6.2 指数函数
能力提升
指数函数的图象及其应用
1.若a≠0,b>0,则在同一平面直角坐标系内,函数y=ax+b和函数y=bax的图象可能是( )
A.②④ B.①③ C.①④ D.②③
2.(多选)若函数y=ax+b-1(a>0,a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有( )
A.a>1 B.0
C.b>0 D.b<0
3如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点E,B,则a等于( )
A. B. C.2 D.3
4.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是 .
5.已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点M(1,1),N(3,9).
(1)求a+b的值;
(2)当x≤-3时,函数y=的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,求实数t的取值范围.
指数及指数型函数的性质及应用
6.若f(x)是R上的增函数,且对任意x∈R,都有f[f(x)-3x]=4,则f(0)=( )
A.1 B.4
C.3 D.2
7.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.(1,8) B.(1,+∞)
C.(4,8) D.[4,8)
8.已知f(x)是定义在(-∞,0)上的减函数,且对任意x1,x2∈(-∞,0),都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2),则不等式f(x-2)>的解集为( )
A.(-∞,-3) B.
C.(-3,0) D.
9.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈(0,2]时,函数f(x)=2x-1,g(x)=x2-2x+m,如果对于任意x1∈[-2,2],存在x2∈[-2,2],使得g(x2)=f(x1),那么实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-5,-2)
C.[-5,-2] D.(-∞,-2]
10.(多选)若指数函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是( )
A.2 B.
C.3 D.
11.设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则g(2)= .
12.若函数f(x)=mx+k(m>0,m≠1)是奇函数,则实数k= ;若f(x)=mx+kx(m>0,m≠1)是偶函数,则实数k= .
13.已知函数f(x)=1-a·.
(1)当a=3时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域;
(2)若不等式|f(x)|≤3在区间[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
14.)已知函数f(x)=1-,x∈(b-3,2b)是奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)证明:f(x)是区间(b-3,2b)上的减函数;
(3)若f(m-1)+f(2m+1)-3m>0,求实数m的取值范围.
指数函数在实际问题中的应用
15.某片森林原来面积为a,计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%,当砍伐到原来面积的一半时,所用时间是10年,已知到2018年年末,森林剩余面积为原来面积的,为保护生态环境,森林面积至少要保留原来面积的.
(1)求每年砍伐面积的百分比p%;
(2)到2018年年末,该森林已砍伐了多少年
16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初始溶液含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少.
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式;
(2)过滤7次后的杂质含量是多少 过滤8次后的杂质含量是多少 至少应过滤几次才能使产品达到市场要求
答案全解全析
6.2 指数函数
能力提升
1.B 对于①,由函数y=ax+b的图象知a>0,b>1,此时,ba>b0=1,则函数y=bax=(ba)x为增函数,①中的图象符合题意;
对于②,由函数y=ax+b的图象知a>0,0对于③,由函数y=ax+b的图象知a<0,b>1,此时0对于④,由函数y=ax+b的图象知a<0,0b0=1,则函数y=bax=(ba)x为增函数,④中的图象不符合题意.
故选B.
2.AD 函数y=ax+b-1(a>0,a≠1)的图象经过第一、三、四象限,其大致图象如图所示:
由图象可知函数为增函数,所以a>1.当x=0时,y=1+b-1=b<0,
故选AD.
3.A 设点C(0,m)(m>0),则由已知可得A.因为点E,B在指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象上,所以
①式两边平方得m2=,③
②③联立,得m2-2m=0,所以m=0(舍去)或m=2,所以a=.
4.答案 0解析 在平面直角坐标系中作出函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的大致图象.
当0图1
当a>1时(如图2),2a>2,两个函数图象不可能有两个公共点.
图2
所以满足题意的a的取值范围是05.解析 (1)∵函数f(x)=bax的图象经过点M(1,1),N(3,9),
∴∴a2=9,∵a>0,a≠1,
∴a=3,b=,∴a+b=.
(2)由(1)得当x≤-3时,函数y=+3的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,
即当x≤-3时,不等式+3-2x-t>0恒成立,
亦即t<.
设g(x)=+3-2x(x≤-3),
∵y=在(-∞,-3]上单调递减,y=-2x在(-∞,-3]上单调递减,
∴g(x)=+3-2x在(-∞,-3]上单调递减,
∴g(x)min=g(-3)=36,
∴t<36.
6.D 令f(x)-3x=t,则f(t)=4,又因为f(t)-3t=t,所以4-3t=t,解得t=1,所以f(x)=3x+1,所以f(0)=2.
7.D ∵函数f(x)=是R上的增函数,
∴解得4≤a<8.
故a的取值范围为[4,8).
故选D.
