2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.6.1匀速圆周运动的数学模型 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
情境引入
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢。
用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.
简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.
思考1　数学模型是什么，什么是数学模型的方法？
数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
探究1 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-1)．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2)．
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．
你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？
思考
与盛水筒运动相关的量有哪些？
它们之间有怎样的关系？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，
可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律．
如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间 t s后，盛水筒M从点P0运动到点P，
盛水筒M距离水面的高度 H 与哪些量有关？
它们之间有怎样的关系呢
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴，建立直角坐标系
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质．
筒车模型演示
解决问题的一般程序是：
1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；
3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.
思考2　上述的数学模型是怎样建立的？
探究2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动五后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位：)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
摩天轮上的座舱运动可以近似的看做是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度 H是怎样变化的？可以用哪种函数模型来刻画？
如图，设座舱离地面最近的点为P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系。
问题1.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距 离地面的高度为Hm,求在转动一周的过程中，H关于t的函数关系式;
问题2.若游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
如果甲乙的位置分别用图中的A,B点表示，则 如何表示？
问题3.若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位: m)关于t的函数解析式，求高度差的最大值（精确到 0.1）
分析： 经过tmin后甲离地面的高度点
B相当于点A始终落后 rad，
此时乙距离地面的高度
两人距离地面的高度差
大家会直接研究这种函数的性质吗？我们需要做什么工作？可以展开再合并吗？
提示：同学们观察两角的关系，结合之前导过的和差化积的公式，想办法继续突破
例1　如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天6～14时的最大温差；
解　由图可知：这段时间的最大温差是20℃；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解　从图可以看出：从6～14是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
反思
①本例中所给出的一段图象实际上只取6～14
即可，这恰好是半个周期，注意抓关键.
本例所求出的函数模型只能近似刻画这天
某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被忽略掉.
②如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型.
画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型.
小结　利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析.
思考3　怎样处理搜集到的数据？
例2　某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)试在图中描出所给点；
解　描出所给点如图所示：
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
解　由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适.
令A>0，ω>0，|φ|<π.
故所求拟合模型的解析式为
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，
或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.
反思
数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.
处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤：
1.根据原始数据给出散点图.
2.通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
3.根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.
三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
课堂小结
布置作业
课后练习1