1 匀变速直线运动的研究
(方案1为例)
一、数据处理
1.计数点的选取与测量
从三条纸带中选择一条点迹最清晰的,不考虑开头一些过于密集的点,找一个便于测量的点作为计时起点(0点)。可选择相隔0.1 s的若干计数点进行测量,即依次每五个点取一个计数点,并标明0,1,2,3,4,…,相邻两计数点间的时间间隔(T=0.1 s)作为一个时间单位。
如图所示,用毫米刻度尺测量每个计数点与起点(0点)的距离x1,x2,x3,…,并记录填入表中。
计数点 0 1 2 3 4 5 …
时间t/s 0 …
xn/m 0 …
vn/(m·s-1) — …
2.瞬时速度的计算和记录
根据某段区间的平均速度等于该区间中间时刻的瞬时速度,求各计数点的瞬时速度,即v1=,v2=,v3=,…,vn=计算,然后将对应的时刻和瞬时速度填入设计的表格中。
3.求小车的加速度
(1)取任意两个点,用它们的速度差Δv=v2-v1除以相应的时间差Δt=t2-t1,求得加速度。
(2)若取不同的两个点求得的加速度相等,则小车的运动是匀变速直线运动。
(3)图像法分析数据
①建坐标系
ⅰ.以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系。
ⅱ.定标度、描点:坐标轴的标度选取要合理,并根据表格中的数据在坐标系中描点。
②连线:通过所描的点作图线,让这条图线通过尽可能多的点,不在线上的点大致均匀分布在图线的两侧,如图所示。
③实验结论
若所作v-t图像是一条倾斜的直线,那么当时间增加相同的值Δt时,速度也会增加相同的值Δv,即小车的速度随时间均匀变化。
二、误差分析
产生原因 减小方法
偶然 误差 根据纸带测量的位移有误差 测量各计数点到起始点的距离,而不是直接测量相邻计数点间的距离
描点作图不准确 坐标轴的单位长度选取合适,使图像尽量分布在较大的坐标平面内
系统 误差 长木板的粗糙程度不完全相同 尽量选用粗糙程度均匀的长木板
三、注意事项
1.细线、纸带保持水平状态。
2.小车要靠近打点计时器,保证纸带上打出足够多的点。
3.钩码个数适当,便于分析实验数据和作图。
4.先接通电源后释放小车。
5.对毫米刻度尺读数时,要估读到分度值(1 mm)的下一位。
类型一 实验原理与探究过程
[例1] 某同学用如图1所示的装置探究小车的运动。
(1)实验室已经有了以下器材:电磁打点计时器、秒表、电池组、纸带、复写纸、小车、钩码、细绳、一端附有定滑轮的长木板。其中不需要的器材是 、 ,还需要增添的器材有 、 。
(2)用一条纸带穿过打点计时器,该同学发现有如图2中的两种穿法。你认为 (选填“甲”或“乙”)的穿法正确。
(3)实验中某同学写出了如下实验步骤:
A.在桌面上放好长木板,在无滑轮的一端固定电磁打点计时器,用导线将打点计时器接到220 V交流电源上。
B.将纸带固定在小车上,并使纸带穿过电磁打点计时器的限位孔。
C.用细绳的一端拴住小车,细绳的另一端跨过长木板上的定滑轮挂上钩码,将小车放在靠近打点计时器一端的长木板上。
D.放开小车,让小车运动后再合上开关,使打点计时器打点。
E.纸带全部通过后断开开关,取下纸带,测量和分析纸带。
乙同学检查了甲同学拟定的实验步骤,发现有两处错误。请你代乙同学纠正甲同学的错误:
错误1: 。
错误2: 。
(4)如图3所示的纸带上,A,B,C,D,E为纸带上所选的计数点,相邻计数点间的时间间隔为0.1 s,则vB= m/s。
解析:(1)电磁打点计时器是计时的器材,使用低压交流电源,所以不需要的器材是秒表和电池组。为了得到小车的运动情况,还需要用刻度尺来测量计数点之间的距离,所以还需要低压交流电源和刻度尺。
(2)应用电磁打点计时器时,纸带应放在复写纸的下方,故选乙。
(3)错误1:A中应将电磁打点计时器接到6 V的低压交流电源上。错误2:D中应先合上开关再放开小车。
(4)两点的时间间隔为0.1 s,计数点B对应的小车速度vB==0.26 m/s。
答案:(1)秒表 电池组 低压交流电源 刻度尺
(2)乙
(3)A中应将电磁打点计时器接到6 V的低压交流电源上 D中应先合上开关再放开小车
(4)0.26
类型二 数据处理与误差分析
[例2] 某实验小组做“探究小车运动”的实验。
(1)在获得的纸带中,小明用刻度尺测量纸带距离如图甲所示,B点的读数是 cm;已知打点计时器每 0.02 s 打一个点,则B点对应的速度vB= m/s。(结果保留三位有效数字)
(2)实验小组中的四位同学利用同一条纸带分别作出了如图乙所示的四幅v-t图像,其中最规范的是 ,由此图像得到的加速度是 m/s2。
(3)在图乙选项A中,图线与纵轴交点的物理意义是 。
解析:(1)B点的读数为3.20 cm,A点的读数为0.50 cm,C点的读数为6.30 cm;已知打点计时器每隔0.02 s打一个点,B点的速度可以用A,C间的平均速度表示,有vB===1.45 m/s。(2)作图像时,需要利用描出的点作平滑图线,应使图线通过尽量多的点,不能通过的点均匀分布在图线两侧;选取合适的坐标单位,使图线尽可能分布在坐标系的整个区域。可知最规范的为A。由于v-t图像的斜率即为小车的加速度,则a=≈0.483 m/s2。
(3)图线与纵轴交点表示小车在计时开始时的速度大小。
答案:(1)3.20 1.45 (2)A 0.483
(3)计时开始时小车的速度
类型三 方案拓展与实验创新
[例3] 水平面上的小球在风洞中受到风力作用而做加速度不变的加速运动,其频闪照片如图所示。现利用该素材“探究小球的运动”。若已知小球的直径,还需要拍摄者提供哪些信息 你认为应该怎样做才可获取实验结论
解析:探究小球的速度随时间的变化规律需要求频闪照片中小球各位置对应的速度,然后作小球的v-t图像,据此确定小球的运动规律。求小球速度需要拍摄者提供频闪照片的频率。
探究方法
(1)用刻度尺量出照片中小球的直径,由小球的直径计算出照片比例。
(2)用刻度尺测量照片中相邻小球间的距离,计算其实际距离。
(3)由相邻小球间实际距离,结合频闪照片频率计算各时刻小球的速度。
(4)将各组对应数据在v-t坐标内描点,并作出小球的 v-t图像,据此确定小球的速度随时间的变化规律。
答案:见解析
课时作业·巩固提升
1.在利用钩码牵引小车做“探究小车运动”的实验中,下列说法中正确的是( C )
A.长木板一定要水平摆放
B.使用刻度尺测量长度时,不必估读
C.使用刻度尺测量长度时,要估读到最小刻度的下一位
D.作vt图像时,所作图线必须经过每一个点
解析:实验过程中,一般长木板应平放,不能侧向倾斜,但适当一端高一端低,也是可以的,故A错误。使用刻度尺测长度时,需要估读,故B错误,C正确。作vt图像时,应由所描点的分布作图线,使图线经过尽量多的点,故D错误。
2.关于“探究小车速度随时间变化的规律”的实验操作,下列说法错误的是( D )
A.把长木板平放在实验桌上,使滑轮伸出桌面,把打点计时器固定在长木板没有滑轮的一端
B.在释放小车前,小车应靠近打点计时器
C.应先接通电源,待打点计时器开始打点并稳定后再释放小车
D.槽码的质量越大越好
解析:把长木板平放在实验桌上,使滑轮伸出桌面,把打点计时器固定在长木板没有滑轮的一端,这样可以有效利用纸带,故A正确;在释放小车前,小车应靠近打点计时器,让小车从远离滑轮端开始运动,可以尽可能地打更多的点,故B正确;为了打点稳定,应先接通电源,待打点计时器开始打点并稳定后再释放小车,故C正确;如果槽码质量太大,小车运动的加速度过大,打出的点较少,不利于实验数据处理,所以槽码的质量适中即可,不是越大越好,故D错误。
3.(多选)一小球在水平桌面上做加速度不变的直线运动,用照相机对着小球每隔0.1 s拍照一次,得到一张频闪照片,用刻度尺量得照片上小球各位置如图所示,已知照片与实物的比例为1∶10,则( AD )
A.图中对应的小球在通过8 cm距离内的平均速度是 2 m/s
B.图中对应的小球在通过8 cm距离内的平均速度是 1.6 m/s
C.图中对应的小球通过6 cm处的瞬时速度是2.5 m/s
D.图中对应的小球通过6 cm处的瞬时速度是2 m/s
解析:小球在通过8 cm距离内的平均速度===2 m/s,故A正确,B错误。可以认为小球通过6 cm处的瞬时速度等于相邻两点间的平均速度v===2 m/s,故C错误,D正确。
4.在探究小车速度随时间的变化规律的实验中,算出小车经过各计数点瞬时速度如表所示:
计数点序号 1 2 3 4 5 6
计数点对应 的时刻/s 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
通过计数点的 速度/cm·s-1 44.0 62.0 81.0 100.0 110.0 168.0
为了计算加速度,合理的方法是( C )
A.根据任意两计数点的速度用公式a= 算出加速度
B.根据实验数据画出vt图像,量出其倾角,由公式a=tan α 求出加速度
C.根据实验数据画出vt图像,由图线上相距较远的两点所对应的速度、时间,用公式a= 算出加速度
D.依次算出通过连续两计数点间的加速度,算出平均值作为小车的加速度
解析:方法A偶然误差较大。方法D实际上也仅由始末两个速度决定,偶然误差也比较大。只有利用实验数据画出对应的vt图像,才可充分利用各次测量数据,减少偶然误差。由于在物理图像中,两坐标轴的分度大小往往是不相等的,根据同一组数据,可以画出倾角不同的许多图线,方法B是错误的。正确的方法是根据图线找出不同时刻所对应的速度值,然后利用公式a=算出加速度,选项C正确。
5.在“探究小车运动”的实验中,打点计时器打出一纸带,A,B,C,D为四个计数点,且两相邻计数点间还有四个点没有画出,所用交流电源频率为50 Hz,纸带上各点对应刻度尺上的刻度如图所示,则
vB= m/s,a= m/s2。
解析:由题意知每两个相邻计数点间的时间间隔为T=0.1 s,vB== =0.15 m/s,
vC===0.17 m/s,
a===0.2 m/s2。
答案:0.15 0.2
6.某班同学利用打点计时器做“探究小车运动”的实验。
(1)①电火花打点计时器是一种使用 的计时仪器,本实验还需要的测量工具有 。(填入正确选项前的字母)
A.天平 B.秒表
C.毫米刻度尺 D.交流电源
E.直流电源
②使用打点计时器时,接通电源与让纸带随小车开始运动这两个操作过程的操作顺序,应该是 。
A.先接通电源,后释放纸带
B.先释放纸带,后接通电源
C.释放纸带的同时接通电源
D.哪个先,哪个后都可以
③甲同学利用如图甲所示的装置做实验时,记录了下列实验步骤。合理的操作顺序是 (填写步骤前面的字母)。
A.把纸带穿过打点计时器,并把纸带的一端固定在小车的后面。用一条细绳拴在小车上,使细绳绕过滑轮,下边挂上合适的钩码
B.把附有滑轮的长木板平放在实验桌上,并使滑轮伸出桌面。把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端,连接好电路
C.把小车停在靠近打点计时器处,接通电源后,放开小车,让小车拖着纸带运动,打点计时器就在纸带上打下一行小点,随后立即关闭电源
D.换上新纸带,重复操作三次
④如图乙,该同学在实验中,用打点计时器打出了一条纸带,O,A,B,C,D,E为纸带上的六个计数点,O,D间的距离为 cm。
(2)乙同学在获取的记录小车运动信息的纸带上确定出A,B,C,D,E,F,G共7个计数点。其相邻点间的距离如图丙所示,每两个相邻的计数点之间的时间间隔为0.1 s。
①试根据纸带上各个计数点间的距离,算出打下D点时小车的瞬时速度,并将D点速度值填入下表。(结果保留两位有效数字)
时刻/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
速度 vB vC vD vE vF
数值 /(m·s-1) 0.40 0.48 0.64 0.72
②利用表中各组速度与时刻的对应数据作出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线。
③根据vt图线,求得小车运动的加速度a= m/s2,0时刻的初速度vA= m/s。(结果保留两位有效数字)
解析:(1)①电火花打点计时器需要用交流电源,故选D;打出的纸带需要用毫米刻度尺测量点与点之间的距离,即物体运动的位移,故选C。
②为了有效利用纸带和保持打点的稳定,需要先接通电源后释放纸带,故选A。
③实验中先安置好长木板、打点计时器并连接电路,再连接好纸带、小车,然后接通电源,释放小车获取小车运动的打点纸带并重复几次,故合理的顺序应该是BACD。
④从图中读出O,D间的距离为l=2.20 mm-1.00 mm=1.20 cm。
(2)①D点的速度用C,E间的平均速度表示,则vD=≈0.56 m/s。
②在vt坐标平面中先描点,拟合一条直线,使其通过尽可能多的点不在直线上的点大致均匀分布在直线两侧,其vt图像如图所示。
③根据图像可知a==0.80 m/s2,
0时刻小车的初速度为vA=0.32 m/s。
答案:(1)①D C ②A ③BACD ④1.20
(2)①0.56 ②见解析 ③0.80 0.322 匀变速直线运动速度与时间的关系
学习目标 成长记录
1.根据上一节小车的v-t图像是一条倾斜直线,构建匀变速直线运动的模型。知道v-t图像的斜率等于加速度。 知识点一&要点一
2.理解匀变速直线运动的速度与时间的关系式(速度方程)vt=v0+at,会用vt=v0+at解决简单的匀变速直线运动问题。 知识点二、三&要点二
知识点一 小车运动的v-t图像
小车在钩码牵引下运动的v-t图像是一条倾斜的直线,说明小车做匀变速直线运动。
知识点二 匀变速直线运动的速度与时间的关系
1.速度的变化量:做匀变速直线运动的物体,在t时刻的速度vt与开始时刻的速度v0之差是速度的变化量,即 Δv=vt-v0。
2.速度与时间的关系式(速度方程):vt=v0+at。即速度vt是时间t的一次函数,v-t图像的斜率等于加速度a。
知识点三 速度方程的深入讨论(以初速度v0的方向为正方向)
1.若a>0,则a与v0方向相同,速度数值随时间的增加而增加,物体做加速运动,v-t图像向上倾斜。
2.若a<0时,则a与v0方向相反,速度数值随时间增加而减小,物体做减速运动,v-t图像向下倾斜。
3.若a=0,物体速度不发生变化,其运动就是匀速直线运动,v-t图像是一条平行直线。
1.思考判断
(1)运动方向改变的直线运动一定不是匀变速直线运动。( × )
(2)匀变速直线运动的加速度不变。( √ )
(3)速度随时间增加的直线运动一定是匀变速直线运动。( × )
(4)做匀减速直线运动的物体加速度a一定为负值。( × )
(5)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。( √ )
(6)公式vt=v0+at适用于任何做直线运动的物体。( × )
2.思维探究
(1)某物体的速度—时间图像如图所示。试说明,该物体沿什么方向运动 速度的大小随时间的变化关系是什么样的 运动中哪个物理量保持不变
答案:由于物体的v-t图像是一条倾斜直线,且v<0,可以确定该物体运动方向与选定的正方向相反,速度的大小随时间均匀增加,加速度保持不变。
(2)在匀减速直线运动中,公式vt=v0+at中各物理量的符号如何确定
答案:匀减速直线运动中,若以初速度v0的方向为正方向,则加速度a<0;若以初速度v0的反方向为正方向,则加速度a>0。
要点一 匀变速直线运动的理解及v-t图像的特点
四个物体运动的v-t图像如图所示。
(1)它们分别做什么运动
(2)匀加速直线运动的v-t图像斜率一定为正值吗 匀减速直线运动的v-t图像斜率一定为负值吗
答案:(1)甲做匀速直线运动;乙做匀加速直线运动;丙做匀减速直线运动;丁做反向匀加速直线运动。
(2)不一定;不一定。
1.对比理解匀变速直线运动
匀速直线运动 匀变速直线运动
