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初三秋季几何旋转专题复习1
图形的旋转包括中心对称和旋转两个部分，其中中心对称的考察较为简单，主要以作图题为主；而旋转主要包括旋转的全等和旋转相似两个部分，主要在压轴题中考察.
一、旋转的定义及其有关概念
在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角；如果图形上的点P经过旋转得到点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
如图，线段AB绕点O顺时针转动得到,这就是旋转，点O就是旋转中心，都是旋转角.
注：旋转的三因素: ⑴旋转中心； ⑵旋转方向； ⑶旋转角.
旋转的性质：
⑴旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等.
⑵对应点到旋转中心的距离相等.
⑶任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.
重要结论：（如何确定旋转中心）
旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上
旋转有全等，对应边角等
等腰很常见，8字要常用
旋转作图：画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的图形
△A’B’C’
步骤:
⑴明确旋转中心、旋转方向和旋转角.
⑵找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置.
⑶按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形.
⑷写出结论.
即：
旋转对称图形：
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于，小于）.
中心对称和中心对称图形：
⑴中心对称的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转后能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称，这个点是对称中心. 这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点.
⑵中心对称的性质:
①关于中心对称的两个图形是全等形.
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
⑶中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转后能与自身重合，
则这个图形叫做成中心对称图形.
⑷中心对称和中心对称图形的联系和区别
①区别：中心对称是指两个全等图形之间的对称关系，而中心对称图形是指一个图形两部分的对称关系．
②联系：都是把图形旋转；如果把中心对称的两个图形看作一个整体，那么这个图形就是中心对称图形；如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，那么这两个图形就成中心对称.
5.关于原点对称的点的坐标：
二、常见旋转模型
1.手拉手模型：全等+相似
特征：共顶点+等线段+等夹角=旋转型全等三角形
重点：特殊的等边三角形、等腰直角三角形、正方形及任意等腰三角的手拉手模型的识别.
难点：处在各种位置的、残缺的手拉手模型的识别和构造.
总结：你怎么转我就怎么转，你转多少度我就转多少度.
【模型1】如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角 形.BE交AC于点F,AD交CE于点H，AD交BE于点O.
结论：
△BCE≌△ACD(SAS)
（2）AD=BE
（3）∠AOB=∠EOD=∠ACB=∠ECD=∠ACE=60°
（4）S△ACD= S△BCE
（5）△ACH≌△BCF(ASA)
（6）△DCH≌△ECF(ASA)
（7）过点 C做CM⊥BE于点M，CN⊥AD于点N，则CM=CN
（8）连接CO，CO平分∠BOD
（9）△BFC≌△AHC；
（10）CF=CH
（11）△CFH为等边三角形
（12）FH∥BD
（13）做BE的中点P，AD中点Q，连接PQR，则△PQR为等边三角形.
【变式练习1】如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
△ABE≌△DBC
AE=DC
S△ABE= S△DBC
AE与DC的夹角为60.
AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
【变式练习2】如图,已知点B、C、D不在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等
边三角形.BE交AC于点F,AD交CE于点H.
结论：
（1）△BCE≌△ACD
（2）AD=BE
（3）∠AOB=∠EOD=∠ACB=∠ECD=60°
（4）S△ACD= S△BCE
（5）过C做CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，则CM=CN
（6）连接CO，CO平分∠BOD
【变式练习3】如图,AC=BC,EC=DC, ∠ACB=∠ECD=α.
结论：
（1）△BCE≌△ACD
（2）AD=BE
（3）∠AOB=∠EOD=∠ACB=∠ECD=α
（4）S△ACD= S△BCE
（5）过C做CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，则CM=CN
（6）连接CO，CO平分∠BOD
【特殊度数】当α=90°时，如下图：
结论：
（1）△ABO≌△CDO
（2）AB=CD 且AB⊥CD
（3）∠AOC=∠AHC=∠BOD=∠BHD=90°
（4）S△ABO= S△CDO
（5）过O做OQ⊥AB于Q，OR⊥CD于R，则OQ=OR
（6）连接OH，OH平分∠AHD
（7）连接CB，AD， S△ADO= S△CBO
例1：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于点H.
问： （1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
例2.如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长.
