苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.1.2圆柱、圆锥、圆台和球 练习（解析版）

第十三章　立体几何初步
13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
一、选择题
1.圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)
A.5 B.10 C.20 D.不确定
2.如图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)
　
3.下列说法正确的是(　　)
A.到定点的距离等于定长的点的集合是球
B.球面上不同的三点可能在同一条直线上
C.用一个平面截球，其截面是一个圆
D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
4.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.2
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)
A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤
二、填空题
6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).
7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
三、解答题
9.圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
10.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
能力提升
11.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(　　)
12.圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
创新猜想
13.(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则(　　)
A.弦AB，CD可能相交于点M
B.弦AB，CD可能相交于点N
C.MN的最大值为5
D.MN的最小值为1
14. 圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
第十三章　立体几何初步
13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球答案
一、选择题
1.圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)
A.5 B.10 C.20 D.不确定
【解析】　圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.
【答案】　B
2.如图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)
　
【解析】　图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选D.
【答案】　D
3.下列说法正确的是(　　)
A.到定点的距离等于定长的点的集合是球
B.球面上不同的三点可能在同一条直线上
C.用一个平面截球，其截面是一个圆
D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
【解析】　对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的.所以选D.
【答案】　D
4.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.2
【解析】　圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.
【答案】　D
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)
A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤
【解析】　一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.
【答案】　D
二、填空题
6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).
【解析】　①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.
【答案】　①④
7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).
【解析】　设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.
∴4r2＝Q，解得r＝，∴此圆柱的底面半径为.
【答案】　
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
【解析】　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝.
【答案】　
三、解答题
9.圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
解　设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr＝·2πR，即R＝3r.①
(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝l.③
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14.
10.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
解　作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴＝，
∴x＝，即此正方体的棱长为.
能力提升
11.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(　　)
【解析】　易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确【答案】是C.
【答案】　C
12.圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
解　将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则所以
即h1∶h2＝2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
创新猜想
13.(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则(　　)
A.弦AB，CD可能相交于点M
B.弦AB，CD可能相交于点N
C.MN的最大值为5
D.MN的最小值为1
【解析】　球心到弦AB，CD的距离分别3，2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.故选A，C，D.
【答案】　ACD
14. 圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
解　(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，
则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
解得θ＝，l＝20 cm.∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.∴AM＝＝50(cm)．
即绳子最短长度为50 cm.
(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，
则PQ为所求的最短距离．
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
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