《指数函数》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 指数函数的概念
一、选择题
1.函数是指数函数，则a的值是（ ）
A.4
B.1或3
C.3
D.1
2.若函数是指数函数，则的值为（ ）
A.2
B.
C.
D.
二、填空题
3.已知函数的图象经过点，则________.
4.已知指数函数的图象过点，则________.
5.下列函数中是指数函数的是________（填序号）.
①；②；
③；④；
⑤；⑥.
必备知识2 与指数函数有关的定义域、值域
一、选择题
6.函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.函数的值域为_________.
8.函数的值域为_________.
必备知识3 指数函数的定点问题
一、填空题
9.函数的图象恒过定点_________.
10.已知，则函数的图象必定不经过第_________象限.
11.已知函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是_________.
12.若函数的图象不经过第二象限，则b应满足的条件是_________.
必备知识4 指数函数的单调性
一、选择题
13.已知，则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.不能确定
14. ，那么是（ ）
A.奇函数且在上是增函数
B.偶函数且在上是增函数
C.奇函数且在上是减函数
D.偶函数且在上是减函数
15.若函数是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
必备知识5 实际应用问题
一、选择题
16.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
17.有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升.
（1）试将该饮料中细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；
（2）若该饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）
18.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为.
（1）求p%的值；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
关键能力练
关键能力1 图象的识别
19.已知，则指数函数①，②的图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
20.如图所示是指数函数①，②，③，④的图象，则与1的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
21.同一直角坐标系中函数的图象如图所示，则上述函数分别对应的图象是（ ）
A.①②③④
B.②①③④
C.④③②①
D.③④②①
关键能力2 比较大小
一、选择题
22.下列判断正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
23.已知，则的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
24.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
25.三个数中，最大的是________,最小的是________
关键能力3 解不等式
一、选择题
26.设，则（ ）
A.
B.
C.
D.
27.若，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
28.设，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
关键能力4 指数函数综合问题
一、填空题
29.已知函数为奇函数，则n的值为________.
30.函数在内单调递减，则a的取值范围是________.
31.设函数，若函数在上有意义，则实数a的取值范围是________.
三、解答题
32.设，试求该函数的最值.
33.已知函数.
（1）若时，求函数的单调增区间；
（2）如果函数有最大值3，求实数a的值.
34.已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
35.设函数（e为无理数，且）是R上的偶函数，且.
（1）求a的值；
（2）判断在上的单调性.
参考答案
1.
答案：C
解析：由题意得得，故选C.
2.
答案：D
解析：因为函数是指数函数，所以，所以，所以.
3.
答案：
解析：因为，即，所以.
4.
答案：8
解析：设，则，所以，所以.所以.
5.
答案：③
解析：
6.
答案：A
解析：由题意得自变量x应满足解得.
7.
答案：
解析：，
值域为.
8.
答案：
解析：函数的定义域为R，又.易知，故，即函数的值域为.
9.
答案：
解析：因为函数过定点，函数中，令，得，所以函数的图象过定点.
10.
答案：二
解析：因为，所以的图象单调递增，且过点.因为，所以点在y轴负半轴上，故的图象不经过第二象限.
11.
答案：
解析：因为，所以，即的图象恒过定点.
12.
答案：
解析：时，，所以.
13.
答案：B
解析：因为函数是R上的减函数，且，所以.
14.
答案：D
解析：由，且知是偶函数；当时，是减函数.
15.
答案：B
解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数，解得.
16.
答案：D
解析；依题意可知第一年后的价值为，第二年后的价值为，进而可知n年后这批设备的价值为，故选D.
17.
答案：见解析
解析：（1）根据题意可知：刚开始细菌A的数量为（个），所以.
（2）令，
所以，解得，
所以4.5小时后该饮料将对人体有害.
18.
答案：见解析
解析：（1）设砍伐n年后的森林面积为，则.
由题意可得，即，
解得：.
（2）由可得.
令，可得，
，即.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
19.
答案：C
解析：由于，所以与都是减函数，故排除A，B，作直线与两个曲线相交，交点在下面的是函数的图象，故选C.
20.
答案：B
解析：在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大由指数函数图象的升降，知，所以.
21.
答案：A
解析：由指数函数的图象在y轴右侧“底大图高”的特点知，选A.
22.
答案：D
解析：函数在R上为减函数，所以.
23.
答案：D
解析：函数在R上为减函数，
，即.
又，
，即选D.
24.
答案：A
解析：因为函数在R上为减函数，且，
所以.
因为.
所以.
25.
答案：
解析：因为函数在R上是减函数，所以.又在y轴右侧函数的图象始终在函数的图象的下方，所以.则.
26.
答案：C
解析：由已知条件得.