相同点 物体都沿直线运动,其轨迹一定是一条直线
不同点 ①加速度为0 ②速度不变,物体一直朝一个方向运动 ①加速度恒定且不为零 ②加速度方向与速度方向沿同一条直线 ③速度均匀变化,物体可能一直朝一个方向加速运动,也可能先减速到0,又反向加速运动
2.几种直线运动的v-t图像的比较
匀速直线运动 匀变速直线运动 变加速直线运动
图像
特点 ①平行于t轴的直线;②斜率为零 ①倾斜直线;②斜率表示加速度 ①曲线;②各点切线斜率表示瞬时加速度;③a表示加速度增大的加速运动,b表示加速度减小的加速运动
注意 ①v-t图像只能描述直线运动中v随时间t的变化情况,无法描述曲线运动中v随时间t的变化情况; ②v-t图像描述的是物体的速度随时间的运动规律,并不表示物体的运动轨迹
3.由v-t图像能获得的信息
(1)纵截距:表示物体的初速度。
(2)横截距:表示开始计时后过一段时间物体才开始运动,或物体经过一段时间速度变为零。
(3)与横轴的交点:表示速度为零且方向改变的时刻。
(4)图线折点:表示加速度改变的时刻。
(5)两图线的交点:表示该时刻两物体具有相同的速度。
[例1] (多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动,两物体运动的v-t图像如图所示,下列判断正确的是( BC )
A.甲做匀速直线运动,乙做匀变速直线运动
B.两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4 s末
C.乙在前2 s内做匀加速直线运动,2～6 s做匀减速直线运动
D.2 s后,甲、乙两物体的速度方向相反
解析:由题图知,甲以2 m/s的速度做匀速直线运动,乙在0～2 s内做匀加速直线运动,加速度a1==2 m/s2,2～6 s内做匀减速直线运动,加速度a2==-1 m/s2,A错误,C正确;t=1 s和t=4 s时二者速度相同,B正确;0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向,D错误。
应用v-t图像分析问题的两个易混点
(1)加速度方向的判断:看v-t图线切线斜率的正负。图线的斜率为正值,表示加速度为正方向;图线的斜率为负值,表示加速度为负方向。
(2)速度方向的判断:看v-t图线所处在的象限。图线处在第一象限的速度为正方向,图线处在第四象限的速度为负方向。
[针对训练1] (多选)老师去教学楼送物理期中考试试卷时,从一楼坐上电梯之后,在上楼过程中,取向上为正,则老师运动的v-t图像可能为( AD )
解析:电梯先做初速度为0的匀加速直线运动,图线为过原点的倾斜直线,然后做匀速直线运动,图线为平行于时间轴的直线,最后做匀减速直线运动,图线为倾斜的直线;运行过程中也可能没有匀速直线运动的阶段,就只有先匀加速然后匀减速直线运动,但开始和结束时速度一定为0,选项A,D正确。
要点二 速度与时间关系式的理解及应用
在上一节实验中,同学们探究了小车在钩码牵引下的运动,并且用v-t图像直观地描述了小车的速度随时间变化的规律,即v-t图像为一条倾斜直线,即v与t为一次函数关系,如图所示。从数学角度看,一次函数的表达式为y=b+kx,结合v-t图像,思考以下问题:
(1)对应v-t图像,函数y=b+kx中的y,x分别表示哪个物理量
(2)该小车的速度随时间变化的函数关系是怎样的
(3)结合公式vt=v0+at,小车的初速度是多大 加速度是多大
(4)结合v-t图像,函数y=b+kx中的k,b分别表示哪个物理量
答案:(1)y,x分别表示速度和时间。
(2)设小车v-t图线与x轴夹角为α,
则tan α==0.05 m/s2,
则vt=v0+tan α·t=(0.3+0.05t)m/s。
(3)小车的初速度是0.3 m/s,加速度是0.05 m/s2。
(4)k,b分别表示加速度和初速度。
1.公式vt=v0+at中各量的物理意义
v0是开始时刻的速度,称为初速度;vt是经时间t后的瞬时速度,称为末速度;at是在时间t内速度的变化量,即Δv=at。
2.公式vt=v0+at只适用于匀变速直线运动。
3.公式的应用
公式vt=v0+at中的v0,vt,a均为矢量,应用公式时,首先应选取正方向。一般以v0的方向为正方向,若为匀加速直线运动,a>0;若为匀减速直线运动,a<0。若vt>0,说明vt与v0方向相同;若vt<0,说明vt与v0方向相反。
4.特殊情况
(1)当a=0时,vt=v0。
即加速度为零的运动是匀速直线运动。
(2)当v0=0时,vt=at。
即由静止开始的匀加速直线运动中,速度大小与其运动时间成正比。
(3)若物体以初速度v0减速到停止的时间为t0,则加速度的大小a=,速度随时间的变化关系vt=a(t0-t),即运动可看成反向的由静止开始的匀加速直线运动。
[例2] 卡车原来以54 km/h的速度在平直公路上匀速行驶,因为路口出现红灯,司机从较远的地方开始刹车,使卡车匀减速前进。当卡车减速到18 km/h时,交通灯转为绿灯,司机立即放开刹车,并且只用了减速过程的一半时间卡车就加速到原来的速度,从开始刹车到恢复原速共用了12 s。求:
(1)减速与加速过程中的加速度各为多大
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度各为多大
解析:(1)设卡车从A点开始减速,用t1时间到达B点;从B点又开始加速,用时间t2到达C点,其运动简图如图所示。
由t2=t1,t1+t2=12 s,可得t1=8 s,t2=4 s。
根据vt=v0+at,在AB段有vB=vA+a1t1,
在BC段有vC=vB+a2t2;
且vA=vC=54 km/h=15 m/s,vB=18 km/h=5 m/s
解得a1=-1.25 m/s2,a2=2.5 m/s2。
(2)2 s末处在匀减速运动阶段,速度为
v2=vA+a1t=15 m/s-1.25 m/s2×2 s=12.5 m/s;
10 s末处在匀加速运动阶段,加速时间
t′=t″-t1=10 s-8 s=2 s,速度为
v10=vB+a2t′=5 m/s+2.5 m/s2×2 s=10 m/s。
答案:(1)1.25 m/s2 2.5 m/s2 (2)12.5 m/s 10 m/s
匀减速直线运动中应用vt=v0+at时要注意实际情况:速度减为0之后物体能否加速返回,若不能返回,则物体所能运动的最长时间t=。
[针对训练2] 一家从事创新设计的公司打造了一辆飞行汽车,既可以在公路上行驶,也可以在天空飞行。已知该飞行汽车起飞时在跑道上的加速度大小为2 m/s2,速度达到40 m/s后离开地面。离开跑道后的加速度为5 m/s2,最大速度为200 m/s。该飞行汽车从静止加速到最大速度所用的时间为( B )
A.40 s B.52 s C.88 s D.100 s
解析:由速度与时间关系式v=v0+at得离开跑道前晕v1=a1t1,离开跑道后v2=v1+a2t2,代入数据得t1=20 s,t2=32 s,所以t=t1+t2=52 s,选项B正确。
图像法——数形结合法在匀变速直线运动中的应用
利用图像这种特殊且直观的数学工具,来表达各种现象的过程和规律,这种方法称为图像法。图像法作为表示物理规律的方法之一,可以直观地反映某一物理量随另一物理量变化的函数关系,形象地描述物理规律。在进行抽象思维的同时,利用图像视觉感知,有助于对物理知识的理解和记忆,准确把握物理量之间的定性和定量关系,深刻理解问题的物理意义。应用图像法不仅可以直接求或读某些待求物理量,还可以用作探究某些物理规律,测定某些物理量,分析或解决某些复杂的物理过程。
[示例] (多选)一物体做直线运动,下图表示该物体做匀变速直线运动的是( AC )
解析:v-t图像中图线斜率表示物体的加速度,匀变速直线运动中加速度不变,若v-t图线的斜率保持不变,说明加速度恒定不变,物体做匀变速直线运动,选项A正确,D错误;x-t图像中斜率表示运动速度,斜率保持不变,说明物体做匀速直线运动,选项B错误;a-t图像纵坐标保持不变,说明物体的加速度不变,物体做匀变速直线运动,选项C正确。
“刹车问题”——匀变速直线运动规律的实际应用
日常出行所乘坐的交通工具刹车时,在阻力作用下的运动可认为是匀减速直线运动,且此运动过程不可逆,即当速度减小到零时,车辆就会停止运动,不会反向加速。解答此类问题的常规思路是:
(1)先确定刹车时间。设车辆从刹车到速度减为零所用的时间为T,则T=。
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较。若Tt,则在利用公式进行计算时,公式中的时间应为t。
[示例] 汽车的加速、减速性能是衡量汽车性能的一项重要指标,一辆汽车以54 km/h的速度匀速行驶。
(1)若汽车以1.5 m/s2的加速度加速,求8 s后汽车的速度大小。
(2)若汽车以1.5 m/s2的加速度刹车,求刹车8 s时的速度大小。
(3)若汽车以1.5 m/s2的加速度刹车,某同学求刹车 12 s时刻的速度时,发现这个数据等于刹车8 s时刻的速度,你觉得有这种可能性吗
解析:(1)初速度v0=54 km/h=15 m/s,
由vt=v0+at,得vt=15 m/s+1.5 m/s2×8 s=27 m/s。
(2)刹车过程中汽车做匀减速运动,a′=-1.5 m/s2,
减速到停止所用时间t′===10 s,
所以刹车8 s时的速度
vt′=v0+a′t=15 m/s-1.5 m/s2×8 s=3 m/s。
(3)没有这种可能性。因为刹车10 s后汽车就停止了,所以刹车12 s时的速度是零。
答案:(1)27 m/s (2)3 m/s (3)没有
课时作业·巩固提升
1.物体做匀变速直线运动,加速度为-7 m/s2,下列说法正确的是( D )
A.物体的末速度一定比初速度小7 m/s
B.第3 s初的速度一定比第2 s初的速度减少了7 m/s
C.第3 s末速度一定比第2 s初改变了7 m/s
D.物体速度的改变量与这段时间的比值一定是-7 m/s2
解析:物体做匀变速直线运动,加速度为-7 m/s2,由于不知道对应的时间,故无法确定速度变化,故A错误;物体做匀变速直线运动,说明物体可能做匀加速直线运动,也可能做匀减速直线运动,加速度为
-7 m/s2,没有说明初速度的方向,则物体第3 s初的速度可能比第2 s初的速度减少了7 m/s,也可能第3 s初的速度比第2 s初的速度增大了7 m/s,故B错误;第3 s末与第2 s初之间的时间间隔为2 s,则第3 s末速度一定比第2 s初改变了14 m/s,故C错误;根据加速度的公式a=可知,物体速度的改变量与这段时间的比值一定是
-7 m/s2,故D正确。
2.升降机提升重物时重物运动的vt图像如图所示,利用该图像分析0～2 s与5～8 s内的加速度大小之比和方向关系( B )
A.3∶2 相同 B.3∶2 相反
C.2∶3 相同 D.2∶3 相反
解析:0～2 s内升降机向上做匀加速直线运动,由vt=v0+at得加速度a1=== m/s2,2～5 s 升降机匀速上升;5～8 s升降机匀减速上升,其加速度a2==- m/s2,则加速度大小之比为=,故B正确,A,C,D错误。
3.一个做匀变速直线运动的质点的vt图像如图所示,由图线可知其速度-时间的关系为( B )
A.vt=(4+2t) m/s
B.vt=(-4+2t) m/s
C.vt=(-4-2t) m/s
D.vt=(4-2t) m/s
解析:由图知,质点初速度为v0=-4 m/s。加速度为a===
2 m/s2,由公式vt=v0+at得vt= (-4+2t) m/s,故B正确,A,C,D错误。
4.质点沿x轴运动,其速度v随时间t变化的vt图像如图所示,已知t=0时刻质点速度方向沿x轴正方向;t2-t1= t3-t2.则下列说法正确的是( B )
A.t2时刻质点的速度和加速度均为零
B.t2时刻质点即将沿x轴负方向运动
C.质点在t1时刻和t3时刻的速度相同
D.质点在t1时刻和t3时刻的加速度大小相等,方向相反
解析:vt图像的斜率表示加速度,由题图可知质点运动的加速度不变,t2时刻质点的速度为零,加速度不为零,故A、D错误;t2时刻之前质点沿x轴正方向运动,之后沿x轴负方向运动,故B正确;质点在t1时刻和t3时刻的速度大小相同,方向相反,故C错误。
5.一辆匀加速行驶的汽车,经过路旁两根电线杆共用5 s时间,汽车的加速度为2 m/s2,它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s,则汽车经过第1根电线杆的速度为( D )
A.2 m/s B.10 m/s
C.2.5 m/s D.5 m/s
解析:由题意知vt=15 m/s,a=2 m/s2,t=5 s,根据vt=v0+at得,v0=vt-at= 15 m/s-2 m/s2×5 s=5 m/s,故D正确。
6.爬杆运动员从竖直杆上端由静止开始先匀加速下滑2t时间,然后再匀减速下滑t时间恰好到达杆底且速度为0,则前后两段匀变速运动过程中加速度大小之比为( A )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1
解析:设匀加速运动的末速度为vt,由vt=at得加速度大小a1=,匀减速运动的加速度大小a2=,则a1∶a2=1∶2,故A正确。
7.(多选)某物体由静止开始做直线运动,其加速度与时间的变化关系如图所示,已知t2=2t1,在0～t2时间内,下列说法正确的是( AC )
A.该物体一直沿正方向运动
B.该物体一直做匀加速直线运动
C.该物体在t1时刻的速度最大
D.该物体在t2 时刻的速度最大
解析:在at图像中,图像与t轴所围面积等于物体速度的变化量,物体初始静止,之后与t轴所围面积始终非负,所以物体一直沿正方向运动,故A正确;在0～t2时间内,加速度的大小虽然没有发生变化,但加速度的方向发生过变化,故B错误;从图像上可以看出,在0～t2时间内,物体先做匀加速运动,后做匀减速运动,在t1时刻速度达到最大,故C正确,D错误。
8.某物体沿一直线运动,其 vt图像如图所示,则下列说法中正确的是( D )
A.第2 s内和第3 s内加速度方向相同
B.第2 s内和第3 s内的速度方向相反
C.第4 s内速度方向与加速度方向相反
D.第5 s内加速度方向与第2 s内加速度方向相同
解析:根据vt图线的斜率表示加速度,第2 s内和第3 s内图线的斜率一正一负,加速度方向相反,故A错误;第2 s内和第3 s内速度均为正值,说明速度方向均沿正方向,方向相同,故B错误;第4 s内速度方向为负方向,加速度方向为负方向,两者方向相同,故C错误;第2 s内和第5 s 内图线的斜率都为正,说明加速度方向相同,故D正确。
9.如图所示,质点在直线AC上做匀加速运动,质点到达A点时的速度是 5 m/s,经过3 s到达B点时的速度是 14 m/s,若再经过4 s 到达C点。求:
(1)质点的加速度大小;
(2)质点到达C点时的速度大小。
解析:(1)从A到B的过程中,质点做的是匀加速运动,根据公式vt=v0+at有a===3 m/s2。
(2)从B点到C点,vC=vB+at′,则vC=vB+at′=14 m/s+3 m/s2×4 s=
26 m/s。
答案:(1)3 m/s2 (2)26 m/s
10.甲、乙两物体分别做匀加速和匀减速直线运动,已知乙的初速度是甲的初速度的2.5倍,且甲的加速度大小是乙的加速度大小的2倍,经过 4 s,两者的速度均达到 8 m/s。求:
(1)两者的初速度大小;
(2)两者的加速度大小。
解析:(1)对甲、乙两物体分别应用匀变速直线运动速度公式,有
vt=v甲+a甲t,vt=v乙-a乙t,又v乙=2.5v甲,a甲=2a乙,
而vt=8 m/s
则甲、乙两物体的初速度分别为v甲=4 m/s,v乙=2.5v甲=10 m/s。
