2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的性质 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
第四章
数列
4.3.1
等比数列的概念之性质
学习目标
1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.
2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
3.理解等比数列的常用性质.
4.掌握等比数列的判断及证明方法.
复习引入
回顾：等比通项公式
回顾：等比推导公式
注意：左右两边项数要相同
重要！
新课探究
等比数列的性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
(2)若m，p，n成等差数列，则 成等比数列.
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.
ak·al＝am·an
am，ap，an
新课探究
等比数列的性质
pq
例1：某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
例题解析
【解析】从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.
例1：某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
例题解析
【解析】由(1)得n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.
a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
例2：已知{an}为等比数列.
(1)等比数列满足，求
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
例题解析
【解析】(1)在等比数列{an}中，
，，
.
例2：已知{an}为等比数列.
(1)等比数列满足，求
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
例题解析
【解析】(2)由等比中项，
化简条件得，
，
.
例2：已知{an}为等比数列.
(1)等比数列满足，求
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
例题解析
【解析】(3)由等比数列的性质知，，
，
例3：已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列.
例题解析
【解析】(1)因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，
解得a1＝3.
例3：已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列.
例题解析
【解析】(2)因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
方法小结
判断一个数列是等比数列的常用方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(1)定义法：若数列{an}满足(n∈N*，q为常数且不为零)或(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.
方法小结
判断一个数列是等比数列的常用方法
(3)等比中项法：若(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可.
练习巩固
练习1：在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于（ ）
A. B. C. D.或
练习2：在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为（ ）
A.4 B.2 C.－2 D.－4
C
B
，，又a1<0，a2>0，q<0，.
，，
练习巩固
练习3：在等比数列{an}中，3a1，a3，2a2等差数列，
则等于（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.9
CD
由3a1，a3，2a2等差数列，可得a3＝3a1＋2a2
即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1.
课堂小结
1.知识清单：
(1)等比数列的实际应用.
(2)等比数列的常用性质.
(3)等比数列的判定和证明.
2.方法归纳：方程和函数思想.
3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.
作业布置