8.B ∵f(x)是定义在(-∞,0)上的减函数,
f(x1)f(x2)=f(x1+x2),
∴f(x-2)>
解得-3∴不等式的解集为,
故选B.
9.C ∵f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
∴f(0)=0.
又当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1∈(0,3],
∴当x∈[-2,2]时,f(x)∈[-3,3].
x1∈[-2,2], x2∈[-2,2],使得g(x2)=f(x1),
等价于g(x)max≥3且g(x)min≤-3.
∵g(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,x∈[-2,2],
∴g(x)max=g(-2)=8+m,g(x)min=g(1)=m-1,
∴8+m≥3且m-1≤-3,
解得-5≤m≤-2,
故选C.
10.AB 当a>1时,指数函数y=ax单调递增,所以函数在区间[-1,1]上的最大值为a,最小值为,所以a+,解得a=2或a=(舍去);
当0综上所述,a=2或a=.故选AB.
11.答案 -
解析 当x>0时,-x<0,∴f(-x)=2-x.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=,∴g(x)=-(x>0),∴g(2)=-.
12.答案 -1;1
解析 若函数f(x)=mx+k(m>0,m≠1)是奇函数,则f(-x)=-f(x)对任意实数x恒成立,即m-x+k=-mx+k,令x=2,则+km2=-m2+k2,解得k=-1.
若函数f(x)=mx+k(m>0,m≠1)是偶函数,则f(-x)=f(x)对任意实数x恒成立,即m-x+k,
令x=2,则,解得k=1.
13.解析 (1)当a=3时, f(x)=1-3·,
令=t,则原函数化为y=t2-3t+1=,因为x∈(-∞,0),所以t∈(1,+∞),所以函数f(x)在(-∞,0)上的值域为.
(2)由(1)知,|f(x)|≤3在区间[0,+∞)上恒成立等价于|t2-at+1|≤3在(0,1]上恒成立,故-3≤t2-at+1≤3在(0,1]上恒成立,整理得到在(0,1]上恒成立,所以a≥且a≤.
令g(t)=t-,则g(t)为(0,1]上的增函数,故g(t)max=g(1)=-1;
令h(t)=t+,则h(t)为(0,1]上的减函数,故h(t)min=h(1)=5.
综上,-1≤a≤5.
14.解析 (1)∵函数f(x)=1-,x∈(b-3,2b)是奇函数,
∴f(0)=1-=0,且b-3+2b=0,
即a=2,b=1.
(2)证明:由(1)得函数f(x)=1-,x∈(-2,2).任取x1,x2∈(-2,2),且x1则f(x1)-f(x2)=1--1-=,
∵y=5x在(-2,2)上为增函数,且x10,
又∵+1>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)是区间(-2,2)上的减函数.
(3)构造函数g(x)=f(x)-x,则y=g(x)是奇函数且在定义域内单调递减.
原不等式等价于g(m-1)>g(-2m-1),
∴即
∴-1故实数m的取值范围是(-1,0).
15.解析 (1)由题意可得,a(1-p%)10=a,解得p%=1-,
∴每年砍伐面积的百分比p%为1-.
(2)设经过m年剩余面积为原来的,则a·(1-p%)m=a,
∴(1-p%)m=,
由(1)可得,1-p%=,
即,
∴,解得m=5,故到2018年年末,该森林已砍伐了5年.
16.解析 (1)过滤1次后的杂质含量为;
过滤2次后的杂质含量为;
过滤3次后的杂质含量为;
……
过滤n次后的杂质含量为(n∈N*).
故y与n的函数关系式为y=(n∈N*).
(2)由(1)知,当n=7时,y=,
当n=8时,y=,
因为,
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
2 / 136.2 指数函数
基础过关
指数函数的概念
1.下列函数中指数函数的个数是( )
①y=2x;②y=x2;③y=2x+1;④y=xx;⑤y=(6a-3)x.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数,则( )
A.a=1或a=4 B.a=1
C.a=4 D.a>0,且a≠1
3.已知函数f(x)=则f(0)的值为 .
指数函数的图象及其应用
4.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为( )
A.4 B.8 C.16 D.1
5.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)与g(x)=-x+a的图象大致是( )
6.已知y1=,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为( )
7.如果指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数的图象也必定经过点( )
A. B.
C.(1,2) D.
指数函数图象的变换
8.已知函数f(x)=,则函数y=f(x+1)的图象大致是( )
9.函数y=的图象向右平移3个单位得到的函数图象对应的解析式为 .
指数及指数型函数的简单性质及应用
10.函数f(x)=的定义域为 .
11.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是 .
12.函数y=在[-2,-1]上的最大值是 .
13.若函数y=在区间(-∞,1]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f(x)=x2+2x-m·2-x是定义在R上的偶函数,则实数m的值为 .