(2)根据公式vt=v0+at,则甲、乙两物体的加速度大小分别为a甲= ==1 m/s2,
a乙===0.5 m/s2。
答案:(1)4 m/s 10 m/s
(2)1 m/s2 0.5 m/s23 匀变速直线运动位移与时间的关系
学习目标 成长记录
1.知道v-t图线与t轴所围“面积”与物体位移的关系,能利用v-t图像得出公式x=v0t+at2。 知识点一&要点一
2.会应用匀变速直线运动的位移公式解决实际问题。匀变速直线运动的推论关系(Δx=aT2,=)及应用。 知识点二&要点二
知识点一 匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.公式:根据速度—时间图像与时间轴所围的面积等于位移的大小,有x=(v0+vt)t,结合速度公式vt=v0+at,可得x=v0t+at2。
2.两种特殊形式
(1)当v0=0时,x=at2,即由静止开始的匀加速直线运动的位移x与t2成正比。
(2)当a=0时,x=v0t,即匀速直线运动的位移与t成正比。
知识点二 速度与位移的关系
1.关系式:-=2ax。
2.两种特殊形式
(1)当v0=0时,=2ax,即为初速度为零的匀加速直线运动的速度位移公式。
(2)当vt=0时,-=2ax,即为末速度为零的匀减速直线运动的速度位移公式。
3.推导
4.应用条件
已知量和未知量都不涉及时间的匀变速直线运动优先选用,可使解析过程清晰、简洁。
1.思考判断
(1)位移公式x=v0t+at2仅适用于匀加速直线运动。( × )
(2)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。( × )
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。( √ )
(4)速度由v0变为vt的匀变速直线运动,平均速度=。( √ )
(5)匀加速直线运动中速度的二次方v2一定与位移x成正比。( × )
2.思维探究
(1)物体运动的v-t图像如图所示,v-t图像与t轴所围“面积”表示t时间内的位移,该结论对非匀变速直线运动适用吗
答案:同样适用。对于非匀变速直线运动,v-t图像为曲线,可得到相同结论。
(2)你能定性画出初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图像吗
答案:能。匀变速直线运动中,当v0=0时,由位移x= at2可知x是t的二次函数,则x-t图像是顶点在坐标原点的抛物线的一部分,曲线上某点切线的斜率表示对应时刻的速度,图线的切线斜率逐渐增大,即做匀加速直线运动的质点的速度逐渐增大,其v-t图像如图所示。
要点一 位移与时间关系式的理解及应用
(1)把匀变速直线运动的v-t图像分成几个小段,如图1所示。每段位移约等于每段起始时刻速度与对应时间组成的矩形面积,则整个过程的位移约等于所有小矩形的 。
(2)把运动过程分为更多的小段,如图2所示,所有小矩形的 可以更接近物体在整个过程的位移。
(3)把整个运动过程分为非常非常多的小段,如图3所示,所有小矩形就组合形成一个梯形OABC,该梯形的 就代表物体在相应时间间隔内的位移。而该梯形OABC面积大小为S=(OC+AB)·OA,而OC=v0,AB=v,OA=t,S=x,则有x= ,将v=v0+at代入得x= 。
答案:(1)面积总和 (2)面积总和
(3)面积 t v0t+at2
公式x=v0t+at2的理解
(1)适用条件:只适用于匀变速直线运动。
(2)矢量性:式中x,v0,a都是矢量,应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动中,a与v0同向,a取正值;匀减速直线运动中,a与v0反向,a取负值。
②若位移的计算结果为正值,说明位移方向与规定的正方向相同;若位移的计算结果为负值,说明位移方向与规定的正方向相反。
[例1] (多选)冰壶,又称掷冰壶、冰上溜石,是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目,属冬奥会比赛项目,并设有冰壶世锦赛。在某次比赛中,冰壶被投出后,如果做匀减速直线运动,用时20 s停止,最后1 s内位移大小为0.2 m,则下面说法正确的是( BC )
A.冰壶的加速度大小是0.3 m/s2
B.冰壶的加速度大小是0.4 m/s2
C.冰壶第1 s内的位移大小是7.8 m
D.冰壶的初速度大小是6 m/s
解析:整个过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动,最后1 s的位移为0.2 m,根据位移—时间公式x1=a,代入数据解得a=0.4 m/s2,故A错误,B正确;根据速度—时间公式得初速度为v0=at=0.4 m/s2×20 s=8 m/s,则冰壶第1 s内的位移大小为x1′=v0t-at2=7.8 m,故C正确,D错误。
[针对训练1] (多选)某物体运动的v-t图像如图所示,根据图像可知,该物体( AD )
A.0～2 s内加速度为1 m/s2
B.0～5 s内位移为10 m
C.0～6 s内位移为7.5 m
D.0～6 s内位移为6.5 m
解析:0～2 s内物体做匀加速直线运动,由v=at得加速度a==1 m/s2,故A正确;0～5 s内物体的位移等于梯形面积,即x1=×(5 s+2 s)×2 m/s=7 m,故B错误;在5～6 s内物体的位移x2=-×(6 s-5 s)×1 m/s=-0.5 m,故0～6 s内物体的位移x=x1+x2=6.5 m,故C错误,D正确。
要点二 匀变速直线运动推论式及应用
1.平均速度和中间时刻的速度
在匀变速直线运动中,某一段时间内的平均速度等于始、末速度矢量和的平均值,也等于该段时间内中间时刻的瞬时速度,即 ==。
推导:由位移公式x=v0t+at2得==v0+a·,对比vt=v0+at,
则==v0+=。
2.逐差相等
匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔T内,位移之差是一个常量,即Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。
推导:设初速度为v0,加速度为a,相等时间为T。根据公式x=v0t+at2得T内位移xⅠ=v0T+aT2,相邻下一个T内位移为xⅡ=v0·2T+a(2T)2-(v0T+aT2)=v0T+aT2,其位移之差Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。进一步则有xn+3-xn=xn+3-xn+2+xn+2-xn+1+xn+1-xn=aT2+aT2+aT2=3aT2。
[例2] (多选)一质点做匀加速直线运动,第3 s内的位移是2 m,第4 s内的位移是2.5 m。以下说法中正确的是( ABD )
A.这2 s内平均速度是2.25 m/s
B.第3 s末瞬时速度是2.25 m/s
C.质点的加速度是0.125 m/s2
D.质点的加速度是0.5 m/s2
解析:根据平均速度公式,故这2 s内的平均速度==2.25 m/s,故A正确;第3 s末的瞬时速度等于这2 s时间内的平均速度,则v3====2.25 m/s,故B正确;根据Δx=aT2得,质点的加速度a===0.5 m/s2,故C错误,D正确。
(1)应用推论==的注意事项
①推论==只适用于匀变速直线运动,且该等式为矢量式。
②当v0=0时,==;当v=0时,==。
(2)Δx=aT2的选择及拓展
①对于一般的匀变速直线运动问题,若出现相等的时间间隔问题,应优先考虑用Δx=aT2求解。
②对于不相邻的两段位移,则有xm-xn=(m-n)aT2。
③此关系式常用于解决匀变速直线运动的实验中求加速度问题。
[针对训练2] 从斜面上某一位置每隔 0.1 s释放一个相同的小球,释放后小球做匀加速直线运动,在连续释放几个后,对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片,测得xAB=15 cm,xBC=20 cm。试问:
(1)小球的加速度是多少
(2)拍摄时小球B的速度是多少
(3)拍摄时xCD是多少
解析:(1)由推论Δx=aT2可知,小球的加速度为
a====5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻,可知B点的速度等于AC段的平均速度,即
vB=vAC===1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内的位移差恒定,所以
xCD-xBC=xBC-xAB,
所以xCD=2×20 cm-15 cm=25 cm。
答案:(1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)25 cm
生活中的追及与相遇问题
1.问题实质
追及、相遇问题,其实质就是分析讨论两物体间距离的变化和某一时刻能否到达相同的空间位置。
2.两个关系,一个条件
(1)两个关系:即时间关系和位移关系。
(2)一个条件:即两者的速度相等,它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点。
3.常见的情况
物体A追赶物体B。可能为匀加速运动物体追匀速运动物体;匀速运动物体追匀减速运动物体;匀减速运动物体追匀减速运动物体;匀加速运动物体追匀加速运动物体。
(1)开始时,两个物体相距x0。
①则物体A追上物体B时,必有xA-xB=x0,且vA≥vB。
②两物体恰好不相撞时,必有xA-xB=x0,且vA=vB。
(2)开始时两个物体处在同一位置。
①物体A追上物体B时,必有xA=xB,vA≥vB。
②物体A与物体B恰好不相撞时,必有xA=xB,vA=vB。
[示例] 火车甲以v1=288 km/h的速度匀速行驶,调度室通知前方同轨道上相距x=0.5 km 处有一列火车乙正沿同方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动,司机立即以加速度a紧急刹车,要使两车不相撞,a应满足什么条件(火车看作质点)
解析:法一 (物理分析法)
两车不相撞的条件是当两列火车速度相等时,两车仍相距一段距离,即v1-at=v2,
x1≤x2+x,其中x1=v1t-at2,x2=v2t,
联立以上各式并代入数据可得a≥1.6 m/s2。
当a≥1.6 m/s2时,两车不会相撞。
法二 (判别式法)
设甲火车减速t时间后,两车恰好不相撞,则有
x1=x2+x,即v1t-at2=v2t+x,整理得
at2-2(v1-v2)t+2x=0。
若两车不相撞,即判别式应满足
Δ=4(v1-v2)2-8ax≤0,代入数据解得a≥1.6 m/s2。
法三 (v-t图像法)
两列火车的v-t图像如图所示。刚好不相撞时图中阴影面积为S,有(v1-v2)t1=S,而=a,得出a=1.6 m/s2,
所以刹车加速度a≥1.6 m/s2。
答案:a≥1.6 m/s2
行车安全距离
在高速公路上,有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。造成追尾的主要因素是精力不集中和超速行驶。驾驶员从发现险情到引导汽车制动是有一段时间的,这段时间叫反应时间,一般情况下驾驶员的反应时间在1 s之内,若精力不集中,反应时间会达到3 s以上;制动过程中,汽车还会继续行驶一段才会停止运动,车速越高,减速行驶的距离越长。因此,汽车在高速行驶时,保持合适的车距和控制合理车速至关重要。
[示例] 研究表明,一般人的刹车反应时间即图甲中“反应过程”所用时间t0=0.4 s,但饮酒会导致反应时间延长,在某次实验中,志愿者少量饮酒后驾车以v0=72 km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶距离L=54 m,减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示,此过程可视为匀变速直线运动。重力加速度g取10 m/s2。
(1)减速过程汽车加速度的大小及所用时间分别是多少
(2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少
(3)若该饮酒志愿者发现正前方有一辆大卡车以v=12 m/s 的速度同方向匀速行驶,为避免追尾,则志愿者发现情况时,两车间的距离至少为多少
解析:(1)设刹车过程中加速度为a,由题意可知刹车初速度为v0=72 km/h=20 m/s
末速度为0,位移为x=40 m,根据逆向思维法,有
=2ax,t=,
代入数据解得a=5 m/s2,t=4 s。
(2)反应时间内的位移为
x′=L-x=54 m-40 m=14 m,
则反应时间为t′===0.7 s
故增加的反应时间为Δt=0.7 s-0.4 s=0.3 s。
(3)由于志愿者反应时间为0.7 s,若两车速度相等时恰好不追尾,则此后就不会追尾,所以当v汽=v时,汽车减速的时间为t1===1.6 s,
此时卡车行驶的距离为
x1=v(t′+t1)=12 m/s×(0.7 s+1.6 s)=27.6 m。
汽车行驶的距离x2=v0t′+=20 m/s×0.7 s+=39.6 m,
由x1+L0=x2,
可得两车间的距离至少为L0=12 m。
答案:(1)5 m/s2 4 s (2)0.3 s (3)12 m
课时作业·巩固提升
基础巩固
1.汽车在水平地面上因故刹车的运动可以看作是匀减速直线运动,其位移与时间的关系是x=16t-2t2(m),则它在停止运动前最后1 s内的平均速度为( C )
A.6 m/s B.4 m/s
C.2 m/s D.1 m/s
解析:根据匀变速直线运动的位移时间关系式x=v0t+at2,对比x= 16t-2t2,可知汽车刹车过程中v0=16 m/s,a=-4 m/s2;
采取逆向思维,物体在停止运动前1 s内的位移x=at2=×4 m/s2×
(1 s)2=2 m,
其平均速度==2 m/s,
选项C正确。
2.关于物体做匀变速直线运动的位移,下列说法中正确的是( A )
A.平均速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大
B.初速度大的物体通过的位移一定大
C.加速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大
D.加速度大的物体通过的位移一定大
解析:运动的物体的位移均为x= t,则平均速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大,选项A正确。根据 x=v0t+at2,可知物体位移的大小与v0,a大小及方向有关,还与t有关,初速度大的物体通过的位移不一定大;加速度大、运动时间长的物体通过的位移不一定大;加速度大的物体通过的位移也不一定大,选项B,C,D错误。
3.由静止开始做匀加速运动的汽车,第1 s内通过0.4 m路程,以下说法中正确的是( A )
①第1 s末的速度为0.8 m/s ②加速度为0.8 m/s2 ③第2 s内通过的路程为1.2 m ④前2 s内通过的路程为1.2 m
A.①②③ B.②③④
C.①②③④ D.①②④
解析:设加速度为a,则由x=at2,得a==0.8 m/s2,所以第1 s末速度v1=a·(1 s)=0.8 m/s,第2 s内通过路程为x2=a·(2 s)2-0.4 m=
1.2 m,故①②③正确,④错误,即选项A正确,B,C,D错误。
4.(多选)某物体由静止开始,做加速度大小为a1的匀加速直线运动,运动时间为t1,接着物体又做加速度大小为a2的匀减速直线运动,经过时间t2,其速度变为零,则物体在全部时间内的平均速度为( ACD )
