苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.1.3 直观图的斜二测画法 教学设计

第十三章　立体几何初步
13.1.3 直观图的斜二测画法
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的．
课程目标 学科素养
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及复杂空间图形的直观图． 在应用斜二测画法画几何体的直观图的过程中，经历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
1.教学重点：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.教学难点：会用斜二测画法画常见的复杂空间图形的直观图．
多媒体调试、讲义分发。
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.
问题　在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示　为了直观，不一定.
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
题型一　平面图形的直观图的画法
【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
规律方法　画水平放置的平面图形的直观图的技巧：
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
【训练1】　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
题型二　空间几何体的直观图
【例2】　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
解　画法步骤：
(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
规律方法　1.空间几何体的直观图的画法：
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
2.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.
【训练2】　画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
解　(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，
∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
题型三　直观图的有关应用　原图面积为S，直观图面积为S′，则S′＝S
探究1　把直观图恢复成原图形
【例3－1】　如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.
解　(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图.
探究2　由原图形求直观图的面积
【例3－2】　已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析　法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
法二　S△ABC＝a2，而＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.
答案　D
探究3　由直观图求原图形的面积
【例3－3】　如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.
解　一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，所以其直观图的面积S′＝×(1＋1＋)×＝.因此由上述公式可得原平面图形的面积是S＝＝2＋.
规律方法　由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图面积是原图形面积的倍.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.
答案　B
2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(　　)
解析　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
答案　C
3.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.
解析　由图可知O′B′＝4，则对应三角形AOB中，OB＝4.又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应三角形AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8＝16.
答案　16
4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.
解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案　10
斜二测画法中的“斜”和“二测”
(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.
(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
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