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八上数学期末专题复习--一次函数（三）
一次函数的应用：
例1.(1)一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为90千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
（2）．在A、B两地之间有汽车站C（C在直线AB上），甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论：①A、B两地相距440千米；②甲车的平均速度是60千米/时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇，其中正确的结论有是 ．（填序号）
1.如图所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程与时间的关系图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者比慢者每秒多跑（ ）
A．25m B．6.25m C．1.5m D．1.25m
（2）．甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示．下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有320米，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.某花农要将规格相同的800棵平安树运往A，B，C三地销售，要求运往C地的棵数是运往A地棵数的3倍，各地的运费如表所示：
A地 B地 C地
运费（元/棵） 10 20 15
（1）设运往A地的平安树x（棵），总运费为y（元）试写出y与x的函数关系式；
（2）若要求运往A地的平安树不超过运往B地的平安树，且总运费不超过14000元，问当运往A地的平安树多少棵时，总运费才最省？
甲、乙两人从M地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往N地．乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．已知乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙两人离M地的距离y（米）与乙行驶的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题．
（1）求甲骑行的速度；（2）求线段BD所表示的y与x之间的函数解析式；
（3）求骑行途中甲、乙第二次相遇时x的值．
例3．由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：
A商品 B商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
某年5月，我国南方某省A，B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C，D获知A，B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的运费分别为每吨20元和25元，从D市运往A，B两市的运费分别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式．
（2）怎样安排调运使得总运费最小，并求出最小值．
例4.某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？
（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）
现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：
运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
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复习作业答案
1.答案：B
解析：∵x＞2，
∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，
∴y＝100+（60x﹣100）×0.9＝54x+10（x＞2，且x为整数），
故选：B．
2.答案：B
解析：由函数图象可知，当x＝0时，y1＝360，y2＝80，
∴A、C两地之间的距离是360千米，B、C两地之间的距离是80千米，
∴360+80＝440（千米），
∴A、B两地相距440千米，故①错误；
函数图象可知，甲车6小时行驶360千米，乙车2小时行驶80千米，
∴360÷6＝60（千米/时），80÷2＝40（千米/时），
∴甲、乙两车的速度分别为60千米/时和40千米/时，
∴60﹣40＝20（千米/时），
∴甲车速度比乙车速度快20千米/时，故②错误；
A、B两地相距440千米，乙车的速度是40千米/时，
∴440÷40＝11（小时），
∴乙车行驶11小时后到达A地，故③正确；
设y1＝kx+360，
则6k+360＝0，
解得k＝﹣60，
∴y1＝﹣60x+360；
设当2≤x≤11时，y2＝mx+n，
则，
解得，
∴y2＝40x﹣80，
两车相遇时，则y1＝y2，
∴﹣60x+360＝40x﹣80，
解得x＝4.4，
∴两车行驶4.4小时后相遇，故④正确，
∴③④正确，
故选：B．
3.答案：C
解析：由图象可得，
甲、乙两地的距离为：150×3＝450（千米），故①正确；
∵两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，
∴轿车每小时比货车多行驶90÷3＝30（千米），
∴轿车的速度为：（450÷3+30）÷2＝90（千米/小时），故②错误；
货车的速度为：（450÷3﹣30）÷2＝60（千米/小时），故③正确；
点C的实际意义是轿车出发450÷90＝5小时后到达乙地，此时两车间的距离为：（90+60）×（5﹣3）＝300（千米），故④正确；
故选：C．
4.答案：C
解析：由题意可知，
甲车的速度是：240÷4＝60（千米/小时），故选项A不合题意；
乙车的速度是：60÷（）＝90（千米/小时），故选项B不合题意；
设甲出发x小时后两车相遇，则60x+90（）＝240，
解得，
所以甲车与乙车在早上10时48分相遇，故选项C符合题意；
乙车到达A地的时间为：10+（240﹣60）÷90＝12（时），故选项D不合题意；
故选：C．
5.解析：（1） 购进A型平板x台，则购进型平板台，
100﹣x≤3x，
解得x≥25
∴A型平板至少25台．
（2）据题意得，y＝120x＋140（100﹣x）＝﹣20x＋14000；
∵﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝25时，y取最大值，则100﹣x＝75，
即商店购进25台A型平板和75台B型平板的销售利润最大；
（3） 25≤x≤60，；
当时，，
当时，
∴这100台平板的销售总利润不能达到13600元．
6.解析：（1）设年销售量与销售单价的函数关系式为：
∴
解得
∴．
∴年销售量与销售单价的函数关系式为：．
（2）
设此设备的销售单价为元，则每台的利润为：元
∴销售量为：台
∵该公司想获得元的年利润
∴
解得，