A. B.
C. D.
解析:物体先做初速度为零的匀加速直线运动后做末速度为零的匀减速运动,作出vt图像如图所示。
则可知,全程中的最大速度v=a1t1,因前后均为匀变速直线运动,则平均速度===,故A,D正确;全程的总位移x=a1+a2,全程的平均速度==,故C正确,B错误。
5.如图所示,甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶,甲车以20 m/s的速度匀速运动,乙车原来速度为8 m/s,从距甲车80 m处以大小为
4 m/s2的加速度做匀加速运动,则乙车追上甲车的时间为( D )
A.4 s B.6 s C.8 s D.10 s
解析:设经时间t乙车追上甲车。在这段时间内甲、乙两车位移分别为x甲=v甲t,x乙=v乙t+at2,
追上时有x乙=x甲+x0,即8t+2t2=20t+80,
整理得t2-6t-40=0,
解得t1=10 s,t2=-4 s(舍去),故D正确。
6.四个质点做直线运动,运动图像如图所示(选项D中图像对应质点在t=0时刻的速度为零),其对应的质点不能在4 s末回到初位置的是( D )
解析:A,B选项中,从xt图像看出4 s末的坐标和起始时刻坐标一样均为3 m,表示4 s末回到初位置,故A,B错误;根据vt图像与时间轴所围的面积表示位移,可知在0～4 s内,质点的位移为零,在4 s末能回到初位置,故C错误;at图像与时间轴所围的面积表示速度的变化量,可知在0～4 s内,质点的速度变化为零,但位移不为零,在4 s末不能回到初位置,故D正确。
7.物体从静止开始做匀加速直线运动,第3 s内通过的位移是3 m,求:
(1)物体的加速度大小;
(2)3 s末的速度大小;
(3)前3 s内的位移大小。
解析:(1)由于物体在第1 s内,第2 s内,第3 s内位移之比为1∶3∶5,而第3 s内位移为3 m,则第1 s内位移x1=0.6 m,根据x=at2,
得a=1.2 m/s2。
(2)3 s末的速度是v3=at3=3.6 m/s。
(3)前3 s内位移为x3=a=×1.2 m/s2×(3 s)2=5.4 m。
答案:(1)1.2 m/s2 (2)3.6 m/s (3)5.4 m
8.如图所示,小滑块在较长的斜面顶端,以初速度v0=2 m/s、加速度a=2 m/s2向下滑,在到达底端前1 s内,所滑过的距离为L,其中L为斜面长,求:
(1)小滑块在斜面上滑行的时间和到达斜面底端时的速度v。
(2)斜面的长度L是多少
解析:设滑块在斜面上滑行的时间为t,有
L=v0t+at2,
L-L=v0(t-1)+a(t-1)2,
解得t=3 s,L=15 m,
又v=v0+at,得v=8 m/s。
答案:(1)3 s 8 m/s (2)15 m
能力提升
1.汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动,刹车后的加速度大小为
5 m/s2,那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( C )
A.1∶1 B.1∶3 C.3∶4 D.4∶3
解析:汽车从刹车到停止用时t刹===4 s,故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为x1=v0t-at2=20 m/s×2 s-×5 m/s2×(2 s)2=
30 m,x2=v0t刹-a=20 m/s×4 s-×5 m/s2×(4 s)2=40 m,x1∶x2=3∶4,故C正确。
2.图中ae为珠港澳大桥上四段 110 m 的等跨钢箱连续桥梁,若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动,通过ab段的时间为t,则通过ce段的时间为( C )
A.t B.t
C.(2-)t D.(2+)t
解析:设汽车的加速度为a,经历bc段、ce段的时间分别为t1,t2,而v0=0,则x=at2,即xab=at2,xac=a,xae=a(t+t1+t2)2,而xae=4xab,xac=2xab,解得t2=(2-)t,选项C正确,A,B,D错误。
3.如图所示,水平地面上并排固定着三个相同木块,一可视为质点的子弹以速度v0从左侧水平射入1号木块,且刚好未从3号木块穿出。若子弹整个过程可视为匀减速直线运动,则子弹离开2号木块开始进入3号木块时的速度为( B )
A.v0 B.v0 C.v0 D.v0
解析:子弹的运动可视为反向的匀加速直线运动,设每个木块的厚度为d,子弹运动过程中的加速度大小为a,根据速度-位移关系可得=2a·3d,设子弹离开2号木块开始进入3号木块时的速度为v,则有v2=2ad,联立解得v=v0,故B正确,A,C,D错误。
4.甲、乙两车沿水平方向直线运动,某时刻刚好经过同一位置,此时甲的速度为5 m/s,乙的速度为10 m/s,以此时作为计时起点,它们的速度—时间图像如图所示,对于两车在10 s内的运动情况,下列说法正确的是( C )
A.在t=4 s时,甲、乙两车相遇
B.在t=10 s时,乙车恰好回到出发点
C.乙车在运动过程中速度的方向保持不变
D.乙车做加速度先增大后减小的变加速运动
解析:vt图像中,图线与t轴所围面积表示位移,而在0～4 s中,甲、乙图线与t轴所围面积差逐渐增大,t=4 s后,又逐渐减小,即t=4 s时相距最远,故A错误;0～10 s内乙车的图线与t轴间面积大于零,即在t=10 s时乙车没有回到出发点,故B错误;0～10 s内,乙车的速度图线一直在时间轴的上方,速度一直为正,方向没有改变,故C正确;vt图像的斜率表示物体的加速度,可知乙车加速度先减小后增大,最后再减小,故D错误。
5.(多选)如图所示,物体做匀加速直线运动,A,B,C,D为其运动轨迹上的四点,测得AB=2 m,BC=3 m,且物体通过AB,BC,CD所用的时间均为 0.2 s,则下列说法正确的是( AD )
A.物体的加速度为25 m/s2
B.物体通过B的速度为25 m/s
C.物体通过D的速度为25 m/s
D.CD=4 m
解析:物体由A到B和由B到C的时间相等,根据Δx=aT2,可得a== =25 m/s2,故A正确;物体通过B的速度vB===12.5 m/s,故B错误;物体通过D的速度vD=vB+a×2T=12.5 m/s+ 25 m/s2×
0.4 s=22.5 m/s,故C错误;根据CD-BC=BC-AB,可知CD=4 m,故D正确。
6.(多选)小物体P在光滑水平面上正在以速度v0匀速运动。从t=0时刻开始计时,P的加速度随时间的变化关系如图所示,加速度方向与v0方向相同,图中a0,t0为已知量,则小物体P( AC )
A.在2t0和4t0时刻的速度一定不相等
B.在3t0时刻的速度为7a0t0
C.在2t0到4t0时间内运动位移为2v0t0+14a0
D.在t0时刻的速度为1.5a0t0
解析:在2t0到4t0时间内,物体加速度不变,即物体做匀加速运动,则在2t0和4t0时刻的速度一定不相等,选项A正确;由a=可知Δv= a·Δt,即at图像的“面积”等于速度的变化量,由图可知v0=a0t0= 0.5a0t0,则在 0～3t0时间内的速度变化量为(a0+3a0)·2t0+3a0t0= 7a0t0,则3t0时刻的速度为v0+7a0t0=7.5a0t0,选项B错误;同理在2t0时刻的速度为4.5a0t0,则在2t0到4t0时间内运动位移为x=4.5a0t0× 2t0+·3a0×(2t0)2=15a0,而2v0t0+14a0=15a0,选项C正确;由几何关系可知,t0时刻P的加速度为2a0,在t0时刻的速度为vt0= v0+×(a0+2a0)·2t0=3.5a0t0,选项D 错误。
7.甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶,甲车在前,乙车在后,它们行驶的速度分别为16 m/s和18 m/s。已知甲车紧急刹车时的加速度a1大小为3 m/s2,乙车紧急刹车时的加速度a2大小为4 m/s2,乙车司机的反应时间为0.5 s,求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞,甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离
解析:设甲车刹车后经时间t甲、乙两车速度相等,
则v甲-a1t=v乙-a2(t-Δt),其中Δt=0.5 s
解得t=4 s,甲车位移x甲=v甲t-a1t2=40 m
乙车位移x乙=v乙·Δt+v乙×(t-Δt)-a2(t-Δt)2=47.5 m,
则Δx=x乙-x甲=7.5 m,
即甲、乙两车行驶过程中至少应保持7.5 m距离。
答案:7.5 m
8.一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以 3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以 6 m/s 的速度匀速驶来,从后面超过汽车。
(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少
(2)什么时候汽车追上自行车 此时汽车的速度是多少
解析:(1)汽车开动后速度由零逐渐增大,而自行车的速度恒定。当汽车的速度小于自行车的速度时,两者间的距离将越来越大,而汽车的速度超过自行车的速度,两者间的距离将缩小,因此两者速度相等时相距最远。
由v汽=at0=v自,得t0===2 s,
Δxmax=v自t0-a=6 m/s×2 s-×3 m/s2×(2 s)2=6 m。
(2)自行车和汽车的vt图像如图所示,
在t0时刻以后,由汽车的vt图线与自行车的vt图线组成的三角形面积(竖线阴影部分面积)与横线阴影部分的面积相等时,两者的位移相等,根据数学关系,相遇时有v自t′=v汽′t′,=a,代入数据解得v汽′=2v自= 12 m/s,t′=4 s。
答案:(1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s4 匀变速直线运动规律的应用
学习目标 成长记录
1.知道关系式-=2ax的推导以及适用条件。 知识点二&要点一
2.知道初速度为零的匀变速直线运动的比例关系及应用。 知识点一&要点二
知识点一 匀变速直线运动的两条主要规律
1.速度与时间的关系:vt=v0+at,末速度vt是时间t的一次函数。
2.位移与时间的关系:x=v0t+at2,位移x是时间t的二次函数。
3.规律特点:涉及的5个物理量有初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x和时间t,其中v0,vt,a,x都是矢量,只有时间t是标量。
知识点二 实际中的匀变速直线运动问题
1.飞机起飞过程中,若由静止开始,其加速度为a,离地速度为vt,如何确定飞机起飞跑道的长度 若飞机先通过弹射装置以某一初速度v0开始,起飞位移又为多少
2.若起飞中的飞机因意外突发情况,在达到某速度时要求在有限距离内停下来,如何求飞机的加速度
3.子弹射出枪管过程中,若已知枪管长度、射出速度,子弹在枪管内的加速度是多少
以上问题中,均涉及匀变速直线运动中的初速度v0、末速度vt、位移x和加速度a四个物理量,解答该类问题时,由vt=v0+at,x=v0t+at2
两公式消去t,可得到-=2ax。
1.思考判断
(1)公式-=2ax适用于所有的直线运动。( × )
(2)做匀加速直线运动的物体,位移越大,物体的末速度一定越大。( × )
(3)确定公式-=2ax中的四个物理量的数值时,选取的参考系应该是统一的。( √ )
(4)匀加速直线运动中速度的二次方一定与位移x成正比。( × )
(5)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、末速度三个因素都有关。( √ )
2.思维探究
如果你是机场跑道设计师,若已知飞机的加速度为a,起飞速度为v,你应该如何来设计飞机跑道的长度
答案:根据公式-=2ax得
=2ax,
所以x=,
即应使飞机跑道的长度大于。
要点一 关系式-=2ax的理解应用
若物体做匀变速直线运动的初速度为v0、加速度为a、末速度为vt、位移为x,怎样求物体经过这段位移的中点时的速度
答案:由于问题中已知v0,vt,a,x,求时的速度,不涉及时间,可优先选用公式-=2ax。
对于前半段位移,有-=2a·,
对于后半段位移,
有-=2a·。
由以上两式得=。
对公式-=2ax的理解
(1)适用范围:仅适用于匀变速直线运动。
(2)各物理量的含义。
(3)矢量性:公式中的v0,vt,a,x四个物理量都是矢量,计算时要统一正方向。
(4)常用情况:分析和解决不涉及时间的问题时,使用 -=2ax往往会使问题变得简单。
(5)特殊情况:当v0=0时,公式简化为=2ax。
[例1] 有些汽车刹车后,停止转动的轮胎在地面上发生滑动,可以明显地看出滑动的痕迹,即常说的刹车线,由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小,因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据。若汽车刹车后的加速度大小为8 m/s2,刹车线长是16 m,则可知汽车刹车前的速度是( C )
A.4 m/s B.8 m/s C.16 m/s D.20 m/s
解析:汽车加速度a=-8 m/s2,末速度为0,刹车位移为x=16 m。设汽车刹车前的速度为v0,根据运动学规律有02-=2ax,代入数据得v0=16 m/s,故A,B,D错误,C正确。
公式-=2ax的应用
(1)当物体做匀变速直线运动时,如果不涉及时间一般用速度—位移公式较方便。
(2)刹车问题由于末速度为零,应用此公式往往较方便且能避免机械套用位移公式而出现解答错误。
[针对训练1] 若有一个小孩从滑梯上由静止开始沿直线匀加速下滑。当他下滑距离为L时,速度为v,当它的速度是时,它沿斜面下滑的距离是( C )
