苏教版（2019）高中数学必修第一册 6.2指数函数与对数函数（解析版）

6.2~6.3指数函数与对数函数
教材知识梳理
指数函数
指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，图象在x轴的上方
函数值的变化 当x<0时，00时，y>1 当x>0时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0指数函数的图象变换
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x＋a)，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.
(2)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
对数函数
对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
y＝logax (a>0，a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
对数型函数的性质及应用
1．y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定)．
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
例题研究
一、指数函数的图象和性质
题型探究
例题1
如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a例题2
函数的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
跟踪训练
训练1
如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数且的图象经过点E，B，则a等于（ ）
A． B． C．2 D．3
训练2
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、指数型函数的值域
题型探究
例题1
对函数判断正确的是（ ）
A．增区间 B．增区间 C．值域 D．值域
例题2
设函数， 表示不超过x的最大整数，如，则函数的值域为（ ）．
A．{0} B．{－1,0} C．{－1,0,1} D．{－2,0}
跟踪训练
训练1
已知函数，则函数的最大值是（ ）
A．7 B．8 C．21 D．22
训练2
函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
三、对数函数的图象
题型探究
例题1
已知函数满足，则函数的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
例题2
函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练
训练1
若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
训练2
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
对数型函数的单调性
题型探究
例题1
函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
例题2
设函数，则函数的单调性（ ）
A．与有关，且与有关 B．与无关，且与有关
C．与有关，且与无关 D．与无关，且与无关
跟踪训练
训练1
已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（ ）(是自然对数的底数)
A． B．
C． D．
训练2
已知e为自然对数的底数，又，，，则（ ）
A． B． C． D．
综合式测试
一、单选题
1．下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（ ）
x 0.27 1.5 3 5 8
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域和值域分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知函数，（且），若有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（ ）
A． B． C． D．
7．若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是函数的两个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知函数，，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围为________．
10．已知奇函数和偶函数分别满足 ， ，若存在实数a，使得 成立，则实数b的取值范围是____．
11．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是___________.
12．设，若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是________________
三、解答题
13．已知函数为定义在R上的奇函数，
（1）求的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围．
14．已知函数．
（1）若的定义域为，求实数a的取值范围．
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
15．已知函数，（且）是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
6.2~6.3指数函数与对数函数 答案解析
教材知识梳理
指数函数
指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，图象在x轴的上方
函数值的变化 当x<0时，00时，y>1 当x>0时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0指数函数的图象变换
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x＋a)，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.
(2)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
对数函数
对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
y＝logax (a>0，a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
对数型函数的性质及应用
1．y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定)．
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
例题研究
一、指数函数的图象和性质
题型探究
例题1
如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a【答案】B
【分析】根据指数函数的图象与性质可求解.
【详解】
根据函数图象可知函数①y=；②y=为减函数，且时，②y=①y=，
所以，
根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且时，③y=c1④y=d1，
所以
故选：B
【点睛】考查了指数函数的单调性，指数函数的图象.
例题2
函数的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
【答案】B
【分析】作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，根据交点个数得解.
【详解】
作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，记为曲线.容易发现与曲线有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的就是符合题意的点.
故选：B.
【点睛】解答本题的关键是作出函数位于轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点.
跟踪训练
训练1
如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数且的图象经过点E，B，则a等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】由已知可得，根据点E，B在指数函数的图象上，列出方程组，即可求解.
【详解】
设点，则由已知可得，
又因为点E，B在指数函数的图象上，所以，
式两边平方得，
联立，得，
所以(舍去)或，所以.
故选：A.
【点睛】考查了指数函数的图象与性质及其应用.
训练2
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，结合可得出合适的选项.
【详解】
令，该函数的定义域为，，
函数为偶函数，排除B、D选项；
又，排除C选项.
故选：A.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
二、指数型函数的值域
题型探究
例题1
对函数判断正确的是（ ）
A．增区间 B．增区间 C．值域 D．值域
【答案】BD
【分析】根据指数函数性质可以判断其增区间为，根据值域判断出的值域，最终得出答案.
【详解】
解:根据指数函数性质，在单调递减，
而在单调递减，在单调递增，
故增区间为；
值域为，
而在单调递减，
故值域为.
故选：BD.
例题2
设函数， 表示不超过x的最大整数，如，则函数的值域为（ ）．
A．{0} B．{－1,0} C．{－1,0,1} D．{－2,0}
【答案】B
【分析】将函数变形为，易知在R上递增，然后分，，得到函数的值域，进而得到的值域求解.
【详解】
函数，
所以函数在R上递增，
当时,，，所以 ，
当 时， ，所以，
当 时，，所以，
所以当时，，
当时，，
所以y的值域为：{－1,0}
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是明确函数的值域为和表示不超过x的最大整数的含义，得到分，，讨论的求解思路.
