2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册5.7第1课时 三角函数的应用(一)课件（30张PPT）

现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性， 那么就可以考虑借助三角函数来描述．
本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．
三角函数的应用(一)
学习目标
1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.
2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.
简谐运动

一
问题１　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωt+φ )来刻画．
根据已知数据作出散点图，如下图所示．
所以振子位移关于时间的函数解析式为
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A＝20；
振子振动的周期为0.6s，即????????????= 0.6 解得ω＝????????????????；
?
再由初始状态(t＝0)振子的位移为-20，可得sinφ =－1，因此φ ＝- ????????．
?
y=20sin(????????????????t - ????????), t∈[０，＋∞）．
?
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ) , x∈[0，＋∞)表示，其中A＞0， ω＞0．
描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
简谐运动可以用函数表示为：
y=Asin(ωx+φ) , x∈[0, ＋∞) , 其中A＞0, ω＞0.
A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是T＝????????????，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
?
这个简谐运动的频率由公式????=????????＝????????????给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
?
ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ 称为初相．
反思感悟
若y＝Asin(ωx＋φ)是一个简谐运动的解析式，则A>0，ω>0，若A，ω不满足条件，则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值.
3πx－π
跟踪训
2.弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz
√
三角函数在物理中的应用

二
反思感悟
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
跟踪训练3
由题图可知A＝300，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
三角函数“拟合”模型的应用

三
例2　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报．
时刻
水深/m
时刻
水深/m
时刻
水深/m
0：00
5.0
9：18
2.5
18：36
5.0
3：06
7.5
12：24
5.0
21：42
2.5
6：12
5.0
15：30
7.5
24：00
4.0
(1) 选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3）：
时刻
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
水深/m
5.000
6.213
7.122
7.497
7.245
6.428
5.253
4.014
3.023
2.529
2.656
3.372
时刻
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
水深/m
4.497
5.748
6.812
7.420
7.420
6.812
5.748
4.497
3.372
2.656
2.529
3.023
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙 （船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久?
由计算器可得
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
(3)某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域?
在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点
因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
反思感悟
处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的 “散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题.