苏教版（2019）高中数学必修第一册 《6.1幂函数》核心素养专练（有答案）

《幂函数》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 幂函数的概念
一、选择题
1.若是幂函数，且满足，则（ ）
A.16
B.4
C.
D.
二、填空题
2.下列函数是幂函数的有________（填序号）.
①；②；③；④；⑤；⑥.
3.已知幂函数的图象过点，则的值是________.
4.已知幂函数的图象经过，则________.
必备知识2 幂函数的图象
一、填空题
5.下列命题：①幂函数的图象都经过点和点；②幂函数的图象不可能是一条直线；③时，函数的图象是一条直线；④幂函数，当时是增函数；⑤幂函数，当时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限其中正确的有（ ）
A.①③
B②④
C.⑤⑥
D③⑥
6.函数的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若幂函数的图象不过原点，则（ ）
A.
B.或
C.
D.
必备知识3 幂函数的性质
一、选择题
8.函数是幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.以上都不对
9.幂函数在上是减函数，且，则m等于（ ）
A.0
B.1
C.2
D.0或1
二、解答题
10.判断函数与的奇偶性.
必备知识4 比较大小
一、解答题
11.试利用函数的性质，比较的大小：.
12.比较下列各组数的大小：
（1）和；
（2）和.
关键能力练
关键能力1 幂函数图象问题
一、选择题
13.如图所示，曲线与分别是函数和在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
14.幂函数及直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“部分”是（ ）
A.②⑥
B.④⑧
C.①⑤
D.③⑦
二、填空题
15.已知，则x的取值范围是________.
三、解答题
16.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于y轴对称.求m的值，并画出它的图象.
关键能力2 性质的综合应用
一、选择题
17.函数在上是（ ）
A.增函数且是奇函数
B.增函数且是偶函数
C.减函数且是奇函数
D减函数且是偶函数
18.已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.与的大小关系不能确定
二、解答题
19.已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数k的取值范围.
参考答案
1.
答案：D
解析：因为函数是幂函数，设，由题意得，所以.
2.
答案：③⑥
解析：根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意.
3.
答案：2
解析：将点代入幂函数可得，解得，即幂函数为，可得.
4.
答案：
解析：由题知.
5.
答案：C
解析：幂函数，只有当时，则其图象才都经过点和点，故①错误；幂函数，当时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数，当时，则其图象是这条直线上去除点后的剩余部分，故③错误；幂函数，当时，是增函数，当时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的.
6.
答案：C
解析：函数是非奇非偶函数，故排除A、B选项，又，故选C.
7.
答案：B
解析：因为是幂函数，则必有，得.又函数图象不过原点，可知其指数，即均满足，故正确选项为B.
8.
答案：A
解析：为幂函数，
在上递增，且，
.故选A.
9.
答案：A
解析：因为在上是减函数，所以，故.又因为，所以或.当时，，符合题意；当时，，不符合题意.综上知，.
10.
答案：见解析
解析：的定义域为，
而，
是奇函数.
的定义域为，
而，
是偶函数.
11.
答案：见解析
解析：由幂函数，即的性质，可知，即.
再由幂函数的图象，可得，即，所以.
12.
答案：见解析
解析：（1）构造函数，此函数在上是增函数，又，
.
（2）构造，此函数在上是减函数，
，
.
13.
答案：A
解析：由在第一象限内递减知.又在的右侧，越靠近x轴的图象对应的幂函数的指数越小，故，所以.故选A.
14.
答案：C
解析；对于幂函数，当时，；当时，，所以经过①⑤.
15.
答案：
解析：画出函数和的图象（如图所示），易得或.
16.
答案：见解析
解析：图象与轴都无交点，
，即.
又.
幂函数图象关于y轴对称，，或.
当时，函数为，图象如图（1）；
当时，函数为，图象如图（2）.
17.
答案：A
解析：由幂函数的性质可知，当时，在第一象限内是增函数，所以在上是增函数.令，则有，所以是奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，在原点两侧单调性相同，所以当时，也是增函数.当时，，又当时，，当时，，所以在上是增函数.故在上是增函数且是奇函数.
18.
答案：A
解析：由题意得或，因为函数的定义域包括0，且为奇函数，所以为奇数且大于零，所以是上的单调增函数，，选A.
19.
答案：见解析
解析：（1）依题意，得，解得或.
当时，在上单调递增，与题设相符；
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，.
（2）由（1）可知.
当时，单调递增，
.
，
.
实数k的取值范围是.
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