跟踪训练
训练1
已知函数，则函数的最大值是（ ）
A．7 B．8 C．21 D．22
【答案】B
【分析】根据题意，得出函数的解析式，并根据函数的性质求出函数的定义域，再利用换元法令，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得出的最大值，即函数的最大值．
【详解】
由题意得，，
的定义域为
的定义域应满足
即
令，则
则
可知，在上是单调递增的，
即函数的最大值为8．
故选B．
【点睛】考查求复合函数的定义域以及利用换元法求函数的最值．
训练2
函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
要使函数有意义，则需，
即为，解得，，则定义域为.
故选：A.
【点睛】与指数函数有关的复合函数的定义域 值域
（1）的定义域与的定义域相同.
（2）先确定的值域，再根据指数函数的值域 单调性确定函数的值域.
三、对数函数的图象
题型探究
例题1
已知函数满足，则函数的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由已知求出，得表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项．
【详解】
由恬，，，
函数定义域是，在上递减，在上递增．
故选：C．
【点睛】考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．
例题2
函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的奇偶性以及的符号来判断出函数的图象.
【详解】
函数的定义域为，关于原点对称，
且，该函数为偶函数，排除C、D选项.
又，排除A选项.
故选：B.
【点睛】考查函数图象的识别，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来进行判断，
跟踪训练
训练1
若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数在上为减函数，可知 ，判断函数的定义域和单调性即可得解
【详解】
由函数在上为减函数，可知
函数的定义域为或，故排除A，B
又，可知在单调递减，故排除D
故选：C
【点睛】考查了具体函数的图像判断.
训练2
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先用奇偶性，排除A、C，再利用导数判断单调性，选出正确的答案.
【详解】
∵，∴，
∴为偶函数，排除A、C；
又
当时，，单增；当时，，单减；故B满足，D排除.
故选：B
【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
对数型函数的单调性
题型探究
例题1
函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
【详解】
，得到，且在上递减，
而在上递减，
由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，
故选：．
【点睛】考查复合函数的单调性的判断与性质的应用．
例题2
设函数，则函数的单调性（ ）
A．与有关，且与有关 B．与无关，且与有关
C．与有关，且与无关 D．与无关，且与无关
【答案】D
【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关.
【详解】
函数
当时，单调递增.
当时，单调递增.
则且，，的单调性都为单调递增.
所以函数的单调性与无关.
故选：D
跟踪训练
训练1
已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（ ）(是自然对数的底数)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先讨论在上的单调性，从而得到，求出其解后可得正确的选项.
【详解】
令 则且，
整理得到，
若，则，这与，矛盾，所以，
令，则即，
故为的奇函数，
设，故，
即，
因为，故，而，
故即，
所以故为的增函数，
因为，故即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：抽象函数的性质，一般依据已有的运算性质来推理，对于奇偶性的探究，需采用赋值法来求的值，这样才能实现与的联系，而单调性的探究，则需根据定义来证明.
训练2
已知e为自然对数的底数，又，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，，的单调性和中间值0、1可得解.
【详解】
，，
所以
故选：B.
【点睛】考查了指数、对数值的大小比较，指数、对数函数的单调性.
综合式测试
一、单选题
1．下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（ ）
x 0.27 1.5 3 5 8
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算法则计算后判断．
【详解】
因为已知式中只有一个对数式错误，
若，则，又，正确，
因此均正确，，但，
因此和中有一个错误，
，这样,都不错，只有错．
故选：A．
【点睛】考查对数的运算法则，因此在已知式中两个对数式运算的结果是正确的，这两个对数一定正确，这样利用对数运算可得结论．
2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.
【详解】
由，得，
所以，所以．
故选：D.
3．函数的定义域和值域分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义，结合指数函数性质可得定义域与值域．
【详解】
，解得，即，定义域为，
因为，所以，，即值域为．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型复合函数的定义域与值域，解题关键是掌握指数函数的单调性，特别是指数函数（且）的值域是，这里也容易出错．
4．已知函数，（且），若有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对分类讨论：①，②，③，④，利用分段函数的单调性可求得结果.
【详解】
当时，
当时，为减函数，所以，
当时，为减函数，所以，
若有最小值，则，解得；
当时，
当时，为减函数，所以，
当时，为增函数，所以，
若有最小值，则，解得；
当时，
当时，，
当时，为增函数，所以，
若有最小值，则，此式无解；
当时，
当时，为增函数，，
当时，为增函数，所以，
此时无最小值，
综上所述：或.
故选：D
【点睛】关键点点睛：分类讨论，利用分段函数的单调性求解是解题关键.
5．函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原问题转化为，再根据二次函数的最值和指数函数的值域建立不等式，解之可得选项.
【详解】
若对，都存在，使成立，则需，
又，，所以，
令，因为，所以，所以，
所以，解得，则m的取值范围是，
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
6．在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的图象可知，图象有两交点，设两交点，，根据指数函数、对数函数性质可知，即可得到，进而求出.