【答案】：
（★★☆☆☆）由相等线段构造旋转
在五边形中，已知，，．
求证：平分．
连接．以为中心，将旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，
所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，
且，．所以．
在与中，
因为，，，
故，因此，即平分．
（★★☆☆☆）由等腰三角形构造旋转
在中，，是内任意一点，已知，
求证：．
因为，所以可将绕点旋转到的位置，连结、、，
则，，
因为，所以
由，可得，
则．，即．
（★★☆☆☆）由等边三角形构造旋转
⑴如图，是等边内一点，若，，，求的度数．
⑵如图，是等边外一点，若，，，求的度数．
⑶如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长．
只要学过勾股定理的同学，看到，， 都会想到直角三角形．我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中．
⑴如图，过点作，，连接，．（等于将沿
点逆时针旋转）．
，，，．
∴，，
⑵以为边向四边形的外面作正，则，，
∴，，，∴，．
⑶将绕点逆时针旋转，得到．
连接，则，，
，，
故是等边三角形，
从而，．
在中，，，，
故，．
过点作，交的延长线于点，
则，，
．
因此，在中，．
（★★☆☆☆）由等腰直角三角形构造旋转
四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．
将三角形绕点旋转，使与重合，到点．
则有：
，
所以在同一条直线上，
又因为．
所以是等腰直角三角形．
又四边形的面积等于等腰直角三角形
的面积．
．
2.不等边旋转模型图
基本特点：共顶点+等夹角+成比例=旋转相似三角形
重难点： 不等边旋转相似模型的识别和构造.
3.正方形共顶点旋转
4.对角互补型旋转模型：
邻补角=内对角：作垂+作角等于已知角
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初三秋季几何旋转专题复习2
角含半角模型：大角夹小角+大角是小角的2倍=旋转型全等：
旋转全等+轴对称全等
（1）形内半角：分开的角就合起来，里面的就转出去：
（2）形外半角： 合起来的角就在分开，外面的转进来:
(3)辅助线的描述：
①截长补短；
②构造一个角等于已知角，截取线段相等；
③旋转使得边重合.
常见模型：
（3）正方形夹45°角（半角在内）
（4）正方形夹45°角（半角在外）
普通半角在内
（6）普通半角在外
条件：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD所在直线上的点，∠BAD=2∠EAF.
正方形半角模型所有结论：
在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、
AF分别与对角线BD交于点M、N.求证：
BE+DF=EF；
(2) S△ABE+S△ADF=S△AEF；
(3) AH=AB；
(4) C△ECF=2AB；
(5) BM2+DN2=MN2；
(6) △ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM(由△AMN与△AEF的高之比AO：AH=AO：AB=1：可得到△ANM和△AEF的相似比为1：)；
(7) S△AMN=S四边形MNFE；
(8) △AOM∽△ADF，△AON∽△ABE；
(9) △AEN为等腰直角三角形，∠AEN=45°；△AFM为等腰直角三角形，
∠AFM=45°
(1. ∠EAF=45°；2.AE：AN=1：)；
(10)A、M、F、D四点共圆；A、B、E、N四点共圆；M、N、F、C、E五点共圆.
例2. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；
问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
【解析】（1）猜想的结论：MN=AM+CN ．
（2）猜想的结论：MN=CN－AM．
证明: 在 NC截取 CF= AM，连接BF．
易证： △AMB≌△CFB ．
∴ ∠ABM=∠CBF ， BM=BF． ∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF．
即 ∠MBF =∠ABC． ∵ ∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠MBF． 即∠MBN=∠NBF．
又∵ BN=BN BM=BF， ∴ △MBN≌△FBN． ∴ MN=NF．
∵ NF=CN－CF，
∴ MN=CN－AM ．
（★★☆☆☆）大角为直角
1.如图所示，在等腰直角的斜边上取两点、，使，记，，，求证：以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．
解法一：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到．
连接，则，，，
故，
从而，
则．
而，故在中有．
解法二：用“对称变换”也能得到解答．
如图所示，以为对称轴将翻折到的位置．
易证和关于对称，且为直角三角形，
并且可得，，．
故在中有．
2.请阅读下列材料：
已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
⑵当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
⑴
证明：根据绕点顺时针旋转得到 ∴
∴，，，.
在中，∵ ∴ .
∴即 ∴.
