厦外石狮分校2022-2023学年高二上学期期中考试
数学学科试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题
1.直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
A． B． C． D．与斜交
3.点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4.过圆上一点M(1，－2)作圆的切线l，则l的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－5＝0 C．2x－y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
5.如果AC＜0，BC＞0，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6.已知椭圆与双曲线的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为
A． B． C． D．
7.已知点是抛物线上的动点，焦点为F,点，则的最小值为( )
A． B．2 C． D．
8．已知分别是椭圆C：的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是 B．是它的第17项
C．此数列的通项公式是 D．是它的第18项
10.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
12.如图，为正方形和矩形的公共边，二面角的平面角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有
A．
B．直线与所成角的余弦值是
C．直线与平面所成角的正弦值是
D．点到平面的距离是
三、填空题.
13．已知椭圆的焦距是2，则的值是______．
14.设是等差数列，且，，若，则 ．
15.已知圆，直线,当=______时，圆上恰有三个点到的距离都等于1.
16.我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等。已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为____;已知二次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为____.
四、解答题.
17.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求直线与直线的所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
18.已知数列的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）求．
19．已知圆:，点坐标为，为圆上动点,中点为．
（1）当点在圆上动时,求点的轨迹方程；
（2）过点的直线与的轨迹相交于于两点，且，求直线的方程．
20.已知双曲线C：（a，）的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）双曲线C的左支与x轴交于点A，经过点F的直线与C交于P，Q两点，求的值．
21.如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为，求平面与平面的夹角余弦值.
22.已知椭圆（）的左右顶点为A、B,右焦点为F，C为短轴一端点，△
的面积为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点F的直线交椭圆于M，N两点（异于A,B）,直线AM与BN的交点为Q.
①求证：Q点在定直线上；
②求证:射线FQ平分∠MFB．厦外石狮分校2022-2023学年高二上学期期中考试
数学学科试卷 答案
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题
1.直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
答案：B
2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
A． B． C． D．与斜交
答案：B
3.点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
4.过圆上一点M(1，－2)作圆的切线l，则l的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－5＝0 C．2x－y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
答案：B
5.如果AC＜0，BC＞0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：B
6.已知椭圆与双曲线的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为
A． B． C． D．
答案：A
7.7.已知点是抛物线上的动点，焦点为F,点，则的最小值为( )
A． B．2 C． D．
答案：C
8．已知分别是椭圆C：的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
二、多选题
9．已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是 B．是它的第17项
C．此数列的通项公式是 D．是它的第18项
答案：AB
10.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：ACD
11.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
答案：AD
解：抛物线的准线为，焦点，
若为中点，所以，所以，故正确；
若，则，所以，故错误；
设，，则，所以，
所以，所以与不垂直，故错误；
，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最小值为2，故正确．
故选：．
12.如图，正方形和矩形所在平面所成的角为，且，为的中点，则下列结论正确的有
A．
B．直线与所成角的余弦值是
C．直线与平面所成角的正弦值是
D．点到平面的距离是
答案：BCD
解：由已知，，又，，平面，
所以平面，以为坐标原点，为，轴正方向建立空间直角坐标系，
又正方形和矩形所在平面所成的角为，所以，，
所以，
所以，
所以，所以，不垂直，错；
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值是对；
设平面的法向量为，
由已知，所以，
取可得，
即可取法向量为，
直线的方向向量，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值是对，
因为，平面的法向量为，
设点到平面的距离为，
则，对，
故选：．
三、填空题.
13．已知椭圆的焦距是2，则的值是______． 答案：5
14.设是等差数列，且，，若，则 ．
答案：20
15.已知圆，直线,=____时，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1.
答案：
16.我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等。已知反比例函数解析式为，其图象所对应的双曲线离心率为____;已知二次函数解析式为，其图象所对应的抛物线焦点坐标为____.
答案：8，
四、解答题.
17.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求直线与直线的所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
（1） （2）
18.已知数列的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）求．
答案：（1） （2）
19．已知圆:，点坐标为，为圆上动点,中点为．
（1）当点在圆上动时,求点的轨迹方程；
（2）过点的直线与的轨迹相交于于两点，且，求直线的方程．
（1）．
（2）由，得．
于圆心，半径为5，弦长8，故圆心到直线的距离为3．
当直线的斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为3，符合题意，
当直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，解得．
的方程为或．
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20.已知双曲线C：（a，）的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）双曲线C的左支与x轴交于点A，经过点F的直线与C交于P，Q两点，求的值．
解：（1）由题意可知解得
所以双曲线C的标准方程．
（2）①直线PQ斜率为0时，．
②直线PQ斜率不为0时，设直线PQ方程为，，，
联立方程，消去x并整理得，
因为直线与C交于两点，故，此时，
所以，．
而，．
又有，，
所以
．
综上可得，．
21.如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）如图，在梯形中，因为，作于，则，所以，所以，连结，由余弦定理可求得，...2分
因为，所以，....3分
因为平面平面且交于，所以平面，....4分
因为平面，所以，因为，，....5分
所以平面；....6分
（2）连结，由（1）可知，平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，...7分
因为平面，所以在平面内的射影为，所以与平面所成的角为，即，...8分
在中，因为，所以，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则有，即，令，则，，故，.10分
设平面的法向量为，
则有，即，令，则，，故，..11分
所以，由图可知，二面角锐二面角，
故二面角的余弦值为...12分
22.已知椭圆（）的左右顶点为A、B,右焦点为F，C为短轴一端点，△
的面积为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点F的直线交椭圆于M，N两点（异于A,B）,直线AM与BN的交点为Q.
①求证：Q点在定直线上；
②求证:射线FQ平分∠MFB．