A. B.
C. D.
解析:设小孩下滑的加速度为a,由于v0=0,根据-=2ax有v2=2aL,得a=;速度变为时有 ()2=2ax,则x=,选项C正确。
要点二 初速度为零的匀变速直线运动的比例关系
以初速度为零、加速度为a做匀加速直线运动的物体,经过若干相等时间T。
(1)第5T时的速度是第1T时的多少倍
(2)5T内的位移是1T内位移的多少倍
(3)第5T内的位移是第1T内位移的多少倍
答案:(1)5倍 (2)25倍 (3)9倍
1.等分运动时间(以T为时间单位)的情况
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比:
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内,2T内,3T内……位移之比:
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
2.等分位移(以x为单位)的情况
(1)通过x,2x,3x,…所用时间之比:
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶。
(2)通过第一个x、第二个x、第三个x……所用时间之比:
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。
[例2] (多选)如图所示,一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C,已知AB=BC,则下列说法正确的是( BD )
A.滑块到达B,C两点的速度之比为1∶2
B.滑块到达B,C两点的速度之比为1∶
C.滑块通过AB,BC两段的时间之比为1∶
D.滑块通过AB,BC两段的时间之比为(+1)∶1
解析:法一 根据匀变速直线运动的速度-位移公式v2=2ax,解得v=,因为经过B,C两点的位移之比为 1∶2,则通过B,C两点的速度之比为1∶,故A错误,B正确;设AB段、BC段的长度均为L,所经历的时间分别为t1,t2,根据匀变速直线运动的位移-时间公式L=a和2L=a(t1+t2)2,联立可得=,故C错误,D正确。
法二 比例关系:初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…∶(-),所以滑块通过AB,BC两段的时间之比为1∶(-1)=(+1)∶1,C错误,D正确;通过前x、前2x、前3x……前nx的位移时的瞬时速度之比为1∶∶∶…∶,所以滑块到达B,C两点的速度之比为1∶,A错误,B正确。
应用初速度为零的匀加速直线运动几个比例式的技巧
(1)比例式适用于初速度为0的匀加速直线运动,但应用逆向思维的方法也可以用来求解匀减速直线运动减速到速度为0的运动。
(2)匀变速直线运动中,若这些比例式成立,则该运动初速度或末速度一定为0。
[针对训练2] 一个物体做初速度为零的匀加速直线运动。关于物体的运动,下列说法中正确的是( B )
A.第4 s内的平均速度和第5 s内的平均速度之比为 4∶5
B.第4 s内的平均速度和第5 s内的平均速度之比为 7∶9
C.第4 s内的速度变化量大于第3 s内的速度变化量
D.第4 s内和前4 s内的位移之比为8∶16
解析:由“某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度”可得,第4 s内和第5 s内的平均速度分别为=v3.5=3.5a,=v4.5=4.5a,则∶=7∶9,故选项A错误,B正确;第3 s内和第4 s内的时间均为1 s,则第4 s 内的速度变化量和第3 s内的速度变化量相等,选项C错误;因物体的初速度为零,则相邻相同时间内的位移之比为x1∶x2∶x3∶x4=1∶3∶5∶7,故第 4 s 内和前4 s内的位移之比为x4∶(x1+x2+x3+x4)=7∶16,故选项D错误。
匀变速直线运动的推论与打点纸带类问题在物理众多力学实验中,通过打点纸带求物体某位置的速度、物体加速度占据了很大比重,利用匀变速直线运动的推论关系==,Δx=aT2是我们需要掌握的重要技能。
求解可按以下方法进行。
1.计数点的选取与测量
选择一条点迹清晰的纸带,不考虑开头一些过于密集的点,找一个便于测量的点作为计时起点(0点)。可选择相隔0.1 s的若干计数点进行测量,即依次每五个点取一个计数点,并标明0,1,2,3,4,…,相邻两计数点间的时间间隔(T=0.1 s)作为一个时间单位。
如图所示,用毫米刻度尺测量每个计数点之间的距离x1,x2,x3,…并记录填入表中。
位置编号 0 1 2 3 4 5 6 …
时间t/s 0 …
xn/m 0 …
vn/(m·s-1) — …
2.加速度的计算
(1)若x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=常数,则小车做匀变速运动。
(2)由Δx=aT2可得出a1=,a2=,a3=,则a=求小车加速度。
3.瞬时速度的计算和记录
由于各计数点之间的时间间隔比较短,可以利用包含某计数点在内的平均速度代表该计数点的瞬时速度,一般运用v1=,v2=,v3=,…vn=计算,然后将对应的时刻和瞬时速度填入设计的表格中。
4.图像法分析数据
(1)建坐标系
①以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系。
②定标度、描点:坐标轴的标度选取要合理,并根据表格中的数据在坐标系中描点。
(2)连线:通过所描的点作图线,让这条图线通过尽可能多的点,不在线上的点大致均匀分布在图线的两侧。如图所示。
5.实验结论
若所作v-t图像是一条倾斜的直线,那么图线斜率不变,小车加速度恒定不变,求出直线斜率即为小车的加速度。
[示例] 某同学用如图甲所示的实验装置测量匀变速直线运动的加速度。
实验步骤如下:
A.安装好实验器材
B.让小车拖着纸带运动,打点计时器在纸带上打下一系列小点,重复几次,选出一条点迹比较清晰的纸带,从便于测量的点开始,每五个点取一个计数点,如图乙中a,b,c,d,e等点
C.测出x1,x2,x3,…
(1)如果小车做匀加速运动,所得纸带如图乙所示,则x1,x2,x3的关系是 ,已知打点计时器打点的时间间隔是t,则打c点时小车的速度大小是 。
(2)如果小车做匀加速直线运动,测出前六段相等时间内的位移分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,已知打点计时器打点的时间间隔是t,则小车的加速度a的表达式为 a= 。
解析:(1)如果小车做匀加速直线运动,则连续相等时间内的位移之差为恒量,故x2-x1=x3-x2;根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度vn=,故vc=。
(2)根据x4-x1=x5-x2=x6-x3=3aT2(T为相邻两计数点之间的时间间隔,且T=5t),
求出a1=,a2=,a3=,
则a==。
答案:(1)x2-x1=x3-x2
(2)
航母舰载机的起飞
拥有航空母舰是大国地位的标志,是赢取战争的胜利或抑制战争发生的重要利器,航母舰载机是航母的标配。航母舰载机的起飞一般有三种方式:滑跃式、弹射式和垂直式。弹射起飞需要在航母上安装弹射器,我国国产航母将安装电磁弹射器,其工作原理与电磁炮类似。用强迫储能器代替常规电源,它能在极短时间内释放所储存的电能;由弹射器使飞机获得足够的速度,从而实现短距离起飞,舰载机的起飞速度约为300 km/h(约83 m/s)。
[示例] 某航空母舰用于舰载机起飞的水平路设为200 m,飞机离舰速度为80 m/s,飞机起飞运动看作匀变速直线运动。
(1)若舰载机为滑跃起飞,航母处于静态,则飞机起飞加速度多大
(2)若(1)中的航母以15 m/s速度行驶,且飞机沿行驶方向起飞,飞机滑跑距离是多少
(3)若航母采用电磁弹射起飞方式,弹射加速度为 80 m/s2,航母处于静态,弹射轨道多长
解析:(1)由-=2ax,得a===16 m/s2。
(2)由-=2ax,得x===193 m。
(3)根据关系式-=2ax,得x′===40 m。
答案:(1)16 m/s2 (2)193 m (3)40 m
课时作业·巩固提升
基础巩固
1.如图所示,一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车,突然以1 m/s2的加速度匀加速行驶,则汽车行驶了18 m时的速度为( C )
A.8 m/s B.12 m/s
C.10 m/s D.14 m/s
解析:根据关系式-=2ax及v0=8 m/s,a=1 m/s2,x=18 m,可求出vt= 10 m/s,选项C 正确。
2.汽车刹车后做匀减速直线运动,经过3 s停止运动,那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为( B )
A.1∶2∶3 B.5∶3∶1
C.1∶4∶9 D.3∶2∶1
解析:根据初速度为零的匀加速直线运动的特点,从开始运动在三个连续1 s内的位移之比为1∶3∶5。由逆向思维知刹车过程在连续相等的三个1 s内的位移之比为 5∶3∶1,选项B正确。
3.如图所示为运行的高速铁路客运列车,假设观察者站在列车第一节车厢前端一侧,列车由静止开始做匀加速直线运动,测得第一节车厢通过他用了5 s,列车全部通过他共用25 s,问这列车一共由几节车厢组成(车厢等长且不计车厢间距离)( A )
A.25节 B.20节 C.16节 D.5节
解析:设列车第一节车厢的长度为L,总长度为nL,则由题意知L=a,nL=a;两式相比得n===25节,故选A。
4.如图所示,一列长为L的火车沿平直轨道匀加速地驶过长为L的水平桥,车头过桥头A时的速度是v1,车头过桥尾B时的速度是v2,则车尾通过桥尾时的速度为( D )
A.v2 B.2v2-v1
C. D.
解析:火车车头从桥头到桥尾运动的过程中,-= 2ax,得-=2aL,
从火车车头通过桥头到火车车尾通过桥尾的过程中,有 -= 2a·2L可解得vt=,选项D正确。
5.如图所示,一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动,若到达B点时速度为v,到达C点时速度为2v,则xAB∶xBC等于( C )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
解析:画出运动示意图,由v2-=2ax得xAB=,xBC=,故xAB∶xBC=1∶3,选项C正确。
6.一颗子弹垂直射向并排靠在一起且固定的三块等厚的木板,射穿最后一块时速度恰好减为零,若子弹匀变速通过这三块木板,它通过这三块木板所用时间之比为( D )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.1∶∶ D.(-)∶(-1)∶1
解析:子弹依次射入每块木板做匀减速直线运动到零,采取逆向思维,将子弹的运动看作沿相反方向的初速度为零的匀加速直线运动,则在通过连续相等位移内的时间之比为1∶(-1)∶(-),反过来,子弹依次射入每块木板的时间之比为t1∶t2∶t3=(-)∶(-1)∶1,故D正确。
7.一辆汽车做匀减速直线运动,初速度为10 m/s,经过时间4 s,速度减小到 2 m/s。求:
(1)汽车运动的加速度大小;
(2)6 s内的位移大小;
(3)6 s末的速度大小。
解析:(1)根据公式vt=v0+at,
代入数据得a=-2 m/s2;大小为2 m/s2。
(2)刹车时间t==5 s,
由于汽车5 s已停,由-=2ax得x==25 m。
(3)6 s末汽车已停止运动,因此速度为0。
答案:(1)2 m/s2 (2)25 m (3)0
8.如图所示,物体以7 m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面做匀减速直线运动,途经斜面中点C,到达斜面最高点B.已知vA∶vC=7∶5,从C点到B点历时2 s,试求:
(1)物体到达斜面最高点B时的速度大小;
(2)斜面的长度。
解析:(1)根据匀变速直线运动的速度-位移公式知
-=2a·,
-=2a·,
则-=-,
因为vA=7 m/s,vA∶vC=7∶5,则vC=5 m/s,
解得vB=1 m/s。
(2)根据速度-时间公式v=v0+at得加速度a===-2 m/s2,
由速度-位移公式v2-=2ax可得斜面的长度
L===12 m。
答案:(1)1 m/s (2)12 m
能力提升
1.(多选)斜面的长度为L,一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端时的速度为v,则下列说法正确的是( BD )
A.物体从顶端到底端所用时间为
B.物体运动全过程中的加速度是
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
解析:物体初速度为0,下滑过程中有v2=2aL,v=at,可解得t=,a=;设物体到达斜面中点时的速度为v中,有=2a·,则v中=v;物体从顶点运动到斜面中点所需的时间t==,选项B,D正确。
2.(多选)一个做匀加速直线运动的物体,先后经过A,B两点的速度分别是v和7v,经过AB的时间是t,则下列判断中正确的是( BCD )
A.经过AB中点的速度是4v
B.经过AB中间时刻的速度是4v
C.前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
D.前一半位移所需时间是后一半位移所需时间的2倍
解析:设物体经AB中点的速度为,根据-=2ax得-v2= 2a·,(7v)2-=2a·,解得=5v,故A错误;经过A,B过程的中间时刻,其瞬时速度等于这段时间的平均速度,即为===4v,故B正确;前时间通过的位移x1=×=vt,后时间通过的位移x2= ×=vt,所以x2-x1=1.5vt,故C正确;前一半位移的平均速度==3v,所需时间t1==,后一半位移的平均速度′==6v,所需时间t2==,所以=2,故D 正确。
3.(多选)如图所示,一冰壶以速度v垂直进入两个矩形区域做匀减速运动,且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零,则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( BD )
A.v1∶v2=2∶1 B.v1∶v2=∶1
C.t1∶t2=1∶ D.t1∶t2=(-1)∶1
解析:初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移所用的时间之比为1∶(-1),故所求时间之比为(-1)∶1,所以C错误,D正确;由vt=at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶,则所求的速度之比为∶1,故A错误,B正确。
4.一辆高铁出站一段时间后,在长度为L(远大于列车总长)的某平直区间提速过程中其速度平方与位移的关系如图所示。L、b1,b2均已知,则列车通过该区间时,由图可知( B )
A.加速度逐渐增大 B.加速度保持不变
C.加速度先增大后减小 D.不可求出通过时间
解析:设列车的初速度为v0,末速度为v,加速度大小为a,则由速度-位移关系v2-=2ax可得v2=2ax+,结合图像可得,图像的斜率表示2a,图像为倾斜直线,故加速度不变,故B正确,A,C错误;由题意,L、b1,b2均已知,则加速度a=,根据v=v0+at可知t=,可以求出通过时间,故D错误。
5.汽车在平直公路上做刹车试验,若从t=0时起汽车在运动过程中的位移与速度的二次方之间的关系如图所示,下列说法正确的是( B )
A.从图像中可以看出,t=0时汽车位于距坐标原点10 m 处
B.刹车过程持续的时间为2 s
C.刹车过程前3 s内汽车的位移为7.5 m
D.刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2
解析:根据-=2ax得x=-,开始刹车时,有vt=v0,则x=0,即t=0时汽车位于坐标原点处,故A错误;由于图线斜率k==-,则刹车过程中加速度a=-5 m/s2,x=0时,有=,而=100 m2/s2,则汽车的初速度为10 m/s,则刹车过程持续的时间t==2 s,故B正确,D错误;刹车用时为2 s,3 s内的位移即为全程位移,则x==10 m,故C错误。