∵该设备的销售单价不得高于元
∴
答：此设备的销售单价为元/台．
7.解析：（1）由图象知：a=1200÷40=30（元），
当x＞40时，y=30×40+（x-40）×30×80%=24x+240，
∴当x＞40时，y与x之间的函数关系式为y=24x+240，a的值为30；
（2）由题意，得：30≤x≤50，
①当30≤x≤40时，w=30x+25（80-x）=5x+2000，
∵5＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=30时，w最小，最小值=5×30+2000=2150（元）；
②当40＜x≤50时，w=24x+240+25（80-x）=-x+2240，
∵-1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=50时，w最小，最小值=-50+2240=2190（元），
∵2150＜2190，
∴x=30，
∴甲水果应购进30克，乙水果购进50克时，才能使经销商付款总金额w最少．
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例1.(1)一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为90千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
答案：D
解析：由图象可知，甲乙两地的距离为450千米，故①说法正确；
设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时．
根据题意得3V1+3V2＝450.3V1﹣3V2＝90．解得：V1＝90，V2＝60，
故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时；
故②③说法正确；
轿车到达乙地的时间为450÷90＝5（小时），
此时两车间的距离为（90+60）×（5﹣3）＝300（千米），
故点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．故④说法正确．
所以说法正确的是①②③④．
故选：D．
（2）．在A、B两地之间有汽车站C（C在直线AB上），甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论：①A、B两地相距440千米；②甲车的平均速度是60千米/时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇，其中正确的结论有是 ．（填序号）
答案：①②③④
解析：A、B两地相距＝360+80＝440（千米），故①正确，
甲车的平均速度＝＝60（千米/小时），故②正确，
乙车的平均速度＝＝40千米/小时，440÷40＝11（小时），
∴乙车行驶11小时后到达A地，故③正确，
设t小时相遇，则有：（60+40）t＝440，
解得：t＝4.4（小时），
∴两车行驶4.4小时后相遇，故④正确，
故答案为：①②③④．
1.如图所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程与时间的关系图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者比慢者每秒多跑（ ）
A．25m B．6.25m C．1.5m D．1.25m
答案：D
解析：由图象可得，
快者的速度为：100÷（20﹣4）＝100÷16＝6.25（m/s），
慢者的速度为：100÷20＝5（m/s），
6.25﹣5＝1.25（m/s），
即快者比慢者每秒多跑1.25m，
故选：D．
（2）．甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示．下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有320米，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
解析：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误，
故选：B．
例2.某花农要将规格相同的800棵平安树运往A，B，C三地销售，要求运往C地的棵数是运往A地棵数的3倍，各地的运费如表所示：
A地 B地 C地
运费（元/棵） 10 20 15
（1）设运往A地的平安树x（棵），总运费为y（元）试写出y与x的函数关系式；
（2）若要求运往A地的平安树不超过运往B地的平安树，且总运费不超过14000元，问当运往A地的平安树多少棵时，总运费才最省？
解析：（1）运往A地的平安树x棵，则运往C地3x棵，运往B地（800﹣4x）棵，由题意得
y＝10x+20（800﹣4x）+15×3x，
y＝﹣25x+16000．
∵800﹣4x＞0且x＞0，
∴0＜x＜200，
故y与x的函数关系式为：y＝﹣25x+16000（0＜x＜200，x为整数）；
（2）由题意得：
，
解得：80≤x≤160，
由一次函数的性质可知：在80≤x≤160范围内，y随x的增大而减小，
∴x＝160时，y有最小值．
答：当运往A地的平安树160棵时，总运费才最省．
甲、乙两人从M地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往N地．乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．已知乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙两人离M地的距离y（米）与乙行驶的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题．
（1）求甲骑行的速度；（2）求线段BD所表示的y与x之间的函数解析式；
（3）求骑行途中甲、乙第二次相遇时x的值．
解析：（1）由图象可知，M、N两地之间的距离为6400米，
甲的速度为320÷1.6＝200（米/分钟）．
（2）甲车走完全程需6400÷200＝32 分钟．
32﹣30＝2 分钟，
∴D点纵坐标为 2×200＝400．
∴D（0，400），
∵B（30，6400），
设 BD：y＝kx+b（k≠0），
，解得，
∴线段BD的解析式为：y＝200x+400（ 0≤x≤30 ）．
（3）根据题意得：
200x+400＝3200，
解得x＝14，
即骑行途中甲、乙第二次相遇时x的值为14．
例3．由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：
A商品 B商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
解析：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，
∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300；
（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50，
∵y＝7x+300，7＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，可获得最大利润，最大利润为：
y＝7×50+300＝650（元），
100﹣x＝100﹣50＝50（件）．
