《指数函数的应用》智能提升
一、选择题
1.某人2018年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2023年1月1日可取款（ ）
A.元
B.元
C.元
D.元
2.如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为.关于下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为3
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积不超过80m2
D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
3.由于盐碱化严重，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2019年的耕地面积为m，则2024年的耕地面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.研究人员发现某种物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度.
5.有些银行存款是按复利的方式计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元，每期的利率为r，存x期后本息和为元.则3期后本息和为__________.
6.假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数，则__________（精确到0.1%）.（参考数据）
三、解答题
7.目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某行业计划从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为.
（1）设n年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a倍，请用表示x；
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数据：）
8.一片森林原面积为a，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等，并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的.
（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
9.某工厂2016年开发一种新型农用机械，每台成本为5000元，并以纯利润20%标价出厂.自2017年开始，加强内部管理，进行技术革新，使成本降低，2020年平均出厂价尽管只有2016年的80%，但却实现了纯利润为50%的高效益.以2016年生产成本为基础，设2016年到2020年生产成本平均每年每台降低的百分数为x，试建立2020年生产成本y与x的函数关系式，并求x的值（可能用到的近似值：）
参考答案
1.
答案：A
解析：2019年1月1日可取款元，2020年1月1日可取款元，同理可得2023年1月1日可取款元.
2.
答案：D
解析：将点的坐标代入函数的解析式，得，函数的解析式为.
对于A选项，由可得浮萍每月的增长率为2，A选项不正确；
对于B选项，浮萍第1个月增加的面积为，第2个月增加的面积为，B选项错误；
对于C选项，第4个月时，浮萍的面积为，C选项错误；
对于D选项，由题意可得，即，所以，，D选项正确.
3.
答案：B
解析：设每年耕地面积减少的百分率为a，则有，所以.则从2019年起，经过x年后耕地面积y与x（年）的函数关系是.当时，.
4.
答案：1
解析：由题意可得：，即，即，即，解得或，即或.
5.
答案：
解析：不难看出，，
.
6.
答案：7.2%
解析：根据题意，设10年前我国国民生产总值为a，则10年后我国国民生产总值为2a，
则有，
即，
可解得：，故答案为：7.2%.
7.
答案：见解析
解析：（1）依题意得，即.
（2）设n年后年产能不超过2017年的25%，则，即.
令，两边取常用对数，则有.
.
当时，，
当时，，
，又的最小值为14.
.
故至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
8.
答案：见解析
解析：（1）设每年降低百分比为.
则，即，
解得.
即每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比为.
（2）设经过m年剩余面积为原面积的，
则，即.
到今年为止，已砍伐了5年.
（3）设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为.
令，即.
故今后最多还能砍伐15年.
9.
答案：见解析
解析：根据题意，由2016年到2020年生产成本经历了4年的降低，所以.
由2016年出厂价为元，得2020年出厂价为（元）.
由，得元.
再由，得.
所以，由2016年到2020年，生产成本平均每年降低11%.
1 / 7《指数函数的应用》同步练习
一、选择题
1.某企业2019年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2019年度产值的月平均增长率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.一种专门侵占计算机内存的病毒开机时占据2KB内存，然后每3min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机经过多少分钟，该病毒占据64MB内存（）（ ）
A.45
B.48
C.51
D.54
3.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退为原来的一半.铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A的半衰期为7.5小时，则物质B的半衰期为（ ）
A.10小时
B.8小时
C.12小时
D.15小时
二、填空题
4.垃圾袋主要是用塑料制成的，垃圾袋埋在地下要过大约200年才能腐烂，并且严重污染土壤，如果采取焚烧处理方式，则会产生有害烟尘和有毒气体，长期污染环境某种垃圾袋腐烂变化过程中的残留量P随着时间t（单位：年）的变化规律是，其中为正实数.若经过60年后垃圾袋腐烂了，按此规律，该垃圾袋需要经过________年，它会腐烂为原来的.
5.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为________元.
6.某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量（克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过________小时后才能开车（精确到1小时）.
三、解答题
7.截止到现在，我国人口约为14亿，若今后能将人口年平均增长率控制在1%，经过x年后我国人口为y亿.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）判断函数是增函数还是减函数？并指出增、减的实际意义.
8.某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？（精确到0.1）
9.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市的人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.
（参考数据：）
参考答案
1.