15.比较下列各组数的大小:
(1)1.72.5,1.73;
(2)0.8-0.1,0.8-0.2;
(3)0.20.3,0.30.2.
16已知函数f(x)=-1是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.
17.已知函数f(x)=为定义在R上的奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的值域.
指数函数的实际应用问题
18.如图,某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)满足关系式y=at(a>0,且a≠1),给出下列说法:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等.
其中正确的是( )
A.①②③ B.①②③④
C.②③④ D.①②
19.某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金100万元,在此基础上,以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,求该公司全年投入的研发资金开始超过1 000万元的年份.(参考数据:lg 1.08≈0.033)
答案全解全析
6.2 指数函数
基础过关
1.C ①是指数函数;②的底数不是常数,故不是指数函数;③y=2x+1的指数是x+1,而不是x,故不是指数函数;④的底数不是常数,故不是指数函数;⑤因为a>且a≠,所以6a-3>0且6a-3≠1,故是指数函数,所以指数函数的个数是2,故选C.
2.C ∵函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数,∴解得a=4.故选C.
3.答案 8
解析 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=23=8.
4.B 设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,a≠1),由函数f(x)的图象经过点(2,4),得a2=4,又因为a>0,所以a=2,即f(x)=2x,所以f(3)=23=8,故选B.
5.A 由题知,直线g(x)=-x+a的斜率为-1,故排除选项C、D,又由选项A、B中的图象知a>1,当x=0时,g(0)=a>1,所以A正确,B错误.
6.A y2=3x与y4=10x是增函数,y1=与y3=10-x=是减函数,在第一象限内作直线x=1,该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,易知选A.
7.D 设f(x)=ax(a>0,a≠1),由题意知f(-1)==2,∴a=,∴f(x)=.
∴f(-2)==4, f(-1)==2, f(1)=, f(3)=.故选D.
8.B ∵0<<1,∴f(x)=的图象单调递减,f(x+1)的图象可由f(x)的图象向左平移一个单位得到.故选B.
9.答案 y=
解析 将y=的图象向右平移3个单位,得到y==2x-6的图象.
10.答案 (-∞,0)
解析 由已知条件得1-2x>0,解得x<0,所以f(x)的定义域为(-∞,0).
11.答案 [0,8)
解析 y=8-23-x=8-23×2-x=8-8×.
∵x≥0,∴0<≤1,
∴0≤1-<1,∴0≤y<8,
∴函数的值域为[0,8).
12.答案 27
解析 因为函数y=是由y=u与u=x-1复合而成的,y=u在[-2,-1]上为减函数,u=x-1在[-2,-1]上为增函数,所以函数y=在[-2,-1]上为减函数,所以当x=-2时,y取得最大值,最大值为27.
13.答案 [2,+∞)
解析 函数y=是由y=6u与u=-x2+ax复合而成的,y=6u在(-∞,1]上单调递增,u=-x2+ax的图象的对称轴为直线x=,故≥1,解得a≥2.
14.答案 -1
解析 函数f(x)=x2+2x-m·2-x是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2+2-x-m·2x=x2+2x-m·2-x,解得m=-1.
15.解析 (1)对应的指数函数为y=1.7x,∵1.7>1,∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.
(2)对应的指数函数为y=0.8x,∵0<0.8<1,∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上是减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在第一象限内函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方,所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数,可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
16.解析 (1)由题意知,2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为{x|x≠0},
由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)对于定义域内的任意x恒成立,则+1,即+2,即m·2x=m+2(1-2x),则(m+2)(2x-1)=0,
因为该式对于定义域中的任意x都成立,所以m=-2.
经检验,m=-2时, f(x)是奇函数.
(2)证明:由(1)知f(x)=-1在(0,+∞)内任取x1,x2,且x1∵0∴<0,
∴f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
17.解析 (1)由已知得f(0)=0,∴a=1,
∴f(x)=.
(2)f(x)=,
∵2x+1>1,∴0<<2,
∴1-∈(-1,1),
∴f(x)的值域为(-1,1).
18.D 由题中图象知,当t=2时,y=4,
∴a2=4,故a=2(a=-2舍去),①正确;
当t=5时,y=25=32>30,②正确;
当y=4时,由4=知,t1=2,
当y=12时,由12=知,t2=log212=2+log23,t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增加的面积不相等,增长速度越来越快,④错误.
故选D.
解析 根据题意,设每年的研发费用为y万元,全年投入的研发资金开始超过
1 000万元的年份为x年,则y=100(1+8%)x-2 018,
即y=100×1.08x-2 018.
令100×1.08x-2 018=1 000,
两边同时取对数得x-2 018=log1.0810,
即x=log1.0810+2 018=+2 018≈+2 018≈2 049.
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