答：当购进A种商品50件，B种商品50件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润650元．
某年5月，我国南方某省A，B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C，D获知A，B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的运费分别为每吨20元和25元，从D市运往A，B两市的运费分别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式．
（2）怎样安排调运使得总运费最小，并求出最小值．
解析：由题意可得：w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，
∴w＝10x+10200（60≤x≤260）；
（2）∵w＝10x+10200（60≤x≤260）
∴k＝10＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w有最小值为10800元，
答：从D市运往B市的救灾物资为60吨，从D市运往A市的救灾物资为200吨，从C市运往B市的救灾物资为240吨，从C市运往A市的救灾物资为0吨，此时总运费最小，最小值为10800元．
例4.某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？
（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）
解析：（1）当1≤x≤10时，设AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（1，300），B（10，120）代入得：，
解得：，
∴AB：y＝﹣20x+320（1≤x≤10），
当10＜x≤30时，同理可得BC：y＝14x﹣20，
综上所述，y与x之间的函数表达式为：；
（2）当1≤x≤10时，w＝（10﹣6）（﹣20x+320）＝﹣80x+1280，
当w＝1040元，﹣80x+1280＝1040，
x＝3，
∵﹣80＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴日销售利润不超过1040元的天数：3，4，5，6，7，8，9，10，一共8天；
当10＜x≤30时，w＝（10﹣6）（14x﹣20）＝56x﹣80，
56x﹣80＝1040，
x＝20，
∵56＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴日销售利润不超过1040元的天数：11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，一共10天；
综上所述，日销售利润不超过1040元的天数共有18天；
（3）当5≤x≤10时，当x＝5时，w大＝﹣80×5+1280＝880，
当10＜x≤17时，当x＝17时，w大＝56×17﹣80＝872，
∴若5≤x≤17，第5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元．
现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：
运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
解析：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，
根据题意得 16x+10（18﹣x）＝228，解得x＝8，
∴18﹣x＝18﹣8＝10．
答：大货车用8辆，小货车用10辆；
（2）w＝720a+800（8﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]＝70a+11550，
∴w＝70a+11550（0≤a≤8且为整数）；
（3）由16a+10（9﹣a）≥120，解得a≥5．
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8且为整数．
∵w＝70a+11550，且70＞0，所以w随a的增大而增大，
∴当a＝5时，w最小，最小值为w＝70×5+11550＝11900．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元．中小学教育资源及组卷应用平台
复习作业
1.某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2）
2.在A、B两地之间有汽车站C，甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，甲、乙两车离C站的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论：①A、B两地相距360千米；②甲车速度比乙车速度快15千米/时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知A，B两地相距240千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．甲车的速度是60千米/小时 B．乙车的速度是90千米/小时
C．甲车与乙车在早上10点相遇 D．乙车在12：00到达A地
5.某商店销售A型和B型两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的平板共 100 台，其中 B 型平板的进货量不超过A型平板的3倍．设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元．
（1）求A型平板至少多少台？
（2）该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？
（3） 若限定商店最多购进A型平板60台，则这100台平板的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A型平板的台数；若不能，请求出这100台平板销售总利润的范围．
6.某公司近期研发出一种新型神奇的扫地机，每台设备成本价为元，经过市场调研发现，每台售价为元时，年销售量为台；每台售价为元时，年销售量为台．假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：元）成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于元，如果该公司想获得元的年利润，则该设备的销售单价应是多少元？
7.某水果经销商需购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为a元，如果一次购买超过40千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为25元/千克．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求a的值，并写出当x＞40时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
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