6.20世纪50年代,防抱死制动系统(ABS)开始应用于飞机和火车。现在,ABS已广泛应用于民用汽车,一实验小组做了某型民用汽车在有、无ABS的情况下“60～0 km/h全力制动刹车距离测试”,测试结果如图所示,由图推断,两种情况下汽车的平均加速度之比a有∶a无为( B )
A.3∶4 B.4∶3
C.∶2 D.2∶
解析:汽车刹车为匀减速直线运动,根据-=2ax,有=+2ax,可知v2x图像为直线,两次实验对应的v2x图像如图所示,斜率k==2a,可知a∝,结合图像可得a有∶a无=20∶15=4∶3,故B正确。
7.斜面长度为4 m,一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时,其下滑位移x与初速度二次方的关系图像(即 x 图像)如图所示。
(1)求滑块下滑的加速度大小;
(2)若滑块下滑的初速度为5.0 m/s,则滑块沿斜面下滑的时间为
多长
解析:(1)由题意可知,滑块沿斜面匀减速下滑,末速度为0,根据速度与位移关系式得=-2ax,其x的图线斜率k=-,解得a=-2 m/s2,所以滑块下滑的加速度大小为2 m/s2。
(2)滑块下滑过程中,速度与位移的关系式为=4x。当v0=5 m/s时,则x=m>4 m。即物块滑离斜面,根据位移公式x=v0t+at2代入数据解得t=1 s或t=4 s(舍去)。
答案:(1)2 m/s2 (2)1 s
8.摩托车先由静止开始以 m/s2的加速度做匀加速运动,之后以最大行驶速度 25 m/s 做匀速运动,追赶前方以 15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1 000 m,求:
(1)追上卡车前两车相隔的最大距离是多少;
(2)摩托车经过多少时间才能追上卡车。
解析:(1)由题意得,摩托车做匀加速运动的时间t1==16 s。
位移x1==200 m<1 000 m,
所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车,则两车速度相等时间距最大。
设从开始经过t2时间速度相等,最大间距为xm,
有at2=v,
所以t2==9.6 s,
最大间距xm=x0+v·t2-a=1 000 m+15 m/s×9.6 s-× m/s2×
(9.6 s)2=1 072 m。
(2)设从开始经过t时间摩托车追上卡车,则有x1+vm(t-t1)=x0+v·t,
代入数值解得t=120 s。
答案:(1)1 072 m (2)120 s5 自由落体运动
学习目标 成长记录
1.了解落体运动研究的物理史实,认识伽利略对物体运动的研究在科学发展和人类进步上的重大意义。 知识点一、二
2.知道自由落体运动以及物体做自由落体运动的条件。 知识点一&要点一
3.了解求自由落体运动加速度的实验方法,知道重力加速度的特点。 知识点四&要点二
4.掌握自由落体运动的特点和规律。 知识点三&要点二、三
知识点一 自由落体运动
1.亚里士多德的观点
古希腊哲学家亚里士多德认为“重的物体比轻的物体下落得快”。他的观点流传了2 000多年,与人们的常见生活经验相符。
2.自由落体运动
(1)定义:只在重力作用下,物体由静止开始下落的运动。
(2)条件:①只受重力;②初速度v0=0。
3.在有空气的空间,如果空气阻力的影响很小,可以忽略,物体由静止开始的下落可以近似看作自由落体运动。
知识点二 伽利略对落体运动规律的探究
1.提出猜想:物体下落的过程是一个速度随时间均匀增大的过程,其速度与时间成正比,即v∝t,且应满足x∝t2。
2.实验验证:让黄铜小球沿阻力很小的倾角为α的斜槽滚下,运动的路程可以事先设定,只要测出时间即可。可依次测量小球从斜面顶端、、、、长度上滚下,测出对应时间。
3.实验结论:通过的距离之比等于时间的平方之比,则有 v∝t。
4.合理外推:斜面倾角逐渐增大直到90°,小球的运动仍应当满足下落距离与时间的平方成正比的关系。
知识点三 自由落体运动的规律
1.速度公式:v=at。
2.位移公式:x=at2。
知识点四 自由落体加速度
1.自由落体加速度
(1)定义:在同一地点,一切物体自由下落的加速度都相同,叫作重力加速度,通常用g来表示。
(2)方向:竖直向下。
(3)大小:在同一地点,一切物体的重力加速度都相同。在地球不同的地方,g的大小是不同的;赤道海平面处g=9.780 m/s2,在北京g=9.80 m/s2。一般的计算中,g可以取9.8 m/s2或10 m/s2。
2.g值测量:可以利用打点计时器打出的重物下落的纸带测量,也可以通过重物下落的频闪照片测量。
1.思考判断
(1)物体从静止开始下落的运动就是自由落体运动。( × )
(2)只在重力作用下的下落运动就是自由落体运动。( × )
(3)加速度为g的运动是自由落体运动。( × )
(4)自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等。( √ )
(5)地面上任何位置的重力加速度都相同。( × )
(6)自由落体运动中,重的物体下落的加速度大。( × )
2.思维探究
(1)枯萎的叶子,由树枝上自由下落的运动是不是自由落体运动
答案:不是,树叶在下落时虽然初速度为零,但由于它受到的空气阻力不能忽略,故不是做自由落体运动。
(2)利用打点计时器研究自由落体运动的规律时,应选用密度较大的实心重锤,这样做的目的是什么
答案:实心重锤质量大而体积小,下落时所受空气阻力的影响可以忽略,它的运动可以近似看作自由落体运动。
(3)匀变速直线运动的公式和推论是否适用于自由落体运动
答案:适用,特别是应用比例法分析自由落体运动可以更快、更简洁地解答问题。
要点一 对自由落体运动的理解
利用身边的器材,做下面的小实验并认真观察
①将一张纸片和一个金属球同时在同一高度释放,如图甲。
②将纸片揉成团和金属球同时在同一高度释放,如图乙。
③在长玻璃管中放置形状、质量不同的金属片、羽毛,将管内空气几乎全部抽出后,迅速将玻璃管直立过来,如图丙。
试结合上述观察,讨论下列问题:
(1)纸片和金属球哪个先落地 为什么
(2)纸团和金属球哪个先落地 为什么
(3)长玻璃管内接近真空时,金属片、羽毛哪一个先落地 有什么启示
答案:(1)金属球先落地;因为空气阻力对纸片下落快慢的影响比对金属球下落快慢的影响大得多。
(2)纸团和金属球几乎同时落地;因为空气阻力对二者下落快慢的影响差别不是很大。
(3)金属片和羽毛同时落地;任何物体下落过程中不受空气阻力影响时具有相同的规律。
1.自由落体运动是一种理想化模型
(1)忽略了次要因素——空气阻力,突出了主要因素——重力。一般物体实际下落时不可避免受空气阻力的作用,并不做自由落体运动。
(2)空气阻力远小于重力——物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如空气中自由下落的石块可看作自由落体运动,空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。
2.自由落体运动的实质
自由落体运动是初速度v0=0、加速度a=g的匀加速直线运动,匀变速直线运动的规律均适用,但加速度为重力加速度。
[例1] 下列各种运动中,属于自由落体运动的是( C )
A.在沿水平方向运动的飞机上释放一个物体
B.纸片由静止释放,在空气中下落
C.小铁球由静止下落,空气阻力忽略不计
D.初速度为零,加速度大小恒等于9.8 m/s2的运动
解析:沿水平方向飞行的飞机释放一个物体,由于惯性,物体具有水平初速度,不是由静止释放,故A错误;纸片由静止释放,但所受的阻力不能忽略,不是自由落体运动,故B错误;小铁球由静止下落,空气阻力忽略不计,其运动为自由落体运动,故C正确;自由落体运动初速度为零,加速度为g,但是初速度为零,加速度大小为g的运动不一定是自由落体运动,故D错误。
判断是否为自由落体运动的两点提醒
(1)物体只受重力且竖直下落的运动不一定是自由落体运动,因为初速度不一定为零。
(2)空气中竖直下落的运动可能是自由落体运动,如告知“空气阻力远小于重力”“忽略空气阻力”或“物体由静止开始自由下落”等。
[针对训练1] 关于自由落体运动,下列说法正确的是( B )
A.物体从静止开始下落的运动就是自由落体运动
B.如果空气阻力比重力小得多,空气阻力可以忽略不计,这时由静止开始下落的运动是自由落体运动
C.一个棉花团由静止开始下落的运动是自由落体运动
D.不计空气阻力,雨滴经过窗子的这段运动可以看作是自由落体运动
解析:当物体只受重力,且由静止下落的运动为自由落体运动,故A错误;如果空气阻力比重力小得多,空气阻力可以忽略不计,这时由静止开始下落的运动是自由落体运动,故B正确;一个棉花团由静止开始下落,棉花团受到的阻力相对于重力不可以忽略,故不是自由落体运动,故C错误;虽然不计空气阻力,但雨滴经过窗子的这段运动的初速度不为零,因而不是自由落体运动,故D错误。
要点二 研究自由落体运动的规律
频闪照相可以每隔相等的时间拍摄一次。利用频闪照相可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置,如图所示为一小球做自由落体运动的频闪照片,根据频闪照片可以测出自由落体运动的加速度。
(1)怎样判断上述自由落体运动是否是匀变速直线运动
答案:根据小球在相邻相等时间内照片间距的变化Δx是否为恒量,可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。
(2)如何求出自由落体运动的加速度
答案:根据匀变速直线运动的推论Δx=gT2求出重力加速度g=。
实验方案1.打点计时器法
(1)利用如图所示装置,让重物自由下落打出点迹清晰的纸带。
(2)对纸带上计数点间的距离x进行测量,若Δx=x2-x1=…=xn-xn-1,则表明自由落体运动是匀加速直线运动。
实验方案2.频闪照相法
(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次,利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在间隔相等时间的各个时刻的位置(如图所示)。
(2)对照片上各位置间的距离h进行测量,若Δh=h2-h1=…=hn-hn-1,则表明自由落体运动是匀加速直线运动且由Δh=gT2求出重力加速度g。
[例2] 甲、乙两图都是使用电磁打点计时器做探究自由落体运动规律的装置示意图,已知该打点计时器的打点频率为50 Hz。
(1)甲、乙两图相比较, 图所示的装置更合理。
(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带,取连续清晰的点,用刻度尺测出第2,3,4,5个点与第1个点的距离d如下表所示。
点的次序 1 2 3 4 5
距离d/cm 0 6.02 12.43 19.22 26.41
用这些数据可以判断出该重锤的运动 (选填“是”或“不是”)匀变速直线运动,理由: 。
(3)该重锤的运动若是匀变速直线运动,则写出加速度的测量值为 。
解析:(1)甲图释放时装置稳定且可以充分利用纸带,所以甲图更合理。
(2)根据表中的数据,可得纸带上相邻两点间的距离依次为:
d1=6.02 cm
d2=12.43 cm-6.02 cm=6.41 cm
d3=19.22 cm-12.43 cm=6.79 cm
d4=26.41 cm-19.22 cm=7.19 cm
则d2-d1=0.39 cm,d3-d2=0.38 cm,
d4-d3=0.40 cm,
则在误差允许范围内,有d2-d1=d3-d2=d4-d3,
所以该重锤的运动是匀变速直线运动。
(3)用逐差法来求重力加速度的测量值,可得重锤下落的加速度为g=m/s2=9.69 m/s2。
答案:(1)甲 (2)是 理由见解析 (3)9.69 m/s2
由实验得出纸带或频闪照片求重力加速度的四种方法
(1)应用Δh=hn-hn-1=gT2求g值。
(2)已知起始点时,先测量某点对应的下落高度,再应用位移公式h=gt2求g值。
(3)已知起始点时,先求某时刻的瞬时速度v,再应用速度公式v=gt求g值。
(4)先应用平均速度求各点的瞬时速度v,再画出v-t图像,根据图线的斜率求g值。
[针对训练2] 一个同学在研究小球自由落体运动时,用频闪照相机连续记录下小球的位置如图所示。已知闪光周期为 s,测得x1=7.68 cm,x3=12.00 cm,用上述数据通过计算可得小球运动的加速度约为 m/s2,图中x2约为 cm。(结果均保留三位有效数字)
解析:据题意,小球做自由落体运动,频闪照相机的闪光周期为T=s,根据Δx=gT2,利用逐差法,得g==,得g=9.72 m/s2;由于x2-x1=2gT2,代入数据得x2=9.84 cm。
答案:9.72 9.84
要点三 自由落体运动规律的理解与应用
苹果熟透了之后很可能从树上落下,有一个苹果从高为 5 m的地方由静止落下,试估算该苹果到达地面所用的时间。
答案:若忽略空气阻力,苹果做自由落体运动,到达地面所用时间t== s=1 s。
1.运动特点
(1)初速度为零、加速度恒为重力加速度g。
(2)在其他无空气或空气稀薄星球上也可以做自由落体运动,但“重力加速度”与在地球表面重力加速度不同。
2.自由落体运动的基本公式
匀变速直线运动规律自由落体运动规律
3.匀变速直线运动的一切推论式,如平均速度关系式、位移差关系式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式,都适用于自由落体运动。
4.自由落体运动的图像
自由落体运动的v-t图像(如图所示)是一条过原点的倾斜直线,斜率k=g。
[例3] 如图所示,一滴雨滴从离地面20 m高的楼房屋檐自由下落,窗的上边框离屋檐有4.05 m,窗口的高度为2 m,g取10 m/s2,不计空气阻力,求:
(1)雨滴落地时的速度大小;
(2)雨滴落地前最后1 s内的位移大小;
(3)雨滴下落途中通过窗口过程的时间Δt。
解析:(1)设雨滴自由下落时间为t,根据自由落体运动公式h=gt2得t=2 s。
则雨滴落地时的速度v=gt=20 m/s。
(2)雨滴在第1 s内的位移为h1=g=5 m,
雨滴运动时间共2 s的时间,则雨滴落地前最后1 s内的位移大小为h2=h-h1=15 m。
(3)窗的上边框距屋檐的高度h0=4.05 m,窗口的高度为h3=2 m,设雨滴从屋檐运动到窗的上边框时间为t0,则雨滴从屋檐运动到窗的下边框时间为t0+Δt,所以有h0=g,h0+h3=g(t0+Δt)2,
代入数据解得Δt=0.2 s。
答案:(1)20 m/s (2)15 m (3)0.2 s
(1)自由落体运动是匀变速直线运动的特例,分析匀变速直线运动的各种方法对于自由落体运动仍然适用。
(2)解决自由落体运动的某过程问题时,应明确物体过程中的运动情况,结合匀变速直线运动规律进行求解。
[针对训练3] 研究发现,物体在火星上的落体运动规律与在地球上相似,若在火星表面上,做自由落体运动的物体在开始1 s内下落 x1=4.0 m。求:
(1)火星表面的重力加速度g火大小;
(2)该物体从某高处由静止开始落下,第5 s末时(未落到火星表面)的速度大小;
(3)该物体在第3 s内的位移大小。
解析:(1)由x1=g火可得
g火===8.0 m/s2。
(2)由vt=g火t可得物体由静止下落5 s时的速度
vt=8 m/s2×5 s=40 m/s。
(3)该物体从静止开始连续3 s内,
每秒的位移之比为
x1∶x2∶x3=1∶3∶5,
而x1=4.0 m,
则x3=5x1=5×4.0 m=20 m。
答案:(1)8.0 m/s2 (2)40 m/s (3)20 m
自由落体运动的几个比例关系式
1.第1 s末、第2 s末、第3 s末……第n s末速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
证明:由v=gt,得v∝t。
2.前1 s内、前2 s内、前3 s内……前n s内的下落高度(位移)之比为h1∶h2∶h3∶…∶hn=1∶4∶9∶…∶n2。
证明:由h=gt2,得h∝t2。
3.连续相等时间内的下落高度(位移)之比为hⅠ∶hⅡ∶ hⅢ∶…∶hn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
证明:由于hT=gt2-g(t-1)2=g(2t-1),故hT∝(2t-1)。
[示例] (多选)从不同高度做自由落体运动的甲、乙和丙三物体,质量之比为3∶2∶1,下落高度之比为 1∶2∶3,则( CD )
A.下落时间之比是1∶2∶3
B.落地速度之比是1∶2∶3
C.下落过程的平均速度之比是1∶∶
D.下落过程中的加速度之比是1∶1∶1
