用空间向量知识解决立体几何中典型问题[下学期]

立体几何中几类典型问题的向量解法
空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
1、 利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离
（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐标，那么到平面的距离
（2）求两点之间距离，可转化求向量的模。
（3）求点到直线的距离，可在上取一点，令或的最小值求得参数，以确定的位置，则为点到直线的距离。还可以在上任取一点先求，再转化为，则为点到直线的距离。
(4)求两条异面直线之间距离，可设与公垂线段平行的向量，分别是上的任意两点，则之间距离
例1：设，求点到平面的距离
例2：如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若。
（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）当为何值时，的长最小；
（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小
例3：正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离
例4：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。
点评：若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，则点到平面的距离，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为
（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为。设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。
（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。
例5：在棱长为的正方体中，分别是的中点，
（1）求直线所成角；
（2）求直线与平面所成的角，
（3）求平面与平面所成的角
例6：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF平面PAB；
（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小.
例7：如图，，，求二面角的大小。
点评：如果分别是二面角两个面内的两条直线，且
，则二面角的大小为
例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。
（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，,点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：A1C //平面CDB1；
点评：平行问题的转化：
面面平行线面平行线线平行；
例10．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
.
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
例11．如图，在直三棱柱中，
（1）求证（2）在上是否存在点使得
（3）在上是否存在点使得
五、专题突破：
1、如图：已知二面角的大小为，点于点，，且，求 （1）直线所成角的大小，（2）直线的距离。
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小.
3、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=, AA1=,M为侧棱CC1上一点, ．
（1）求证: AM平面；
（2）求二面角B－AM－C的大小；
（3）求点C到平面ABM的距离．
4、如图，是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点。
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求二面角的大小
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点,使得平面？证明你的结论。
5、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2.
（I）证明：AB1⊥BC1；
（II）求点B到平面AB1C1的距离.
（III）求二面角C1—AB1—A1的大小
6、( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
7、（2006年全国卷II）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
参考答案：
例1：解：设平面的法向量，所以
，
，
所以设到平面的距离为，
例2：
解：建立如图所示空间直角坐标系
(2)由得
（3）又所以可求得平面与平面的法向量分别为，所以，所以
例3：解：如图建立坐标系，则
，设是直线与的公垂线，且
则
，
例4：
解：，同理又，建立直角坐标系，，
,设为平面的法
向量，则
由，
不妨设
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
例5：
解：（1）如图建立坐标系，则
，
故所成的角为
（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，，
故与平面所成角为
由所以平面的法向量为下面求平面的法向量，设，由，，
，所以平面与平面所成的角
点评：（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为
（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为。
（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。
例6：
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), .得，，. 由，得，即，
同理，又， 所以，EF平面PAB.
（Ⅱ）解：由，得，即.
得，，.
有，，.
设平面AEF的法向量为，
由，
解得. 于是.
设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为.
则.
得.
所以，AC与平面AEF所成角的大小为.
点评：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。
例7： 解：建立如图所示空间直角坐标系，取的中点，连可证，作于，则向量的夹角的大小为二面角的大小。，为的中点，
，在中，，
，
，，，二面角的大小为
例8：
解：如图建立直角坐标系，则
，
所以是平面的一个法向量。设平面的一个法向量
由，
令，
平面与平面所成的二面角的正切值为
点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。
（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：解：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴ ＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1. ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；
点评：平行问题的转化：
面面平行线面平行线线平行；
例10． 解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，
，设平面ACD1的法向量为，则
也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
例11．解：直三棱柱，两两垂直，以为坐标原点，
直线分别为轴轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
（1），
（2）假设在上存在点，使得，则
其中，则，于是由于，且
所以得，所以在上存在点使得，且这时点与点重合。
（3）假设在上存在点使得，则其中则，又由于，，所以存在实数成立，所以，所以在上存在点使得，且使的中点。
总结：向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性，请同学们认真领会。
五、专题突破：
1解：设，，
（1），
所成的角为
（2）设与都垂直的非零向量由得，令，
设的距离为，
2、解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、、
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）设平面DEF的法向量为
3、证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥面ACC1A1，∵面ACC1A1，∴BC⊥AM
∵，且，∴ AM平面
解：（2）如图以C为原点,CA，CB， CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系，则，设∵，∴即，故，所以
设向量为平面AMB的法向量，则，则 即 ，令x=1，的平面AMB的一个法向量为，显然向量是平面AMC的一个法向量，
易知，与所夹的角等于二面角B－AM－C的大小，故所求二面角的大小为45°．
（3）向量在法向量上的投影的长即为所求距离，∵ ∴点C到平面ABM的距离为
4、（Ⅰ）建立空间直角坐标系，如图，则又,,,,,
连接,与相交于，连接易知（0，1，1.5）
∴ ∴ ∴
又平面，平面 ∴平面
（Ⅱ）解：过点做于，连接，在正四棱柱中，平面∴，是二面角的平面角
根据平面几何知识，易得∴
∵
∴∴二面角的大小为
（Ⅲ）解：在侧棱上不存在点，使得平面
证明如下：假设平面，则必有
设，其中，则，这显然与矛盾
∴假设平面不成立，即在侧棱 上不存在点，使得平面
5、（1）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），因为，所以AB1⊥BC1.
（2）设是平面AB1C1的法向量，
由得
所以令，则，
因为，所以，B到平面AB1C1的距离为.
（3）设是平面A1AB1的法向量.由
令=1，则
因为所以，二面角C1—AB1—A1的大小为60°
6、（Ⅰ）连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.
所以
于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，
，设是平面QAD的一个法向量，由
得.取x=1，得.
所以点P到平面QAD的距离.
7、（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．
则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．
＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．
·＝0，∴ED⊥BB1．又＝(－2a，0，2c)，
·＝0，∴ED⊥AC1， 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AD．
又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，
＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，
·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，
∴　　EC⊥面C1AD．　 cos＜，＞＝EQ \f(·,||·||)＝，即得和的夹角为60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．
A(O)
B
D
C
x
E
F
N
M
y
z
z
A
B
C
D
M
N
x
y
z
z
z
z
A
B
C
D
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
x
y
z
A
B
C
P
D
E
x
y
z
S
B
A
C
D
z
x
y
转化
转化
A
D
B
C
D
D
D
P
z
y
x
F
E
D
C
B
A
A
C
B
D
A
B
C
A1
B1
C1
M
Q
P
A
D
C
B
图4
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
Q
B
C
P
A
D
z
y
x
O
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y
z
A
B
C
D
M
N
x
y
z
z
z
z
A
B
C
D
x
y
z
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
A
B
C
P
D
E
x
y
z
S
B
A
C
D
z
x
y
转化
转化
C
A
B
x
D
y
Z
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