高中数学必修第一册（人教A版2019）第五章三角函数 单元测试A（含解析）

一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）
A．95米 B．100米 C．105米 D．110米
4．若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）．
A．1 B． C．2 D．3
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
二、多选题
9．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（ ）
A． B． C． D．
11．对于函数有（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象过点
C．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的
D．的图象关于直线对称
12．已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若，则__________
14．函数的严格增区间为________．
15．已知，则__________.
16．已知,则__．
四、解答题
17．已知，，且，，求，.
18．已知函数，若对任意的，都有，且的最小值为．
(1)求的值；
(2)求的单调递减区间．
19．已知，其中是第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求，．
20．函数的部分图象如图：
(1)求解析式；
(2)写出函数在上的单调递减区间.
21．如果一个扇形的周长为，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？
22．已知向量，，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.
【详解】∵，∴，
则，
故选：C
2．A
【分析】结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.
【详解】由于，所以，故，
所以.
故选：A
3．C
【分析】设函数关系式为，根据题意求得各参数得解析式，然后计算可得．
【详解】设该游客在摩天轮上离地面高度（米）与时间t（分钟）的函数关系为，
由题意可知，，，所以，即．
又，得，故，
所以，
所以．
故选：C．
4．B
【分析】根据以及周期性求得.
【详解】依题意函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
即，解得.
故选：B
5．B
【分析】由诱导公式和同角关系可化为，再由同角关系由求出，由此可得结果.
【详解】∵ ，
∴
则，
故选：B.
6．C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
7．C
【分析】诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】，．
∵，，，
∴．
又∵在上是增函数，
∴．
故选：C．
8．C
【分析】先根据给定图象求出函数的解析式，再求出由到的变换即得.
【详解】观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.
故选：C
9．BC
【分析】求出的值以及各选项中代数式的值，由此可得出合适的选项.
【详解】.
对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，，化简可得.
故选：BC.
10．CD
【分析】由单调性判断出A选项，由奇偶性判断B选项，C选项可画出函数图象进行判断，D选项，先判断出的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断.
【详解】在上不单调，故A错误；
为奇函数，故B错误；
图象如下图：
故最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，故C正确；
最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，则也是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.
故选：CD
11．AD
【详解】对选项A，，的图象关于点对称，A正确；
对选项B，，B错误；
对选项C，的图象向右平移个单位长度，
所得函数图象的表达式为，C错误；
对选项D，，的图象关于直线对称，
D正确．
故选：AD
12．AC
【分析】根据同角关系可求，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D.
【详解】因为，，其中，为锐角，故
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选:AC
13．
【分析】首先利用二倍角公式求出，再利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为所以，则.
因为，所以，即，故.
所以.
故答案为：.
14．
【分析】利用辅助角公式将化为，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调区间.
【详解】依题意，
由，，
解得，，
所以单调递增区间为.
故答案为：
15．##
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
故答案为：
16．
【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】∵，
∴
.
故答案为：.
17．；.
【分析】本题先求、，再求、即可解题.
【详解】解：∵，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ；
.
【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和差的正余弦公式，是基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，根据的半周期求得.
（2）利用整体代入法求得的单调递减区间.
(1)
，
依题意对任意的，都有，且的最小值为，
，所以.
(2)
由（1）得，
由，
解得，
所以的单调递减区间为.
19．(1)
(2)，
【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；
【详解】（1）解：∵是第四象限角，∴，，所以、，
∴
．
即；
（2）解：∵，∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.
（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.
（1）
由图象知，所以，又过点，
令，由于，故所以.
（2）
由，
可得，
当时，
故函数在上的单调递减区间为.
21．当扇形的半径为，圆心角为时，扇形的面积最大
【分析】设该扇形的半径为，圆心角为，弧长为，面积为，可得出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可求得值，即可得出结论.
【详解】解：设该扇形的半径为，圆心角为，弧长为，面积为，
则，所以，其中，
所以，，
所以当时，最大，最大值为，
此时.
22．(1)
(2)的最大值为，此时；的最小值为，此时
【分析】（1）先根据向量数量积得到，再由二倍角及辅助角公式化简，然后求单调区间即可；
（2）根据区间的范围求出内层的范围，再求最值及对应的的值.
【详解】（1）因为向量，，
得函数，
令，则，
∴的单调递增区间为；
（2）当时，，所以，
当，时，取得最大值，，
当，时，取得最小值，．
答案第1页，共2页
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