解析:由自由落体运动的规律知,自由落体运动的加速度与物体的质量和高度无关,而高度h=gt2,则t=,下落时间之比是1∶∶,加速度之比为 1∶1∶1,选项A错误,D正确;由v=知落地速度之比是1∶∶,选项B错误;下落过程的平均速度 =,则平均速度之比等于落地速度之比,即平均速度之比是1∶∶,选项C正确。
高空坠物的危害
2019年6月19日下午,南京市鼓楼区东宝路附近发生一起高空抛物伤人事件,女童被砸中后当场倒地失去意识。
该案并非特例。2019年6月13日,深圳福田一小区一整块玻璃窗从天而降,砸中了一名5岁男童,该男童于事发三天后因抢救无效不幸去世;6月5日,江苏省昆山新江南社区内,4岁男童被一块100 kg钢化玻璃砸中身亡。
城市高空抛物这个威胁“头顶安全”的社会问题引发高度关注,杜绝此类现象,确保城市居民的安全,是城市安全文明的底线。如何防止悲剧再次上演,治理城市上空痛点,成为文明城市建设中亟待解决的问题。
[示例] 据测算,从十七楼(高度约45 m)落下的鸡蛋能击穿人的头骨。若鸡蛋从该楼层落至地面,g取10 m/s2,试计算:
(1)经过多长时间落到地面;
(2)落地时的速度大小;
(3)下落最后1 s内的平均速度大小。
解析:(1)由x=gt2得,下落总时间为
t===3 s。
(2)落地时的速度vt=gt=10 m/s2×3 s=30 m/s。
(3)第1 s内的位移为
x1=g=×10 m/s2×(1 s)2=5 m。
而第1 s内,第2 s内,第3 s内的位移之比为1∶3∶5,则第3 s内的位移x3=5x1=5×5 m=25 m,
所以下落最后1 s内的平均速度
===25 m/s。
答案:(1)3 s (2)30 m/s (3)25 m/s
课时作业·巩固提升
基础巩固
1.(多选)关于自由落体运动,下列说法中正确的是( CD )
A.初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B.只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动
C.某一自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等
D.自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动
解析:只在重力作用下且初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动,选项A,B错误;任何物体的自由落体运动的加速度恒为g,则同一地点的自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量均相等,选项C正确;自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动,选项D正确。
2.关于自由落体运动及重力加速度的说法,正确的是( C )
A.竖直向下的运动一定是自由落体运动
B.重力加速度的方向总是垂直于地面
C.同一地点,轻重物体的g值一样大
D.g值在赤道处大于在北极处
解析:物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用,A错误;重力加速度的方向总是竖直向下,而非垂直于地面,B错误;同一地点,重力加速度g值都相同,与质量无关,C正确;g值在赤道处小于北极处,D错误。
3.(多选)下图中可以表示物体做自由落体运动的是( BC )
解析:自由落体运动的速度公式为v=gt,可知t=0时v=0,且v与t成正比,故A错误,B正确;自由落体运动的加速度恒为g,故C正确;由自由落体运动的位移公式x=gt2可知,x与t2成正比关系,故D错误。
4.(多选)为了求出楼房的高度,让一石子从楼顶自由下落,若空气阻力不计,当地重力加速度已知,测出下列哪个物理量的值就能计算出楼房的高度( ABD )
A.石子下落的总时间
B.石子落地时的速度
C.开始1 s内的位移
D.通过最后1 m的时间
解析:根据位移时间公式h=gt2,知道石子下落时间,可求楼房高度,故A正确;根据速度位移公式v2=2gh,知道石子落地的速度,可以求出楼房的高度,故B正确;已知石子开始1 s内的位移,无法求出楼房的高度,故C错误;已知通过最后1 m的时间,根据x=v0t+at2,求出最后1 m内的初速度,根据速度时间公式vt=v0+gt,求出落地时的速度,再根据=2gh,求出下落的距离,故D正确。
5.(多选)甲、乙两物体所受的重力之比为1∶2,所在位置的高度之比为2∶1,它们做自由落体运动,则( AD )
A.落地时的速度之比是 ∶1
B.落地时的速度之比是1∶1
C.下落过程中的加速度之比是1∶2
D.下落过程中的加速度之比是1∶1
解析:对自由落体,由=2gh得vt=,则甲、乙两物体落地速度之比为∶1,故A正确,B错误;做自由落体运动的物体的加速度都是重力加速度g,故D正确,C错误。
6.如图所示,某学习小组利用直尺估测反应时间:甲同学捏住直尺上端,使直尺保持竖直,直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时,立即用手指捏住直尺,根据乙手指所在位置计算反应时间。为简化计算,某同学将直尺刻度进行了改进,以相等时间间隔在直尺的反面标记反应时间的刻度线,制作了“反应时间测量仪”,下列四幅图中刻度线标度正确的是( B )
解析:直尺做自由落体运动,根据h=gt2,有Δh=g(t+Δt)2-gt2= g(2t+Δt)Δt,可知在相等的时间间隔内,直尺下落的位移越来越大,即相等时间对应的间隔距离越来越大,故B正确。
7.如图甲是一位同学测厦门重力加速度的实验装置图。重锤自由下落时由打点计时器打出一条纸带,将纸带上某一点标为“0”,并依次标出其余计数点,相邻两计数点间的距离依次为x1,x2,…,xn,并在纸带上标出,xn表示第n-1个计数点到第n个计数点之间的距离,如图乙 所示。
(1)打点计时器应使用 (选填“交流”或“直流”)电源。
(2)实验时释放纸带和接通电源的合理顺序是 (填选项前的字母)。
A.先释放纸带,再接通电源
B.先接通电源,再释放纸带
(3)图丙是依据纸带上实验数据绘制的xnn图像(n为计数点序号),其中A,B两点的坐标分别为A(0,0.75),B(7,11.65)。设厦门重力加速度为g,计数周期为T,则该直线斜率k与g,T的关系是k= 。若T=0.04 s,则厦门重力加速度g= m/s2(结果保留三位有效数字)。
解析:(1)打点计时器的工作电源为交流电源。
(2)为了充分利用纸带并减小误差应该先接通电源,再释放纸带,故B正确。
(3)根据匀加速直线运动的位移差公式有xn-x1=(n-1)gT2,
则xn=gT2n-(gT2-x1);
故斜率k=gT2,
由图丙可知k=,而T=0.04 s,即==
9.73 m/s2。
答案:(1)交流 (2)B (3)gT2 9.73
8.一名宇航员在某星球上驾驶航天器悬停在距星球表面 50 m高处做自由落体运动实验(该星球没有空气),让一个小球自由下落,测得小球在5 s内落到星球表面,求:
(1)物体开始下落2 s末的速度;
(2)物体第2 s内的速度变化量。
解析:(1)已知小球5 s内的位移是50 m,
由h=gt2得g星===4 m/s2
物体开始下落2 s末的速度v2=g星t=4 m/s2×2 s=8 m/s。
(2)由vt=v0+at得Δv=at,
则Δv=4 m/s2×1 s=4 m/s。
答案:(1)8 m/s (2)4 m/s
能力提升
1.两物体在不同高度自由下落,同时落地,第一个物体下落时间为t0,第二个物体下落时间为t0,当第二个物体开始下落时,两物体相距( B )
A.g B.g C.g D.g
解析:第二个物体在第一个物体下落后开始下落,此时
第一个物体下落的高度h1=g()2=,根据h=gt2知第一个物体和第二个物体下落的总高度分别为g和,两物体未下落时相距-=,所以当第二个物体开始下落时,两物体相距Δh= -=,选项B正确。
2.(多选)有一串珠子,穿在一根长1.8 m的细线上,细线的首尾各固定一个珠子,中间还有5个珠子。从最下面的珠子算起,相邻两个珠子的距离为5 cm,15 cm,25 cm,35 cm,45 cm,55 cm,如图所示。某人向上提起线的上端,让线自由垂下,且第一个珠子紧靠水平桌面。松手后开始计时,若不计空气阻力,g取10 m/s2,则第2,3,4,5,6,7个珠子( CD )
A.落到桌面上的时间间隔越来越大
B.落到桌面上的时间间隔越来越小
C.依次落到桌面上的速率关系为1∶2∶3∶4∶5∶6
D.其中的第4个珠子落到桌面上的速率为3 m/s
解析:开始时,序号为2,3,4,5,6,7的珠子距地面高度分别为5 cm,
20 cm,45 cm,80 cm,125 cm和180 cm,依次落到地面的位移之比满足1∶4∶9∶16∶25∶36。根据h=gt2,知珠子落到桌面上的时间之比一定为1∶2∶3∶4∶5∶6,所以珠子落到桌面上的时间间隔相等,故A,B错误。根据v=gt知,珠子依次落到桌面上的速率关系为1∶2∶3∶4∶5∶6,故C正确。第4个珠子距离桌面的高度为45 cm,则v==
3 m/s,故D正确。
3.如图所示,可看作质点的小球从竖直砖墙某位置由静止释放,用频闪照相机在同一底片上多次曝光,得到了图中1,2,3,4,5所示小球运动过程中每次曝光的位置。连续两次曝光的时间间隔均为T,每块砖的厚度均为d。根据图中的信息,下列判断正确的是( D )
A.在位置1时小球的速度为零
B.小球在位置4的速度为
C.小球的加速度a=
D.位置5到小球由静止释放的位置的距离为
解析:根据匀变速直线运动的推论Δx=aT2,可知小球下落的加速度为a==,故C错误;小球在位置4的速度等于位置3,5间的平均速度,则v4==,故B错误;则小球在位置1的速度为v1= v4-a·3T=-×3T=,可知位置1不是小球释放的初始位置,故A错误;位置5的速度v5=v4+a·T=+×T=,根据速度与位移关系式得=2ah5,代入数据解得h5=,故D正确。
4.小球从空中自由下落,与水平地面相碰后弹到空中某一高度,小球与地面碰撞的时间忽略不计,其速度—时间图像如图所示,由图可知(g取 10 m/s2 )( B )
A.小球开始下落的高度为 2.5 m
B.小球在从开始下落0.8 s内的平均速度大小是1 m/s,方向竖直
向下
C.小球在从开始下落0.8 s内的平均速度大小是4 m/s,方向竖直
向上
D.小球在从开始下落0.5 s内和后0.3 s内加速度不相同
解析:0～0.5 s为下落阶段,由于速度—时间图像与坐标轴围成面积表示对应位移,则下落高度h1==1.25 m;全程的位移是h=h1+ h2=1.25 m+(-3 m/s×0.3 s×)=0.80 m,全程的平均速度===
1 m/s ;即小球在从开始下落 0.8 s 内的平均速度大小是 1 m/s,方向竖直向下,选项B正确,A,C错误;下落阶段的加速度a1== =10 m/s2,0.5～0.8 s为反弹阶段,这一阶段的加速度a2== =10 m/s2即a1=a2,选项D错误。
5.四个小球在离地面不同高度同时由静止释放,不计空气阻力,从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔,小球依次碰到地面。下列各图中,能反映出刚开始运动时各小球相对地面的位置的是( C )
解析:依题意可设第1个小球经时间t落地,则第2个小球经时间2t落地,第3个小球经时间3t落地,第4个小球经时间4t落地。又因为四个小球做的都是初速度为零的匀加速运动,因此它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16,所以选项C正确。
6.在军事演习中,某空降兵从飞机上跳下,先做自由落体运动,在t1时刻速度达到最大值时,打开降落伞做减速运动。在t2时刻以较小速度着地。他的vt图像如图所示,下列关于空降兵在0～t1或t1～t2时间内的结论正确的是( C )
A.0～t1时间内,空降兵的位移x=t1
B.t1～t2时间内,空降兵的位移x>(t2-t1)
C.t1～t2时间内,空降兵的平均速度 <
D.t1～t2时间内,空降兵做加速运动,加速度越来越小
解析:在0～t1时间内,空降兵做匀变速直线运动,其位移为x= t=t1,故A错误。在t1～t2时间内,空降兵的运动不是匀变速直线运动,而
vt图像与时间轴围成的面积表示空降兵的位移x,若这段时间内空降兵做匀减速直线运动,vt图线如图中虚线所示,则其位移大小为x′= (t2-t1),由图可知x7.物理小组的同学用如图所示的实验器材测定重力加速度,实验器材有:底座、带有标尺的竖直杆、光电门1和2组成的光电计时器(其中光电门1更靠近小球释放点),小球释放器(可使小球无初速释放)、网兜。实验时可用两光电门测量小球从光电门1运动至光电门2的时间t,并从竖直杆上读出两光电门间的距离h。
(1)改变光电门1的位置,保持光电门2的位置不变,小球经过光电门2的速度为v,不考虑空气阻力,小球的加速度为重力加速度g,则h、t、g、v四个物理量之间的关系为h= 。
(2)根据实验数据作出t图线,若图线斜率的绝对值为k,根据图线可求出重力加速度大小为 。
解析:(1)小球经过光电门2的速度为v,根据运动学公式得小球经过光电门1的速度v′=v-gt。根据匀变速直线运动的推论得,两光电门间的距离h=t=vt-gt2。
(2)h=vt-gt2,所以=v-gt,若t图线斜率的绝对值为k,则k=g,所以重力加速度大小g=2k。
答案:(1)vt-gt2 (2)2k
8.如图所示,悬挂的直杆AB长为a,在B端以下h处有一高为b的无底圆柱筒CD,若将悬线剪断,不计空气阻力,求:
(1)直杆下端B穿过圆柱筒的时间;
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒过程中速度的变化。
解析:(1)直杆下端B下落到C(下落h)开始进入圆柱筒,当直杆下端B下落到D(下落h+b)时穿过圆柱筒。
根据x=gt2知,
下端B下落到C点所需时间t1=,
下端B下落到D点所需时间t2=。
则直杆下端B穿过圆柱筒的时间是Δt1=t2-t1=-。
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒,从B下落到C点(下落h)起到A下落到D点(下落h+a+b)止。
设B点经C点,A点经D点时,直杆的速度分别为v1,v2,根据速度与位移的关系式,有=2gh,=2g(h+a+b),则Δv=v2-v1=
(-)。
答案:(1)-
(2)(-)
《匀变速直线运动的规律》检测试题
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(共12小题,1～8题为单选题,9～12题为多选题,每小题4分,共48分)
1.下列关于匀变速直线运动的分析正确的是( D )
A.匀变速直线运动就是速度大小不变的运动
B.匀变速直线运动就是加速度大小不变的运动
C.匀变速直线运动就是加速度方向不变的运动
D.匀变速直线运动就是加速度大小,方向均不变的运动
解析:匀变速直线运动就是速度均匀变化的运动,也就是加速度大小和方向均不变的运动,选项A,B,C错误,D正确。
2.如图所示,A物体从地球的赤道正上方h处由静止释放,经过时间t1落到地面上,B物体从北极正上方h高处由静止释放,经过时间t2落到地面上,不计空气阻力,且h远小于地球表面半径,A,B释放后均做自由落体运动,则t1,t2的大小关系为( B )
A.t1=t2 B.t1>t2
C.t1解析:赤道上的重力加速度比北极的重力加速度小,由 h=gt2知t1>t2。
3.物体在水平地面上由静止开始先匀加速前进10 m后,又匀减速前进 40 m才停止,求该物体在这两个阶段中运动时间之比t1∶t2为( C )
A.1∶5 B.2∶5 C.1∶4 D.1∶2
解析:物体在两个阶段分别做匀变速直线运动,根据=知两阶段平均速度相等,由x=t得===,选项C正确。
4.一辆小汽车在某段平直公路上做匀加速直线运动,速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x0,则当速度由10 m/s增加到15 m/s时,它的位移x′是( B )
A.x0 B.x0 C.2x0 D.3x0
解析:根据关系式-=2ax得x=,即==,则x′=x0,选项B正确。
5.给滑块一初速度v0,使它沿光滑斜面向上做匀减速直线运动,加速度大小为g,则滑块的速度大小变为v0所用的时间可能为( D )
