高中数学必修第一册（人教A版2019）第五章三角函数 单元测试B （含解析）

一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是
A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上是单调递增的
D．函数图象的对称中心为
3．设函数，，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．2
5．设函数，在上的图象大致如图，将该图象向右平移个单位后所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）
A． B．π C． D．2π
7．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是（ ）
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递增
D．若，则
11．已知函数，则（ ）
A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B．在上单调递增
C．在内有2个零点
D．在上的最大值为
12．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，则______.
14．计算：___________.
15．函数的最小值为___________．
16．若，则_______________．
四、解答题
17．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知函数，直线是函数f(x)的图象的一条对称轴.
（1）求函数f(x)的单调递增区间;
（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若求的值.
19．已知函数．
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
20．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．为圆周上一点，且．点从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．
(1)求秒钟后，点到直线的距离用的解析式；
(2)当时，求的值
21．如图是函数（，，）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
(1)求函数的解析式及其在上的单调递增区间；
(2)当时，函数的最小值为，求实数a的值．
22．已知函数，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
条件①：的最大值与最小值之和为；条件②：.
(1)求的值；
(2)求函数在上的单调递增区间.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
2．D
【解析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.
【详解】由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且，
∴，
∴f（x）＝2sin（ωx），
∵f（）＝0且为单调递减时的零点，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
由图象知，
∴ω，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，
∴A错，
令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，
令2x,则x，则C错，
令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
3．C
【分析】求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
4．D
【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】解：由诱导公式可得，所以，.
因此，.
故选：D.
5．C
【分析】根据五点作图法可构造方程求得，得到；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于可构造方程求得，由此确定最小值.
【详解】根据五点法作图知：，解得：，；
将向右平移个单位得：，
图象关于对称，，
解得：，
由，可令得的最小值.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据余弦型函数的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将的取值代入，整体对应的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.
6．B
【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数.
【详解】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以，则，可得.
故选：B
7．A
【分析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解
【详解】，
又，为锐角，
∴ ，
故选：A.
8．B
【分析】利用同角三角函数基本关系式，求出，再利用角变换，利用两角差的余弦公式求得答案．
【详解】由是锐角，，则，
又，是锐角，得，
又，则，
则
.
故选：B．
9．ABD
【分析】根据题意及函数过点求出解析式判断A，由函数值域可判断B，根据正弦型函数的单调性可判断C，t＝20时求出P点，根据两点间距离公式判断D.
【详解】由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝，
又从点A(，)出发，
所以R＝6，6sin φ＝－3，又|φ|<，所以φ＝，故A正确；
，当t∈[35，55]时，，
则，，点到x轴的距离为，
所以点到x轴的距离的最大值为6，故B正确；
当t∈[10，25]时，，所以函数在[10，25]上不单调，故C不正确；
当t＝20时，，则，且，所以P(0，6)，
则，故D正确．
综上，正确的是ABD.
故选：ABD
10．AD
【分析】由图知即可求；根据且求；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在上单调性；由代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断是否成立.
【详解】由图知：，而，可得，A正确；
∴，又且，有，，又，
∴，即，B错误；
综上，，
∴，则，显然在上不单调，C错误；
若，则，故，D正确.
故选：AD
11．BC
【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；
【详解】由题得，
由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所以选项A错误；
令，
得其增区间为，
所以在上单调递增，所以选项B正确；
令得，
得，又．
所以可取，即有2个零点，所以选项正确；
由得，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
12．AB
【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：选项A：；
选项B：；
选项C：；
选项D：.
故选：AB.
13．
【分析】进行弦化切，把代入直接求值.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
14．##
【分析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故答案为：
15．.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
16．
【分析】利用同角关系“”，以及二倍角的正弦公式，把根号配成完全平方式，开出来，根据的范围去绝对值整理得答案.
【详解】

，
由于，所以，
当时，，
原式，
当时，，
原式，
综上，原式．
故答案为：.
17．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答.
（2）利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答.
（3）根据给定范围，按a=0，a>0，a<0分类并结合最值情况求解作答.
（1）
因函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，
所以．
（2）
由（1）知，，当时，，则，
令，则．存在，使成立，
即存在，使成立，则存在，成立，
而函数在上递减，在上递增，
当时，，当或2时，
所以实数m的取值范围为．
（3）
由（1）知，不等式，
当时，，，
若，因，即恒成立，则，
若，因在上单调递增，则当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
若，当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
所以a的取值范围是．
18．（1）；（2）
【解析】（1）首先化简函数，再根据是函数的一条对称轴，代入求，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到，并代入后，得，再利用角的变换求的值.
【详解】（1），
当时，，得，
，，
即，令，
解得：，，
函数的单调递增区间是；
（2），
，得，
，，，
【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.
19．（1）定义域为，值域为；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）非奇非偶函数； （4）.
【分析】（1）利用两角和差的三角函数，结合对数的运算化简可得，
由真数大于零，即，利用三角函数的图象和性质求解，即得函数的定义域；根据三角函数的值域和对数函数的图象与性质，可求得函数的值域；
（2）利用对数函数的单调性，三角函数的单调性，结合复合函数的单调性可求得函数的单调增减区间；
（3）利用奇偶函数的定义域的对称性，结合（1）中所的定义域，即可得到函数为非奇非偶函数；
（4）根据三角函数的周期性，即可得到函数的周期.
【详解】（1），
由,解得
∴函数的定义域为；
由,∴，∴函数的值域为；
（2）在定义域内，当,即时，是单调递增的，故函数时单调递减的；
当,即时，是单调递减的，故函数时单调递增的；
∴单调增区间为，单调减区间为；
（3）由（1）得函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；
（4）∵的最小正周期为,∴函数的最小正周期为.
【点睛】本题考查对数函数与三角函数的复合函数的定义域，值域，单调性，奇偶性和周期性问题，关键是掌握复合函数的单调性求解方法,熟练掌握三角函数的单调性，简单三角不等式的求解方法，并注意单调性求解和奇偶性判定时一定要考察清楚函数的定义域.
20．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意求出旋转角即可得出点的横坐标，即可求出解析式；
（2）可得当时，，即可求出.
(1)
由题意可得周期为，则秒钟后，旋转角为，
此时点的横坐标为，
所以点到直线的距离为；
(2)
当时，，
可得旋转了或，
解得或.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）由图像求得解析式，再利用整体法求出单调区间，再赋值求交集即可求解；（2）换元法得的范围，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系求最小值求解a
【详解】（1）∵点是线段DM的中点，
∴，．
∵函数，
∴．周期，解得．
∵，∴，
解得，又，∴．
∴．
令，解得，当时，，
∴函数在上的单调递增区间为．
（2）∵，∴，
∴．
令，则，∴．
设，则函数图象的对称轴为直线．
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得（舍去）；
当，即时，，
解得（舍去）．综上，．
22．(1)选①：；选②：.
(2)选①或②，函数在上的单调递增区间为.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据所选条件①或②可得出关于实数的等式，由此可解得对应的实数的值；
（2）选①或②，由可得，解不等式即可得解.
【详解】（1）解：选①：
，
则，，
由已知可得，解得，此时.
选②：
，
，解得，此时.
（2）解：选①：由可得，
由，解得，故函数在上的单调递增区间为；
选②：同①.
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