答案：B
解析：设该企业2019年度产值的月平均增长率为r，1月份产值为1，则2019年12月的产值为：，所以，即.
2.
答案：A
解析：设复制n次后所占的内存等于64MB内存，则，故，故.故一共经过分钟.
3.
答案：B
解析：由题意得.
又不妨设，则.
设物质B的半衰期为t.
由题意可得：，解得.
4.
答案：120
解析：由题意时，，即，
当时，.
5.
答案：2400
解析：12年后的价格将降为元.
6.
答案：4
解析：当时，由于在上单调递增，则在上其最小值为，故在1小时内，此驾驶员不能驾车；当时，由得，即.显然，当时，，当时，，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
7.
答案：见解析
解析：（1）.
（2）是指数型函数，且是增函数.
即只要增长率为正数，随着时间的推移，我国人口总在增长.
8.
答案：见解析
解析：由题意，设经过x年后该林区的木材蓄积量为y（万立方米）.
经过1年，；
经过2年，；
经过3年，；
则经过x年后，该林区的木材蓄积量为.
当时，（万立方米）.
故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.
9.
答案：见解析
解析：（1）1年后该城市人口总数为：
；
2年后该城市人口总数为：
；
3年后该城市人口总数为：；
x年后该城市人口总数为：.
（2）10年后该城市人口总数为：（万人）.
1 / 5(共10张PPT)
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6.2 指数函数的应用
情境引入
引例：在1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
分析：可以先考察一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：
1999年底人口约为13亿；
经过1年人口约为亿；
经过2年人口约为亿；
经过3年人口约为亿；
经过x年人口约为亿.
解：设若今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则.
当时，（亿）.
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.
类似上面引例，设原值为N，平均增长率为p，则经过时间x后总量.像等形如的函数称为指数型函数.
此类题目在生产、生活实际中应用极为广泛，下面我们就通过几道例题来进一步分析该类问题.
探究新知
典例剖析
例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
解析
设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y.
经过1年，剩留量；
经过2年，剩留量；
一般地，经过x年，剩留量.
师生活动：教师找一名学生回答经过1年、经过2年、经过3年的剩留量，由于难度不大，学生可以正确回答.教师可以找一基础差一些的学生回答，然后让学生归纳经过x年的剩留量，学生如果回答有困难，教师可以再找一名同学.
说明：学生容易出现的错误就是忽视定义域，认为定义域为全体实数，在这里教师要把重点放在函数模型的建立上，定义域问题不必要求太高，否则会分散学生注意力.
典例剖析
例2、某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是，本利和（本金加上利息）为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）已知存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
解析
（1）已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为，
2期后的本利和为，
3期后的本利和为，
x期后的本利和为，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为.
（2）将（元），代入上式，得（元）.
即5期后的本利和约为1117.68元.
典例剖析
师生活动：教师可以先用视频资料给学生介绍复利计息，便于学生更好地理解本题，然后指定一学生分别回答1年期、2年期、3年期后的本利和，进而归纳x期后的本利和，写出函数关系式.然后代入计算5年期本利和.
说明：本例题同样存在定义域问题，教师处理方式和例题1一样，把重点放在函数模型的建立.另外本题计算量较大，需要借助计算器完成，教师可以再设置两问，要求学生用计算器回答：
（1）第几期后本利和超过本金的1.5倍？
（2）要使10期后的本利和翻一番，利率应该是多少？（精确到0.001）
典例剖析
例3、2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%.按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2016年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）.
解析
设2000年我国年国内生产总值是1，x年后我国年国内生产总值为y.
因为国内生产总值年平均增长7.8%，所以从2001年开始，每年的国内生产总值是上一年的1.078倍，则
经过1年，；
经过2年；
经过3年，；
典例剖析
例3、2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%.按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2016年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）.
解析
一般地，经过x年，我国年国内生产总值.
画出指数函数的图象，如图所示.从图象上看出，当时，.
答：到2016年我国年国内生产总值约为2000年的3倍.
师生活动：对于写出指数函数模型，由于有例1、例2做铺垫，学生问题不大，教师可以找一名学生到黑板板演，教师巡视，关键让学生体会此类题目的规范写法；画出图象并解决问题则由教师讲解.
课堂小结
本节课我们学习了指数型函数模型的建立过程，并应用该模型解决了一些实际应用问题.
作 业
教材第141页练习第1，2，3题.