A. B.
C. D.
解析:规定初速度的方向为正方向,若滑块的末速度与初速度方向相同,由速度—时间公式v=v0+at,得t===;若滑块的末速度与初速度方向相反,由速度—时间公式v=v0+at,得t′===,故D正确,A,B,C错误。
6.如图所示为甲、乙、丙三个质点的位置x与时间t的关系图像,则在0～t2时间内( B )
A.甲先做匀加速再做匀减速运动
B.在t2时刻丙的速率大于乙的速率
C.甲的平均速度最大
D.丙的路程大于乙的路程
解析:由于xt图线的斜率表示速度,则甲先向正方向匀速运动,后向负方向匀速运动,故A错误;在t2时刻丙与乙相比较,丙图线的切线斜率较大,则丙的速率大于乙的速率,故B正确;三个质点在相同时间内的位移相同,则平均速度相同,故C错误;丙、乙两质点均沿同一直线沿相同方向运动,虽然丙的速度逐渐变大,乙的速度一直不变,但始、末位置相同,则乙、丙的路程相同,故D错误。
7.如图所示,一小球(可视为质点)沿斜面匀加速下滑,依次经过A,B,C三点。已知AB=18 m,BC=30 m,小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s,则小球经过B,C两点时的速度大小分别是( D )
A.13 m/s,14 m/s B.14 m/s,18 m/s
C.10 m/s,16 m/s D.12 m/s,18 m/s
解析:根据Δx=aT2得a===3 m/s2,小球在B点的瞬时速度等于AC段的平均速度,则vB===12 m/s,小球在C点的速度vC=vB+at=12 m/s+3 m/s2×2 s=18 m/s,故D正确。
8.某物块以初速度v0=1 m/s在水平直轨道上运动,以初速度方向为正方向,在0～40 s内其加速度a随时间t的变化规律如图所示,则下列说法正确的是( D )
A.物块在t=20 s时的速度大小为20 m/s
B.物块在10～20 s内位移为0
C.物块在20～40 s内速度变化量大小为20 m/s
D.物块在t=40 s时的速度大小为11 m/s
解析:加速度—时间图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量,则物块在t=20 s时的速度大小为v1=v0+Δv1=1 m/s+2 m/s2×10 s=21 m/s,故A错误;10～20 s 内加速度为零,物块做匀速直线运动,通过的位移不为零,故B错误;物块在20～40 s内速度变化量大小 Δv2=×
1 m/s2×20 s=10 m/s,故C错误;物块在t=40 s时的速度大小v2=v1-Δv2=21 m/s-10 m/s=11 m/s,故D正确。
9.科技馆中的一个展品如图所示,在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头,在一种特殊的间歇闪光灯的照射下,若使间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同,可以看到一种奇特的现象:水滴似乎不再下落,而是像固定在图中的A,B,C,D四个位置一样。对于出现的这种现象,下列描述正确的是(g取10 m/s2)( BC )
A.水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足 tABB.间歇闪光的时间间隔是 s
C.水滴在相邻两点之间的位移满足sAB∶sBC∶sCD=1∶3∶5
D.水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD=1∶4∶9
解析:由题目描述的物理情境可知,光源为间歇发光,发光间隔可由h=gt2求出,t=,代入数据可得t= s,B正确;自由落体运动中连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5,由图中读数可知符合,故tAB=tBC=tCD,C正确,A错误;自由落体运动中连续相等的时间段的末速度之比为1∶2∶3,D错误。
10.汽车原来以速度v匀速行驶,刹车后加速度大小为a,做匀减速直线运动,则刹车后t秒内其位移可能为( ABD )
A.vt-at2 B.
C.vt+at2 D.
解析:若刹车后t秒时,汽车没有停下来,由位移公式得x=vt-at2,故A正确,C错误;若刹车后t秒时,汽车停下来,则x= t=,由速度位移关系式得x=,故B,D正确。
11.交通安全法规定:机动车行经人行横道时,遇行人正在通过人行横道,应当停车让行。若以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口,有行人正在过人行横道,此时汽车的前端距停车线 8 m,该车减速时的加速度大小为 5 m/s2。下列说法中正确的是( AC )
A.驾驶员立即刹车制动,则需1.6 s汽车才能停止
B.在距停车线6 m处才开始刹车制动,汽车前端恰能止于停车线处
C.若经0.2 s后才开始刹车制动,汽车前端恰能止于停车线处
D.若经0.4 s后才开始刹车制动,汽车前端恰能止于停车线处
解析:汽车从开始刹车到停止所需时间t===1.6 s,故A正确;汽车刹车过程有0-=2ax,代入数值解得刹车距离x=6.4 m,若在距停车线6 m 处开始刹车,则汽车前端越过停车线,故B错误;若经0.2 s后才开始刹车制动,汽车位移x′=8 m/s×0.2 s+6.4 m=8 m,即汽车前端恰能止于停车线处,故C正确,D错误。
12.如图所示,甲、乙两车同时由静止从A点出发,沿直线AC运动。甲先以加速度a1做初速度为零的匀加速运动,到达B点后做加速度为a2的匀加速运动,到达C点时的速度为v。乙以加速度a3做初速度为零的匀加速运动,到达C点时的速度亦为v。若a1≠a2≠a3,则( BD )
A.甲一定先由A达到C
B.甲、乙不可能同时由A达到C
C.乙一定先由A达到C
D.若a1>a2>a3,则甲一定先由A达到C
解析:若a1>a2>a3,作出它们的速度—时间图线如图甲所示,因为末速度相等,位移相等,即图线与时间轴所围成的面积相等,则t甲a1,速度—时间图像如图乙所示。
因为末速度相等,位移相等,即图线与时间轴所围成的面积相等,则
t甲>t乙。无论a1,a2,a3大小关系如何,速度图线不可能出现位移相等,速度相等,时间又相等的情况,所以甲、乙不能同时到达。故B正确,A,C错误。
二、非选择题(共52分)
13.(6分)甲、乙两位同学设计了利用数码相机的连拍功能测重力加速度的实验。实验中,甲同学负责释放金属小球,乙同学负责在小球自由下落的时候拍照。已知相机每间隔0.1 s拍1幅照片。
(1)若要从拍得的照片中获取必要的信息,在此实验中还必须使用的器材是 。(填正确答案标号)
A.米尺 B.秒表
C.光电门 D.天平
(2)简述你选择的器材在本实验中的使用方法。
答: 。
(3)实验中两同学由连续3幅照片上小球的位置a,b和c得到ab=
24.5 cm,ac=58.7 cm,则该地的重力加速度大小为g= m/s2。(结果保留两位有效数字)
解析:(1)此实验用数码相机替代打点计时器,但实验原理是相同的,仍然需要米尺来测量小球下落的位置之间的距离,故选A。
(2)用米尺测量照片之间小球的位移,所以要使小球下落时尽量靠近米尺。
(3)可利用逐差法来计算加速度,bc=ac-ab=34.2 cm,故g==
=9.7 m/s2。
答案:(1)A (2)将米尺竖直放置,使小球下落时尽量靠近米尺 (3)9.7
14.(7分)打点计时器和数字计时器是高中物理研究物体运动中重要的实验仪器,如图中的甲、乙两种打点计时器是高中物理实验中常用的打点计时器,图丙为连接光电门的数字计时器。请回答下面的问题:
(1)①图甲是 (选填“电磁”或“电火花”)打点计时器,电源采用的是 (选填“交流4～6 V”“交流220 V”或“四节干电池”)。
②图丙中,若已知物体上遮光板宽度为d,物体经过光电门用时t,则可以近似认为物体通过光电门的瞬时速度的表达式为v= 。
(2)做“探究速度随时间的变化规律”实验装置如图丁所示,其中斜面倾角θ可调,打点计时器每隔0.02 s打一次点,纸带上计数点的间距如图戊所示,其中每相邻两点之间还有4个记录点未画出。
①部分实验步骤如下:
A.测量完毕,关闭电源,取出纸带
B.接通电源,待打点计时器工作稳定后放开小车
C.将小车停靠在打点计时器附近,小车尾部与纸带相连
D.把打点计时器固定在平板上,让纸带穿过限位孔
上述实验步骤的正确顺序是 (用字母填写);
②图中标出的相邻两计数点的时间间隔T= s;
③计数点5对应的瞬时速度大小计算式为v5= (用字母表示);
④为了充分利用记录数据,减小误差,小车加速度大小的计算式应为a= (用字母表示)。
解析:(1)①图甲是电磁打点计时器,使用交流4～6 V的电压。②实验中一般遮光板通过光电门极短时间其平均速度大小可以近似认为是该时刻的瞬时速度大小,则有v=。
(2)①在实验过程中应先固定打点计时器,再放置小车,并与穿过限位孔的纸带相连,然后打开电源后释放小车,所以正确的顺序是DCBA。②因为每相邻两计数点之间还有4个记录点未画出,故相邻的两个计数点间的时间间隔为T=5×0.02 s=0.1 s。③根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度,则有v5=。④根据
Δx=aT2,则有 a=。
答案:(1)①电磁 交流4～6 V ② (2)①DCBA ②0.1 ③ ④
15.(6分)某汽车在水平公路上以12 m/s的速度匀速行驶,因前方故障紧急刹车,加速度大小为6 m/s2,求:
(1)1 s时的速度;
(2)3 s时的速度。
解析:(1)汽车刹车时的运动可看作匀减速直线运动,规定初速度方向为正方向,则有v0=12 m/s,a=-6 m/s2,
从刹车到停止运动经历的时间为t===2 s,
根据运动学公式,可知1 s时的速度为v1=v0+at1=12 m/s+(-6 m/s2)×
1 s=6 m/s
速度方向与初速度方向相同。
(2)汽车2 s末就已经停止运动,所以3 s时的速度为0。
答案:(1)6 m/s,速度方向与初速度方向相同 (2)0
16.(10分)“拾口袋跑”是一种常见的儿童游戏。具体内容是孩子自指定位置起跑,中途拾起地上口袋后再跑向终点,最先跑到终点者获胜。若起点和终点间总距离为20 m。口袋放在中点,某个孩子加速时加速度为 2 m/s2,减速时加速度大小为2.5 m/s2,中途可达最大速度为4 m/s,并且孩子跑至口袋处时速度应减小为零,求孩子完成这个游戏的最短时间。
解析:在加速阶段,孩子达到最大速度时,有vm=a1t1,
则t1===2 s,
加速位移x1=a1=×2 m/s2×(2 s)2=4 m,
在开始减速至口袋处,
设以最大速度奔跑时间为t2,而减速过程的位移x2===
3.2 m,
则-x1-x2=vmt2,
代入数据得t2=0.7 s,
减速过程中时间t3===1.6 s,
再次加速与第一次加速阶段情况一致,
则t4=2 s,
x3=x1=4 m,匀速跑的时间
t5===1.5 s,
最短运动时间
t=t1+t2+t3+t4+t5=7.8 s。
答案:7.8 s
17.(11分)如图所示,木块P从光滑的斜面上的A点以a=2 m/s2的加速度由静止开始下滑,与此同时小球Q在距C点的正上方h=20 m 处自由落下,木块P以不变的速率途经斜面底端B点后继续在粗糙的水平面上运动,在C点恰好与自由下落的小球相遇,若斜面AB段长L1=1 m,水平BC段长L2=1.2 m,不计空气阻力,试求:(g取10 m/s2)
(1)Q下落到地面的时间;
(2)P运动到B点时速度的大小和在BC段加速度的大小;
(3)相遇时木块P的速度大小。
解析:(1)设Q运动至C点的时间为t,根据自由落体运动的规律,有h=gt2
则t===2 s。
(2)木块P在斜面上运动到B点速度vB===
2 m/s,
P运动到B点的时间t1===1 s,
则P在BC段运动的时间为t2=t-t1=2 s-1 s=1 s,
根据位移公式,有L2=vBt2+a1,
代入数据,解得a1=-1.6 m/s2,
加速度大小为1.6 m/s2。
(3)设物块P经C点时速度为vC,
则有=
vC=0.4 m/s。
答案:(1) 2 s (2)2 m/s 1.6 m/s2 (3) 0.4 m/s
18.(12分)高铁列车上有很多制动装置。在每节车厢上装有制动风翼,当风翼完全打开时,可使列车产生a1=0.5 m/s2的平均制动加速度。同时,列车上还有电磁制动系统、空气制动系统、摩擦制动系统等。单独启动电磁制动系统,可使列车产生a2=0.7 m/s2 的平均制动加速度。所有制动系统同时作用,可使列车产生最大为 a=3 m/s2的平均制动加速度。在一段直线轨道上,列车正以v0=324 km/h的速度匀速行驶时,列车长接到通知,前方某一路段出现意外情况,需要减速停车。列车长先将制动风翼完全打开,让高速行驶的列车减速,当车速减小了时,再通过电磁制动系统同时制动。
(1)若不再开启其他制动系统,从开始制动到停车,高铁列车行驶的距离是多少
(2)若制动风翼完全打开时,距离事故点只有2 km,那么该列车最迟在距离事故点多远处打开剩余的制动装置,才能保证列车安全
解析:(1)列车行驶速度v0=324 km/h=90 m/s,
打开制动风翼当速度减小了时,
列车的速度为v1=v0=60 m/s,
此过程中行驶的距离x1===4 500 m,
再打开电磁制动后,列车的加速度大小为a1′=a1+a2=1.2 m/s2,
此过程中行驶的距离x2===1 500 m,
则列车从开始制动到停车行驶的总距离x=x1+x2=6 000 m。
(2)设打开其他制动装置时列车距离事故点距离为Δx,列车速度为v。此后列车减速的加速度为最大制动加速度,则Δx=,
在此之前,列车减速行驶的距离为x0-Δx=,
其中x0=2 km,
代入数据解得Δx=1 220 m。
答案:(1)6 000 m (2)1 220 m