又∵ ∴ ∴
即
∴ ∴ ∴
⑵ 关系式仍然成立，用与⑴类似的旋转变换同样可以证明结论，下面给出利用轴对称的证法：
证明：将沿直线对折，得，连 ∴
∴， ，
又∵，∴
∵
∴
又∵ ∴
∴，
∴
∴在中即 ．
（★★☆☆☆）大角为120°
（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）
如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
如图所示，延长到使．
在与中，因为，
，，
所以，故．
因为，，
所以．
又因为，
所以．
在与中，，
，，
所以，则，所以的周长为．
2.在中，，，若，，求．
将旋转后得到，在中，，，，可求得．
2.中心对称：平行线+两个中点=知二推一=====旋转180度全等
如下图，是中边中线，延长至，使得，连接，可将中心对称到，于是有；类似的，还有类倍长中线（如右图，倍长，）．
本质：以中点为对称中心，构造一个三角形与已知三角形关于这个中点中心对称.
（★★★★☆）运用中线倍长法解几何题
如图，在△ABC中，AB=2AC，AD为BC边上的中线，AD⊥AC，求∠BAC的度数.
【解析】延长DE.使DE=AD.连接BE.
∵AD⊥AC(已知)， ∴∠EAC=90°(垂直定义).
∵AD平分BC(已知)， ∴DB=DC(平分线定义）.
在△ADC和△EDB中，
DA=DE（已作）， ∠ADC=∠BDE(已证)， DB=DC(已证），
∴△ADC≌△EDB（SAS). ∴AC=BE（全等三角形对应边相等）.
∴∠E=∠EAC=90°（等量代换）.
∵AB=2AC（已知）， ∴AB=2BE（等量代换）. 即AB/2=BE.
∴∠BAE=30°
（直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°）
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+90°=120°（等式性质）.
（★★★★☆）以梯形腰上的中点为对称中心构造中心对称.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC．
【解析】延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．
在△AED与△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF，
∴AD=BF，DE=EF.
∵CE⊥DF，
∴CD=CF=BC+BF，
∴AD+BC=DC．
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初三秋季几何旋转专题复习3
类旋转（面对面模型）
1.（难度系数：0.40）
已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
⑴求证：EG=CG；
⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45 ，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问⑵中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？
【简析】⑴根据直角三角形斜边的中线性质易得CG=EG．
⑵⑴中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：如图②(一)，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，∵ △DAG≌△DCG（SAS）．∴ AG=CG．
在△DMG与△FNG中，∴ △DMG≌△FNG（ASA）．∴MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ △AMG≌△ENG（HL）．
∴ AG=EG．∴ EG=CG．
证法二：如图②(二)，延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，
在△DCG 与△FMG中，∵△DCG ≌△FMG（SAS）．
∴ MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴ MF∥CD∥AB．∴ ．
在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ △MFE ≌△CBE（HL）．
∴ ．∴ △MEC为直角三角形．
∴ ．
⑶法一：倍长中线+手拉手
延长EG至H，使HG=EG，连接DH,EH,CH，交于点.
法二：斜边中线+中位线
取、中点，连接
法三：轴对称+手拉手
倍长，使得，倍长，使得，连接
类旋转（面对面模型）
例17.设为正方形的外接圆的弧上的一点，则为定值．
根据题意如图：连接，设正方形的边长为，则．
由托勒密定理可知，
故，即（定值）．
中考应用
【简析】：旋转得△ABP≌△ACE
∴AE=AP ,
解等腰三角形，利用三角函数构造腰与底的关系即可
3.鸡爪模型复习：
如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 ,AC=BC, BF⊥AF.
求证：AF,BF,CF的数量关系.
证：在AF上截取AG=BF.(相当于旋转△CBF)
4.费马点
若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
定义：到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点.
费马点的确定：
如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，
是三角形的费马点；
费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路
线是唯一的（最短路线原理）.
尺规作图：
如图，分别以AB边和AC边为边向上作等边三角形ABN和ACM，连接NC和BM交于点P ,则点P即为所求.
以点B为圆心，AB长为半径作弧；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，
两弧交于点N,连接BN和AN得等边三角形ABN;
以点A为圆心，AC长为半径作弧；再以点C为圆心，AC长为半径作弧，
两弧交于点M,连接MA和MC得等边三角形ACM;
（3）连接NC和BM交于点P,则点P即为所求.
相关性质：
费马点到三角形三个顶点距离之和最小,即为上图中的BM或CN的长.
费马点连接三顶点所成的三个夹角均为120°,即∠APC=∠APB=∠BPC=120°.
费马点为三角形中能量最低点.
三力平衡时，三力夹角均为120°，所以费马点是三力平衡的点.
