苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台 教学设计

第十三章　立体几何初步
13.1.1　棱柱、棱锥和棱台
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的．
课程目标 学科素养
1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义. 2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念. 3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台． 通过棱柱、棱锥、棱台的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
1.教学重点：认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.教学难点：能够根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断几何体的形状.
多媒体调试、讲义分发。
观察下列图片：
问题　1.图(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？
提示　1.由若干个平面多边形围成.
知识点一　棱柱的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作： 棱柱ABCDEF— A′B′C′D′E′F′ 底面：平移起止位置的两个面， 侧面：多边形的边平移所形成的面， 侧棱：相邻侧面的公共边， 顶点：侧面与底面的公共顶点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
知识点二　棱锥的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作： 棱锥S—ABCD 底面：多边形面， 侧面：有一个公共顶点的各个三角形面， 侧棱：相邻侧面的公共边， 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
知识点三　棱台的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 如图可记作： 棱台ABCD— A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面， 下底面：原棱锥的底面， 侧面：其余各面， 侧棱：相邻侧面的公共边， 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
题型一　棱柱的结构特征
【例1】　下列说法正确的是(　　)
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
解析　选项A，B都不正确，反例如图所示.选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
答案　D
规律方法　1.棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
2.棱柱概念的推广
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.
【训练1】　下列命题中，正确的是(　　)
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
解析　A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.
答案　D
题型二　棱锥、棱台的结构特征　
【例2】　(1)下列三种叙述，正确的有(　　)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(2)下列说法中，正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
解析　(1)①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.
(2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误.
答案　(1)A　(2)B
规律方法　判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义，举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
【训练2】　下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案　①②
题型三　空间几何体的平面展开图
【例3】　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.
解　(1)平面展开图如图所示：
(2)沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
①若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝
＝＝4.
②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.
③若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
规律方法　(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.
(3)求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
【训练3】　如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解　①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.
1.下列说法错误的是(　　)
A.多面体至少有四个面
B.六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
解析　由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
答案　D
2.下列说法正确的是________(填序号).
①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.
解析　由正棱锥的定义可知，①②③均不正确；而④不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确；只有⑤符合正棱锥的定义，故正确.
答案　⑤
3.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，______是棱台(仅填相应序号).
解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
答案　①③④　⑥　⑤
4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.
①棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱.
解析　①错误，棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
答案　③
棱柱、棱台、棱锥关系图
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