【详解】
作出函数与图象：
设与图象交于不同的两点，设为，，不妨设，则，
在R上递减，
，即，
，
即，
故选B
【点睛】考查了指数函数，对数函数的图象与性质、对数的运算，数形结合，属于中档题.
7．若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.
【详解】
解：由题意，，，，
即，，
，
而，所以，
，而，
即，
又，，
而，则，即，
同理，，，
而，则，即，
综上得：，
所以.
故选：D.
【点睛】考查对数的大小比较，考查对数函数单调性的应用和对数的运算性质，与中间值1，，比较，以及运用公式进行化简是解题的关键，考查学生的化简运算和推理能力.
8．已知是函数的两个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为函数与的图象的交点问题，设两函数图象的交点，然后设法得出的表达式去分析.
【详解】
，在同一直角坐标系中作出与的图象，
设两函数图象的交点，
则，即，
又，
所以，，即，
所以①；
又，故，即②，
由①②得：，
故选：A.
【点睛】考查指数函数与对数函数图象的应用问题，解答的关键在于利用方程思想表示出两交点的关系式.
二、填空题
9．已知函数，，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】求出函数的值域，结合对任意的，总存在实数，，使得成立，转化为的值域是函数值域的子集即可．
【详解】
设函数的值域分别为集合A、B，
当时，
当时，，所以，
因为对任意的，总存在实数，，使得成立，
所以应有，
故当显然不合要求．
当时，在上符合要求．
当时，在上递增，
所以，故，所以有．
综上，.
故答案为：
10．已知奇函数和偶函数分别满足 ， ，若存在实数a，使得 成立，则实数b的取值范围是____．
【答案】
【分析】根据奇偶性作出函数的图象，得是的最小值，因此只要即可，解之可得．
【详解】
∵为奇函数，且
∴的图象关于原点对称，如图，
当时，取最大值，且为1；当时，最小，且为．
∵为偶函数，且，
∴的图象关于y轴对称，如图，且，
∵存在实数a，使得成立，
∴，即，∴1＜|b|＜3，
∴1＜b＜3或，∴b的取值范围是（1，3）∪．
【点睛】考查函数的奇偶性，分段函数的最值，函数不等式能成立问题，解题方法是由奇偶性确定函数的图象，结合图象得出函数的最小值，然后解相应的不等式得参数范围．
11．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．
【详解】
解：因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，
所以在上恒成立，
又在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，设，易知在上单调递增，
所以，
所以，
故答案为：．
12．设，若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是________________
【答案】
【分析】本题可设，则，然后根据得出，最后根据题意得出不等式对于任意的恒成立，即可得出结果.
【详解】
设，则，
因为，所以，
不等式即，，
因为，所以，
因为不等式对于任意的恒成立，
即不等式对于任意的恒成立，
所以，实数的取值范围是，
故答案为：.
三、解答题
13．已知函数为定义在R上的奇函数，
（1）求的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围．
【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据奇函数的定义得到，化简可求得的值；
（2）先取，然后根据与的大小关系可证明出在上的单调性；
（3）利用的奇偶性和单调性将问题转化为，根据指数函数的值域求解出的取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】
（1）因为为奇函数，所以，所以，
所以且，所以，所以，
所以；
（2）在上单调递增；
由条件知，任取，
所以，
所以，
又因为，在上单调递增，所以且，
所以，所以，
所以在上单调递增；
（3）因为有解，所以有解，
由的奇偶性可知：有解，
由的单调性可知：有解，
所以有解，所以，
因为，，
所以，，
所以，所以，即的取值范围是.
【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：
（1）利用奇偶性将不等式变形为；、
（2）根据单调性得到与的大小关系；
（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.
14．已知函数．
（1）若的定义域为，求实数a的取值范围．
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由题知在上恒成立，故，解不等式即可得答案.
（2）由题知在上单调递增，且时，恒有，进而得，解不等式即可得答案.
【详解】
解：（1）的定义域为，则在上恒成立，
令，得．
所以实数a的取值范围为
（2）因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，
所以在上单调递增，且时，恒有，
根据二次函数的性质，可得，解得．
【点睛】考查对数函数的性质，一元二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于把握复合函数单调性原则“同增异减”，且时，恒有.
15．已知函数，（且）是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）利用恒成立求出，再验证定义域是否关于原点对称；
（2）化为，再分类讨论，利用对数函数的单调性可解得结果.
【详解】
（1）因为函数（且）是奇函数，
所以
∴，∴，∴，∴，
当时，，此时，定义域不关于原点对称，∴不成立，
当时，的定义域为，符合题意，
故．
（2）由（1）知，，
∵，∴
当时：，恒成立；
当时：由，得，
综上所述：或．
【点睛】关键点点睛：对分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式是解题关键.
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