例4.（难度系数：0.31）
问题1：如图12. 若点P为所在平面上一点，且，
则点叫做的费马点．
⑴若P为锐角的费马点，且，，，则的值为_______；
⑵如图，在锐角的外侧作等边，连结．
求证：过的费马点P，且．
【解析】⑴利用相似三角形可求的值为．
⑵设点为锐角的费马点，
即
如图，把绕点顺时针旋转到，连结，则为正三角形．
∵，
∴
即P、E、三点在同一直线上
∵，，
∴，
即B、P、E三点在同一直线上
∴B、P、E、四点在同一直线上，即过的费马点P．
又，，
∴．
10.（北京市初二数学竞赛）
如图，矩形是一个长为1000米，宽为600米的货场，、是入口．现拟在货场内建一个收费站，在铁路线段上建一个发货站台，设铺设公路、以及之长度和为．
⑴ 求的最小值．
⑵ 请指出当取最小值时，收费站和发货站台的几何位置．
【解析】分别以为边向上构造等边三角形，连接，过点作于.
则，，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴是的最小值，此时．
当取最小值时，为的中点，
点在中垂线上且距离 的位置，
此时．
（★★★★☆）利用旋转进行有关费马点的证明
若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．如图，在锐角外侧作等边′连结．
求证：过的费马点，且．
在上取点，使，
连结，再在上截取，连结．
∵∴，
∴为正三角形，
∴，，，
∵为正三角形，
∴，，
∴
∴，．
∴，，
∴，
∴为的费马点，
∴过的费马点，且．
（★★★★☆）利用旋转进行有关费马点的计算
（北京市初二数学竞赛）在矩形中，，，是内部一点，是边上任意一点，试确定点、的位置，使得最小，并求出这个最小值．
当点是边的中点，点在的中垂线上，满足∠APD=∠DPQ =120°时，最小．此时的最小值为．
四、常见的添加辅助线的方法
旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中，以便于条件的综合与推演．常用的方法有：
⑴图形中出现等边三角形、等腰直角三角形和正方形，通常旋转或.
⑵图形中有线段的中点，通常旋转.
⑶图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数.
⑷共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形.
五、旋转与最值：
1.两点之间，线段最短；
2.点到直线垂线段最短；
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;
4.圆外一点到圆周的最大距离和最小距离，都要过圆心.
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初三秋季几何旋转专题复习
图形的旋转包括中心对称和旋转两个部分，其中中心对称的考察较为简单，主要以作图题为主；而旋转主要包括旋转的全等和旋转相似两个部分，主要在压轴题中考察.
一、旋转的定义及其有关概念
在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角；如果图形上的点P经过旋转得到点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
如图，线段AB绕点O顺时针转动得到,这就是旋转，点O就是旋转中心，都是旋转角.
注：旋转的三因素: ⑴旋转中心； ⑵旋转方向； ⑶旋转角.
旋转的性质：
⑴旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等.
⑵对应点到旋转中心的距离相等.
⑶任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.
重要结论：（如何确定旋转中心）
旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上
旋转有全等，对应边角等
等腰很常见，8字要常用
旋转作图：画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的图形
△A’B’C’
步骤:
⑴明确旋转中心、旋转方向和旋转角.
⑵找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置.
⑶按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形.
⑷写出结论.
即：
旋转对称图形：
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于，小于）.
中心对称和中心对称图形：
⑴中心对称的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转后能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称，这个点是对称中心. 这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点.
⑵中心对称的性质:
①关于中心对称的两个图形是全等形.
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
⑶中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转后能与自身重合，
则这个图形叫做成中心对称图形.
⑷中心对称和中心对称图形的联系和区别
①区别：中心对称是指两个全等图形之间的对称关系，而中心对称图形是指一个图形两部分的对称关系．
②联系：都是把图形旋转；如果把中心对称的两个图形看作一个整体，那么这个图形就是中心对称图形；如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，那么这两个图形就成中心对称.
5.关于原点对称的点的坐标：
二、常见旋转模型
1.手拉手模型：全等+相似
特征：共顶点+等线段+等夹角=旋转型全等三角形
重点：特殊的等边三角形、等腰直角三角形、正方形及任意等腰三角的手拉手模型的识别.
难点：处在各种位置的、残缺的手拉手模型的识别和构造.
总结：你怎么转我就怎么转，你转多少度我就转多少度.
【模型1】如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角 形.BE交AC于点F,AD交CE于点H，AD交BE于点O.
