2022-2023学年苏科版九年级数学下册6.4 探索三角形相似的条件（第2课时）同步精品课堂课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
探索三角形相似的条件（下）
Explore triangular similar conditions
苏科版九年级下册第6章图形的相似
教学目标
01
掌握相似三角形的判定定理（二），能运用此定理证明两个三角形相似
02
掌握相似三角形的判定定理（三），能运用此定理证明两个三角形相似，注意区分三种判定定理使用的条件
相似三角形的
判定定理（二）
知识精讲
问题引入
01
【思考】
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢
【问题建模】
如图，已知：=，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’
C
A’
C’
A
B
B’
知识精讲
问题引入
01
证明：如图，在△ABC的边AB上截取AD=A’B’，作DE∥BC交AC于E，连接DE
∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
∴=
∵=，且AD=A’B’
∴AE=A’C’
如图，已知：=，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’
C
A’
C’
A
B
B’
D
E
在△ADE和△A’B’C’中，
∴△ADE∽△A’B’C’（SAS）
又∵△ABC∽△ADE
∴△ABC∽△A’B’C’
02
知识精讲
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定定理（二）
由此，我们得到利用两边一夹角判定两个三角形相似的方法~
∵=，∠A=∠A’
∴△ABC∽△A’B’C’
C
A’
C’
A
B
B’
02
知识精讲
【思考】
对于△ABC和△A’B’C’，=，∠B=∠B’，这两个三角形一定相似吗？试着画画看.
【结论】
相等的角不是对应两边的夹角时，两个三角形不一定相似
02
知识精讲
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
两边相等且夹角相等的两个三角形全等（SAS）.
【再次强调】
无论是证明相似or证明全等，用“两边一夹角”定理时，必须时刻警惕：相等的角必须对应两边的夹角
知识精讲
例1、已知：如图，AD AB=AE AC，求证：△ADC∽△AEB．
【证明】
∵AD AB=AE AC
∴=
∵∠A=∠A
∴△ADC∽△AEB
【两边一夹角判定相似】
注意题目的隐藏条件“∠A=∠A（公共角）”
知识精讲
例2、如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD=1，BD=2，AC=．
求证：△ACD∽△ABC．
【证明】
∵AD=1，BD=2，AC=
∴==，=
∴=
∵∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
知识精讲
例3、在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=BE=EF=FC=2．
求证：△AEF∽△CEA．
【证明】
∵∠B=90°，AB=BE=EF=FC=2
∴AE==2
∴AE：EF=2：2=，CE：AE=4：2=
∴AE：EF=CE：AE
∵∠AEF=∠CEA
∴△AEF∽△CEA
again：
注意题目的隐藏条件“∠AEF=∠CEA（公共角）”
知识精讲
例4、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2=EG ED．求证：DE⊥EF．
【证明】
∵AF⊥BC，∴∠AFB=90°
∵点E是AB的中点
∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE
∵AE2=EG ED，∴=
∵∠AEG=∠DEA
∴△AEG∽△DEA
∴∠EAG=∠ADG，∴∠AFE=∠ADG
∵∠AGD=∠EGF，∴∠DAG=∠FEG
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°
∴∠FEG=90°，即DE⊥EF
相似三角形的
判定定理（三）
知识精讲
问题引入
01
【思考】
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢
【问题建模】
如图，已知：==，求证：△ABC∽△A’B’C’
C
A’
C’
A
B
B’
知识精讲
问题引入
01
证明：如图，在△ABC的边AB上截取AD=A’B’，作DE∥BC交AC于E，连接DE
∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
∴==
∵==，
且AD=A’B’
∴DE=B’C’，EA=C’A’
如图，已知：==，求证：△ABC∽△A’B’C’
C
A’
C’
A
B
B’
D
E
在△ADE和△A’B’C’中，
∴△ADE∽△A’B’C’（SSS）
又∵△ABC∽△ADE
∴△ABC∽△A’B’C’
02
知识精讲
三边成比例的两个三角形相似.
判定定理（三）
由此，我们得到利用三边判定两个三角形相似的方法~
∵==
∴△ABC∽△A’B’C’
C
A’
C’
A
B
B’
02
知识精讲
【方法总结】
证明相似的方法 证明全等的方法
定义法 1、相似定义 1、全等定义
判定定理法 2、“两角”定理 2、AAS
3、ASA
3、“两边一夹角”定理 4、SAS
4、“三边”定理 5、SSS
6、HL
知识精讲
例5、如图，△ABC和△DEF三边长已知，求证△ABC～△DEF．
【证明】
根据题意：
==，==，==
∴==
∴△ABC∽△A’B’C’
【三边判定相似】
知识精讲
例6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上
（1）已知：AC=4，BC=2，∠CBD=∠A，求BD的长；
（2）取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD．
【分析】
（1）∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB
∴△CBD∽△CAB
∴=，即=
∴CD=1
∴BD==
注意：
题目条件既涉及线段长度，又涉及角相等，用“两边一夹角”定理证相似
知识精讲
例6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上
（2）取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD．
【证明】
（2）∵E、F分别是Rt△ABC、Rt△BCD斜边上的中点
∴CF=BD，EC=AB
又∵E、F分别为是AB、BD的中点
∴EF=AD
∴===
∴△CEF∽△BAD
注意：
题目中线段比例条件，或此类条件较多时，用“三边”定理证相似
02
知识精讲
【方法总结】
判定定理 使用条件
“两角”定理 题目中只有角相等的条件，或此类条件较多时
“两边一夹角”定理 题目条件既涉及线段长度（或线段比例），又涉及角相等（注意：公共角、对顶角）
“三边”定理 题目中只有线段长度（或线段比例）条件，或此类条件较多时
知识精讲
例7、如图，△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，FE//BC，
证明GB：GE=2：1.
【重心与相似】
【证明】如图，连接EF
∵△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，
∴EF=BC，EF∥BC
∴∠BCG=∠EFG
∵∠BGC=∠EGF
∴△BCG∽△EFG
∴GB：GE=BC：EF=2：1
知识精讲
例8、在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线相交于一点. 你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗
只要再证实点G在另一条中线上
根据例7，由△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，FE//BC，可知△BCG∽△EFG，于是GB：GE=BC：EF=2：1.
知识精讲
如图，AD是△ABC的另一条中线，设AD、BE交于点G’，连接DE
同理可得：△ABG’∽△DEG’，于是G’B：G’E=AB：DE=2：1
∴点G与点G重合
∴三角形的三条中线相交于一点
例7、GB：GE=BC：EF=2：1
例8、在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线相交于一点. 你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗
知识精讲
∵例7、GB：GE=2：1
∴GE=BE
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
三角形的重心与一边中点的连线的长度是对应中线的.
同理：GF=CF
再同理：GD=AD
课后总结1
1、判定定理（二）：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2、判定定理（三）：
三边成比例的两个三角形相似.
证明相似的方法 证明全等的方法
定义法 1、相似定义 1、全等定义
判定定理法 2、“两角”定理 2、AAS
3、ASA
3、“两边一夹角”定理 4、SAS
4、“三边”定理 5、SSS
6、HL
判定定理 使用条件
“两角”定理 题目中只有角相等的条件，或此类条件较多时
“两边一夹角”定理 题目条件既涉及线段长度（或线段比例），又涉及角相等（注意：公共角、对顶角）
“三边”定理 题目中只有线段长度（或线段比例）条件，或此类条件较多时
课后总结2
1、重心的概念：
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
2、重心的性质：
三角形的重心与一边中点的连线的长度是对应中线的.
谢谢学习
Thank you for learning