27.
答案：B
解析：函数在R上为减函数，所以，所以.
28.
答案：C
解析：.又.
，又，
，即.
29.
答案：2
解析：由，解得，当时，易证其是奇函数.
30.
答案：
解析：由复合函数的单调性知，的对称轴，即.
31.
答案：
解析：设.
则原函数有意义等价于在上恒成立，.设，
则，
，所以，
.
32.
答案：见解析
解析：令.
则.
配方得.
又在上是减函数；t在上是增函数，
当时，；当时，.
故该函数的最大值为，最小值为.
33.
答案：见解析
解析：（1）当时，.
令，
由于在上递减，在R上是减函数，在上是增函数，即的单调增区间是.
（2）令，
由于有最大值3，所以应有最小值.
因此必有解得.
即当有最大值3时，实数a的值为1.
34.
答案：见解析
解析：（1）.
因为，所以在区间上是增函数，故解得
（2）由（1）可得，
则.
所以可化为，
化为.
令，则.
因，故.
记，因为，
故.若在上有解，则.所以实数k的取值范围是.
35.
答案：见解析
解析：（1）是R上的偶函数，，
，即.
，
，又.
（2）由（1）知，设，且，
.
且，
，即，
在上为增函数.
1 / 15《指数函数的概念和性质》智能提升
一、选择题
1.已知，则函数的图象必定不经过（ ）
A.第一象限
B第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.函数的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.函数的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.若函数在上的最大值为m，最小值为n，则________.
5.若函数（其中）的图象经过定点，则________.
6.不等式的解集为________.
三、解答题
7.比较下列各组值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
8.求下列函数的定义域和值域：
（1）；（2）.
9.已知函数在上恒有，求a的取值范围.
参考答案
1.
答案：A
解析：的图象过第一、二象限，经过点，且是单调减函数，的图象可看成是把的图象向下平移个单位得到的，故函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选A.
2.
答案：A
解析：函数的值域为.
3.
答案：A
解析：当时，，且函数单调递增，故选A.
4.
答案：6
解析：由指数函数在上单调递减可知在处取最小值为2，在处取最大值为4..
5.
答案：1
解析：令，得，此时，所以恒过定点，所以.
6.
答案：
解析：原不等式可化为，因为函数是R上的增函数，所以，解得，则解集为.
7.
答案：见解析
解析：（1）因为函数是R上的增函数，且，所以.
（2）因为，所以.
（3）当时，函数是R上的增函数，又，故；
当时，函数是R上的减函数，又，故.
8.
答案：见解析
解析：（1）要使有意义，需，则且.故且，故函数的定义域为，函数的值域为.
（2）函数的定义域为实数集R，
由于，则，故.
所以函数的值域为.
9.
答案：见解析
解析：当时，
函数在上单调递增，
此时.
由题意可知，即，所以；
当时，
函数在上单调递减，
此时.
由题意可知，即，所以.
综上所述，所求a的取值范围是.
1 / 5《指数函数的概念和性质》同步练习
一、选择题
1.下列函数中，指数函数的个数为（ ）
①；②，且；③；④.
A.0
B.1
C.3
D.4
2.已知（b为常数）的图象经过点，则的值为（ ）
A.3
B.6
C.9
D.81
3.当时，函数的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.函数的图象过定点A，则点A的坐标为________.
5.若指数函数的图象经过点，则________.
6.不等式的解集为________.
三、解答题
7.判断下列函数是否为指数函数：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
8.已知函数的图象经过点，其中.
（1）求a的值；
（2）求函数的值域.
9.比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2）与1
（3）与.
参考答案
1.
答案：B
解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确.
2.
答案：C
解析：由过定点可知，所以.可知C正确.
3.
答案：C
解析：因为指数函数在区间上是增函数，所以，于是，即.故选C.
4.
答案：
解析：由得，此时，即函数过定点.
5.
答案：
解析：设.
因为过点，
所以，，
所以.
所以，
所以.
6.
答案：
解析：因为，
故原不等式等价于.
根据指数函数的单调即可得，
解得.
故不等式的解集为.
7.
答案：见解析
解析：（1）不是系数不等于1.
（2）不是.指数不是x.
（3）是.
（4）不是.底数不是常数.
（5）不是指数不是x.
（6）不是.是幂函数.
8.
答案：见解析
解析：（1）因为函数的图象经过点，所以.
（2）由（1）得，函数为减函数.
当时，函数取得最大值1，故.
所以函数.
故函数的值域为.
9.
答案：见解析
解析：（1）考察.
，
函数在上是减函数.
又，
.
（2）考察函数.
，
函数在上是减函数.
又.
（3）.
函数在上是增函数，
，即.
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