结论：
△BCE≌△ACD(SAS)
（2）AD=BE
（3）∠AOB=∠EOD=∠ACB=∠ECD=∠ACE=60°
（4）S△ACD= S△BCE
（5）△ACH≌△BCF(ASA)
（6）△DCH≌△ECF(ASA)
（7）过点 C做CM⊥BE于点M，CN⊥AD于点N，则CM=CN
（8）连接CO，CO平分∠BOD
（9）△BFC≌△AHC；
（10）CF=CH
（11）△CFH为等边三角形
（12）FH∥BD
（13）做BE的中点P，AD中点Q，连接PQR，则△PQR为等边三角形.
【变式练习1】如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
△ABE≌△DBC
AE=DC
S△ABE= S△DBC
AE与DC的夹角为60.
AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
【变式练习2】如图,已知点B、C、D不在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等
边三角形.BE交AC于点F,AD交CE于点H.
结论：
（1）△BCE≌△ACD
（2）AD=BE
（3）∠AOB=∠EOD=∠ACB=∠ECD=60°
（4）S△ACD= S△BCE
（5）过C做CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，则CM=CN
（6）连接CO，CO平分∠BOD
【变式练习3】如图,AC=BC,EC=DC, ∠ACB=∠ECD=α.
结论：
（1）△BCE≌△ACD
（2）AD=BE
（3）∠AOB=∠EOD=∠ACB=∠ECD=α
（4）S△ACD= S△BCE
（5）过C做CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，则CM=CN
（6）连接CO，CO平分∠BOD
【特殊度数】当α=90°时，如下图：
结论：
（1）△ABO≌△CDO
（2）AB=CD 且AB⊥CD
（3）∠AOC=∠AHC=∠BOD=∠BHD=90°
（4）S△ABO= S△CDO
（5）过O做OQ⊥AB于Q，OR⊥CD于R，则OQ=OR
（6）连接OH，OH平分∠AHD
（7）连接CB，AD， S△ADO= S△CBO
例1：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于点H.
问： （1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
例1.如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长.
【答案】：
（★★☆☆☆）由相等线段构造旋转
在五边形中，已知，，．
求证：平分．
连接．以为中心，将旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，
所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，
且，．所以．
在与中，
因为，，，
故，因此，即平分．
（★★☆☆☆）由等腰三角形构造旋转
在中，，是内任意一点，已知，
求证：．
因为，所以可将绕点旋转到的位置，连结、、，
则，，
因为，所以
由，可得，
则．，即．
（★★☆☆☆）由等边三角形构造旋转
⑴如图，是等边内一点，若，，，求的度数．
⑵如图，是等边外一点，若，，，求的度数．
⑶如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长．
只要学过勾股定理的同学，看到，， 都会想到直角三角形．我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中．
⑴如图，过点作，，连接，．（等于将沿
点逆时针旋转）．
，，，．
∴，，
⑵以为边向四边形的外面作正，则，，
∴，，，∴，．
⑶将绕点逆时针旋转，得到．
连接，则，，
，，
故是等边三角形，
从而，．
在中，，，，
故，．
过点作，交的延长线于点，
则，，
．
因此，在中，．
（★★☆☆☆）由等腰直角三角形构造旋转
四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．
将三角形绕点旋转，使与重合，到点．
则有：
，
所以在同一条直线上，
又因为．
所以是等腰直角三角形．
又四边形的面积等于等腰直角三角形
的面积．
．
2.不等边旋转模型图
基本特点：共顶点+等夹角+成比例=旋转相似三角形
重难点： 不等边旋转相似模型的识别和构造.
3.正方形共顶点旋转
4.对角互补型旋转模型：
邻补角=内对角：作垂+作角等于已知角
5.角含半角模型：大角夹小角+大角是小角的2倍=旋转型全等：
旋转全等+轴对称全等
（1）形内半角：分开的角就合起来，里面的就转出去：
（2）形外半角： 合起来的角就在分开，外面的转进来:
(3)辅助线的描述：
①截长补短；
②构造一个角等于已知角，截取线段相等；
③旋转使得边重合.
常见模型：
（3）正方形夹45°角（半角在内）
（4）正方形夹45°角（半角在外）
普通半角在内
（6）普通半角在外
条件：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD所在直线上的点，∠BAD=2∠EAF.
