
(2)由茎叶图可知，A所大学学生的成绩比B所大学学生的成绩稳定．
(3)记事件M为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”．样本中，A校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a，b，c，B校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为A，B，C，从这6人中任取2人，所有的基本事件为ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15个，而事件M包含的基本事件是ab，ac，bc，AB，AC，BC共6个，因此P(M)＝＝.
23.(2022·萍乡模拟)某中学高三共有男生800人，女生1 200人．现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人．记录其日均消费，得到如图所示男生日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图．将所抽取的女生的日均消费分为以下五组：(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]，(35,40]，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”．
(1)请完成下面2×2的列联表；
“节俭之星” 非“节俭之星” 总计
男生
女生
总计
根据以上2×2的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？
(2)现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人．现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至少有一名男生的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.829
解：(1)由茎叶图可知此次抽样男生共20人，由于采用分层抽样的方式，抽取女生为30人．依题意，男“节俭之星”共7人，女“节俭之星”共18人，填表如下：
“节俭之星” 非“节俭之星” 总计
男生 7 13 20
女生 18 12 30
总计 25 25 50
从而K2＝＝3.000>2.706，
故有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关．
(2)记2名男生分别为A1，A2，记4名女生分别为B1，B2，B3，B4，则从这6名“节俭之星”选取2名的所有可能有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种，其中至少有1名男生的情况有9种，
因此，所求概率为P＝.
24.(2022·广元模拟)某中学调查了该校某班全部40名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加棋艺社团 未参加棋艺社团
参加武术社团 8 10
未参加武术社团 7 15
(1)能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？
(2)已知在参加武术社团且未参加棋艺社团的10人中，从2到11进行编号，从中抽取一人．先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到6号或7号的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025
k0 2.706 3.841 5.024
解：(1)由K2＝≈0.673 4，
则K2<3.841，所以没有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关．
(2)两次抛掷一枚骰子的点数记为(x，y)，则基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共36种．
其中点数和为6或7的基本事件有：
(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(6,1)共11种．
所以抽到6号或7号的概率为P＝.
25.近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x(单位：亩) 1 2 3 4 5
管理时间y(单位：月) 8 10 13 25 24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 150 50
女性村民 50
(1)求y关于x的线性回归方程；(计算结果保留两位小数)
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
参考公式：＝，＝－，K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解：(1)依题意得，＝＝3，＝＝16，
故(xi－)(yi－)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，
(xi－)2＝4＋1＋1＋4＝10,
则＝＝＝4.7，
＝－＝16－4.7×3＝1.9，
所以y关于x的线性回归方程为＝4.7x＋1.9.
(2)依题意，女性不愿意参与管理的人数为50，
计算得K2的观测值为k＝＝＝18.75>10.828，
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题13 概率与统计 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 概率与统计
考情分析
概率与统计是高考考查学生数学建模素养和数据分析素养的重要载体，也是高中数学课程内容的重要部分。概率主要研究随机现象，统计主要研究数据，进行数据分析。概率与统计不仅是高中必修的内容，也是大学学习概率与统计的基础。在高考中，概率与统计占有不可或缺的地位。
2022年教育部教育考试院命制6套高考数学试卷：全国甲卷(文、理)、全国乙卷(文、理)、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷，对6套高考卷中概率统计部分试卷进行分析研究，6套试卷都对概率与统计知识进行了考查，除新高考Ⅰ卷对概率、统计的考查题型只有填空题和解答题两种，其分值分别为5分、12分，总分值为17分，占试卷总分的11.3%；全国甲卷和乙卷文、理科、新高考Ⅱ卷，对概率、统计的考查题型有选择题、填空题和解答题三种，其分值分别为5分、5分、12分，总分值为22分，占试卷总分的14.6%。
通过对试卷考查内容进行分析，发现6套试卷考查的概率与统计的知识涉及古典概型、频率分布直方图、样本估计总体、数据的数字特征(平均数、中位数、标准差、极差)、2×2列联表、独立性检验、排列组合、条件概率、独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的分布列，二项式定理等内容，考查全面，层次分明，试题对于学生灵活应变能力的考查以及创新能力的考查更为突出。2022年的高考数学试题结构同2021年相比，条件概率相关内容所占比例加大，大题布局变化不大，在概率统计方面的考查体现为概率统计题目位置提前至17题，考查数据分析及应用，试题难度有所降低，重在考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。
习题精练 夯基础 做真题
选择题
1.(2022·全国乙卷(文))分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：，得如图茎叶图：则下列结论中错误的是
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
2.(2022·全国乙卷(理))某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P1，P2，P3，且P1＞P2＞P3＞0．记该棋手连胜两盘的概率为P，则( )
A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，P最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，P最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，P最大
3.(2022·全国甲卷(文、理))某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4.(2022·全国甲卷(文))从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
5.(2021·全国乙卷(文))在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为( )
A. B. C. D.
6.(2021·全国甲卷(文、理))为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
7.(2021·全国甲卷(文))将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
8.(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是( )
A.至少有1个红球与至少有1个黑球 B.至少有1个红球与都是黑球
C.至少有1个红球与至多有1个黑球 D.恰有1个红球与恰有2个红球
9.(2022·昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A. B. C. D.
10.(2022·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学计划在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为( )
A. B. C. D.
11.(2022·郑州模拟)皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(p－1)次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为( )
A. B. C. D.
12. (2022·太原模拟)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则为整数的概率为( )
A. B. C. D.
13. (2022·黄山质检)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为( )
A. B. C. D.
14. (2022·莆田质检)甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车(线路图如下)．甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车．假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题
15.(2022·全国乙卷(文、理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
16.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．
17.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是______．
三、解答题
18.(2022·全国乙卷(文、理))某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：和材积量(单位：，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得，，．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
19.(2022·全国甲卷(文))甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
20.(2021·全国乙卷(文、理))某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求，，，；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
21.(2021·全国甲卷(文、理)) 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：K2＝
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
22.(2022·鹰潭模拟)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京举行．为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核．为了了解本次培训活动的效果，从A，B两所大学各随机抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图．
(1)计算A，B两所大学学生的考核成绩的平均值；
(2)由茎叶图判断A，B两所大学学生考核成绩的稳定性；(不用计算)
(3)将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示．现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率．
考核成绩 [60,85] [86,100]
考核等级 合格 优秀
23.(2022·萍乡模拟)某中学高三共有男生800人，女生1 200人．现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人．记录其日均消费，得到如图所示男生日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图．将所抽取的女生的日均消费分为以下五组：(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]，(35,40]，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”．
(1)请完成下面2×2的列联表；
“节俭之星” 非“节俭之星” 总计
男生
女生
总计
根据以上2×2的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？
(2)现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人．现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至少有一名男生的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.829
24.(2022·广元模拟)某中学调查了该校某班全部40名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加棋艺社团 未参加棋艺社团
参加武术社团 8 10
未参加武术社团 7 15
(1)能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？
(2)已知在参加武术社团且未参加棋艺社团的10人中，从2到11进行编号，从中抽取一人．先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到6号或7号的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025
k0 2.706 3.841 5.024
25.近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x(单位：亩) 1 2 3 4 5
管理时间y(单位：月) 8 10 13 25 24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 150 50
女性村民 50
(1)求y关于x的线性回归方程；(计算结果保留两位小数)
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
参考公式：＝，＝－，K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题13 概率与统计 1/1