正方形半角模型所有结论：
在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、
AF分别与对角线BD交于点M、N.求证：
BE+DF=EF；
(2) S△ABE+S△ADF=S△AEF；
(3) AH=AB；
(4) C△ECF=2AB；
(5) BM2+DN2=MN2；
(6) △ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM(由△AMN与△AEF的高之比AO：AH=AO：AB=1：可得到△ANM和△AEF的相似比为1：)；
(7) S△AMN=S四边形MNFE；
(8) △AOM∽△ADF，△AON∽△ABE；
(9) △AEN为等腰直角三角形，∠AEN=45°；△AFM为等腰直角三角形，
∠AFM=45°
(1. ∠EAF=45°；2.AE：AN=1：)；
(10)A、M、F、D四点共圆；A、B、E、N四点共圆；M、N、F、C、E五点共圆.
例2. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；
问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
【解析】（1）猜想的结论：MN=AM+CN ．
（2）猜想的结论：MN=CN－AM．
证明: 在 NC截取 CF= AM，连接BF．
易证： △AMB≌△CFB ．
∴ ∠ABM=∠CBF ， BM=BF． ∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF．
即 ∠MBF =∠ABC． ∵ ∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠MBF． 即∠MBN=∠NBF．
又∵ BN=BN BM=BF， ∴ △MBN≌△FBN． ∴ MN=NF．
∵ NF=CN－CF，
∴ MN=CN－AM ．
（★★☆☆☆）大角为直角
1.如图所示，在等腰直角的斜边上取两点、，使，记，，，求证：以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．
解法一：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到．
连接，则，，，
故，
从而，
则．
而，故在中有．
解法二：用“对称变换”也能得到解答．
如图所示，以为对称轴将翻折到的位置．
易证和关于对称，且为直角三角形，
并且可得，，．
故在中有．
2.请阅读下列材料：
已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
⑵当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
⑴
证明：根据绕点顺时针旋转得到 ∴
∴，，，.
在中，∵ ∴ .
∴即 ∴.
又∵ ∴ ∴
即
∴ ∴ ∴
⑵ 关系式仍然成立，用与⑴类似的旋转变换同样可以证明结论，下面给出利用轴对称的证法：
证明：将沿直线对折，得，连 ∴
∴， ，
又∵，∴
∵
∴
又∵ ∴
∴，
∴
∴在中即 ．
（★★☆☆☆）大角为120°
（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）
如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
如图所示，延长到使．
在与中，因为，
，，
所以，故．
因为，，
所以．
又因为，
所以．
在与中，，
，，
所以，则，所以的周长为．
2.在中，，，若，，求．
将旋转后得到，在中，，，，可求得．
中心对称：平行线+两个中点=知二推一=====旋转180度全等
如下图，是中边中线，延长至，使得，连接，可将中心对称到，于是有；类似的，还有类倍长中线（如右图，倍长，）．
本质：以中点为对称中心，构造一个三角形与已知三角形关于这个中点中心对称.
（★★★★☆）运用中线倍长法解几何题
如图，在△ABC中，AB=2AC，AD为BC边上的中线，AD⊥AC，求∠BAC的度数.
【解析】延长DE.使DE=AD.连接BE.
∵AD⊥AC(已知)， ∴∠EAC=90°(垂直定义).
∵AD平分BC(已知)， ∴DB=DC(平分线定义）.
在△ADC和△EDB中，
DA=DE（已作）， ∠ADC=∠BDE(已证)， DB=DC(已证），
∴△ADC≌△EDB（SAS). ∴AC=BE（全等三角形对应边相等）.
∴∠E=∠EAC=90°（等量代换）.
∵AB=2AC（已知）， ∴AB=2BE（等量代换）. 即AB/2=BE.
∴∠BAE=30°
（直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°）
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+90°=120°（等式性质）.
（★★★★☆）以梯形腰上的中点为对称中心构造中心对称.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC．
【解析】延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．
在△AED与△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF，
∴AD=BF，DE=EF.
∵CE⊥DF，
∴CD=CF=BC+BF，
∴AD+BC=DC．
类旋转（面对面模型）
11.（难度系数：0.40）
已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
⑴求证：EG=CG；
⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45 ，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问⑵中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？
【简析】⑴根据直角三角形斜边的中线性质易得CG=EG．
⑵⑴中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：如图②(一)，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，∵ △DAG≌△DCG（SAS）．∴ AG=CG．
在△DMG与△FNG中，∴ △DMG≌△FNG（ASA）．∴MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ △AMG≌△ENG（HL）．
∴ AG=EG．∴ EG=CG．
证法二：如图②(二)，延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，
在△DCG 与△FMG中，∵△DCG ≌△FMG（SAS）．
∴ MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴ MF∥CD∥AB．∴ ．
在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ △MFE ≌△CBE（HL）．
∴ ．∴ △MEC为直角三角形．
∴ ．
⑶法一：倍长中线+手拉手
延长EG至H，使HG=EG，连接DH,EH,CH，交于点.
法二：斜边中线+中位线
取、中点，连接
法三：轴对称+手拉手
倍长，使得，倍长，使得，连接
类旋转（面对面模型）
例17.设为正方形的外接圆的弧上的一点，则为定值．
根据题意如图：连接，设正方形的边长为，则．
由托勒密定理可知，
故，即（定值）．
中考应用
【简析】：旋转得△ABP≌△ACE
∴AE=AP ,
解等腰三角形，利用三角函数构造腰与底的关系即可
鸡爪模型复习：
如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 ,AC=BC, BF⊥AF.
求证：AF,BF,CF的数量关系.
证：在AF上截取AG=BF.(相当于旋转△CBF)
7.费马点
若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
定义：到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点.
费马点的确定：
如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，
是三角形的费马点；
费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路
线是唯一的（最短路线原理）.
尺规作图：
如图，分别以AB边和AC边为边向上作等边三角形ABN和ACM，连接NC和BM交于点P ,则点P即为所求.
以点B为圆心，AB长为半径作弧；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，
两弧交于点N,连接BN和AN得等边三角形ABN;
以点A为圆心，AC长为半径作弧；再以点C为圆心，AC长为半径作弧，
两弧交于点M,连接MA和MC得等边三角形ACM;
（3）连接NC和BM交于点P,则点P即为所求.
相关性质：
费马点到三角形三个顶点距离之和最小,即为上图中的BM或CN的长.
费马点连接三顶点所成的三个夹角均为120°,即∠APC=∠APB=∠BPC=120°.
费马点为三角形中能量最低点.
三力平衡时，三力夹角均为120°，所以费马点是三力平衡的点.
例9.（难度系数：0.31）
问题1：如图12. 若点P为所在平面上一点，且，
则点叫做的费马点．
⑴若P为锐角的费马点，且，，，则的值为_______；
⑵如图，在锐角的外侧作等边，连结．
求证：过的费马点P，且．
【解析】⑴利用相似三角形可求的值为．
⑵设点为锐角的费马点，
即
如图，把绕点顺时针旋转到，连结，则为正三角形．
∵，
∴
即P、E、三点在同一直线上
∵，，
∴，
即B、P、E三点在同一直线上
∴B、P、E、四点在同一直线上，即过的费马点P．
又，，
∴．
10.（北京市初二数学竞赛）
如图，矩形是一个长为1000米，宽为600米的货场，、是入口．现拟在货场内建一个收费站，在铁路线段上建一个发货站台，设铺设公路、以及之长度和为．
⑴ 求的最小值．
⑵ 请指出当取最小值时，收费站和发货站台的几何位置．
【解析】分别以为边向上构造等边三角形，连接，过点作于.
则，，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴是的最小值，此时．
当取最小值时，为的中点，
点在中垂线上且距离 的位置，
此时．
（★★★★☆）利用旋转进行有关费马点的证明
若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．如图，在锐角外侧作等边′连结．
求证：过的费马点，且．
在上取点，使，
连结，再在上截取，连结．
∵∴，
∴为正三角形，
∴，，，
∵为正三角形，
∴，，
∴
∴，．
∴，，
∴，
∴为的费马点，
∴过的费马点，且．
（★★★★☆）利用旋转进行有关费马点的计算
（北京市初二数学竞赛）在矩形中，，，是内部一点，是边上任意一点，试确定点、的位置，使得最小，并求出这个最小值．
当点是边的中点，点在的中垂线上，满足∠APD=∠DPQ =120°时，最小．此时的最小值为．
四、常见的添加辅助线的方法
旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中，以便于条件的综合与推演．常用的方法有：
⑴图形中出现等边三角形、等腰直角三角形和正方形，通常旋转或.
⑵图形中有线段的中点，通常旋转.
⑶图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数.
⑷共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形.
五、旋转与最值：
1.两点之间，线段最短；
2.点到直线垂线段最短；
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;
4.圆外一点到圆周的最大距离和最小距离，都要过圆心.
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