高中数学必修第一册（人教A版2019）第五章三角函数 单元测试C（含解析）

一、单选题
1．已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．函数图像上一点向右平移个单位，得到的点也在图像上，线段与函数的图像有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
①时，函数图象关于对称；②函数的最小值为-2；③若函数在上单调递增，则；④，为两个不相等的实数，若且的最小值为，则.
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
5．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A． B． C． D．
6．已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，，0<φ<π)图象的一部分，对任意的，且，若，有，则φ的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
11．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ）
A．的取值范围是
B．的图象与直线在上的交点恰有2个
C．的图象与直线在上的交点恰有2个
D．在上单调递减
12．已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．的值域为
C．为周期函数，且周期
D．与的图象恰有一个公共点
三、填空题
13．已知不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数：___________.
①定义域为R；②；③；④.
14．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正偶数x为___________.
15．如图，正方形的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记，的长度之和为．则的最大值为___________．
16．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是__________．
①函数是周期函数； ②函数的值域是；
③函数的图象关于对称； ④方程只有一个实数根；
四、解答题
17．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
18．已知函数在区间（）上的最大值为，最小值为，记.
(1)求的值；
(2)设（）.
①若，试写出方程的一个解；
②若，求函数的零点个数.
19．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.
（1）求函数的解析式
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值.
20．已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
21．已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)若为的相伴特征向量，求实数m的值；
(2)记向量的相伴函数为，求当且时的值；
(3)已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力.
2．B
【分析】利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和.
3．A
【分析】首先根据已知条件分析出，可得，再由可得对称轴为，利用可以求出符合题意的一个的值，进而得出的解析式，再由数形结合的方法求的取值范围即可.
【详解】
如图假设，线段与函数的图像有5个交点，则，
所以由分析可得，所以，
可得，
因为所以，即，
所以是的对称轴，
所以，即，
，
所以，可令得，
所以，
当时，令，则，
作图象如图所示：
当即时，当即时，，
由图知若，与有两个交点，则的取值范围为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出的解析式，再利用数形结合的思想求解的取值范围.
4．B
【分析】由题设可得，设，先研究的性质，结合前者逐项研究的性质后可得正确的选项.
【详解】由题设可得，
令，设，
当时，，故，
当时，，故，
故的最小值不是即的最小值不是，
而的最大值为，
故的最大值为2，其中，
故②错误.
因为，故，
故，故，故④错误.
当时，，
则
，
故的图象关于直线对称，故①正确.
又，其中，
故在上，为增函数，
在上，为减函数，
在上，为增函数，
在上为减函数，
当时，有，故即，
故③正确.
故选：B
【点睛】思路点睛：对于较为复杂的三角函数的图象和性质的问题，可结合正弦函数和余弦函数的性质来讨论，而且为了简化讨论，可利用复合函数的处理方法来处理.
5．D
【分析】由题可得，，过作，交于，连接，则，设，分类讨论，若在线段上，则，可求出和，从而可得出，利用函数的单调性，可得出时，取得最大值；若在的延长线上，同理求出和，可得出，可得当时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．
【详解】解：，，
由勾股定理知，，
过点作交于，连结，则，
设，
若在线段上，则，
由，得，
在直角中，，
，
令，则函数在，单调递减，
时，取得最大值为；
若在的延长线上，，
在直角中，，
，
令，则可得时，函数取得最大值.
故答案为：．
6．A
【分析】本题首先可根据正弦函数性质得出、，然后根据得出，根据得出，最后根据得出，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，，
，即，，
，即，，
则，
因为，所以，，
因为，所以的最大值为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦函数性质求参数，能否根据求出、是解决本题的关键，考查计算能力，是难题.
7．D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
8．C
【分析】本题首先可根据函数是偶函数得出，通过计算得出，然后通过转化得出，通过图像变换得出，最后根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
，解得，，
则
，
则，
向左平移个单位长度后，得到，
向上平移个单位长度，得到，
当时，，
结合正弦函数对称性易知，
在有两个不相等实根，则且，
此时，实数的取值范围是，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.
9．BD
【分析】由题意，从图看出，可知关于函数的对称轴是对称的.即x=时其中一条对称轴，且f()=2，，即可求解φ的值.
【详解】解：由题意，从图看出A=2，，
可知关于函数的对称轴是对称的.即x=是其中一条对称轴，且f()=2，
∴函数f()=2，可得：2sin[ω()+φ]=2，
可得：ω()+φ=+2kπ，k∈Z，…①.
∵，∴函数，
可得：，或+2kπ，k∈Z，…②.
令k=0，由①②解得：φ=，或，
∵0<φ<π，∴φ=或.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.关键在于运用正弦函数的对称性建立关于的关系.
10．ACD
【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．
【详解】由题意可得：，，，
，，，，，
，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确.
时，，可得：函数在单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.
11．AB
【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.
【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，
所以，解得，故A正确；
又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，
且，则在上，出现两次最大值，
此时函数的大致图象如图示：
即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，
故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；
由于当时，，，
当时，取最小值 ，由于是否取到不确定，
故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；
当时， ，
因为，所以，，
故的值不一定小于，
所以在上不一定单调递减.
故选：AB.
【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.
12．CD
【解析】A.假设函数为偶函数，则，由的图象关于对称判断； B. 根据表示不超过的最大整数，得到判断；C.易得 判断；D. 利用的值域为，分别令，，判断.
【详解】A.若函数为偶函数，则，所以的图象关于对称，而，，故错误；
B. 因为表示不超过的最大整数，所以，所以的值域为，故错误；
C. ，所以，则为周期函数，且周期，故正确；
D. 由B知：的值域为，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数有一个公共点，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数无公共点，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数无公共点，综上：与的图象恰有一个公共点，故正确；
故选：CD
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解的含义，得到，再根据余弦函数的性质即可得解.
13．（答案不唯一）
【分析】根据，可得，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据，可得函数的周期，然后根据得到答案.
【详解】由，得，
联想到，可推测，
由，得，则，
又，所以（，为偶数，且），
则当k=2时，.
故答案为：（答案不唯一）.
14．4
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得；
由，即，
∴或，
解得或，
令，可得或，
所以最小正偶数为4.
故答案为：4.
15．
【分析】由题意结合三角恒等变换得到且，令，进一步得到，由函数单调性求最大值即可.
【详解】由题设，，，
而，故，
所以，
综上，且，
所以，
令，则，
所以，故在上递减，
所以，此时或.
故答案为：
16．②④
【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】由题得函数的定义域为,
，
所以函数为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；
所以函数的值域是，故选项②正确；
由，
所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；
对于方程，
当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项D正确.
故答案为：②④.
17．(1)，递减区间为，
(2)
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
(1)
由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
(2)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
18．(1)
(2)①（答案不唯一）；②答案见解析
【分析】（1）先化简得，将代入求得，根据单调性求出即可；
（2）①由得或，进而得到，解出即可；②将函数的零点个数转化为与的交点个数，分类讨论求出的解析式，画出函数的图象，对分类讨论即可确定零点个数.
（1）
.
当时，，此时，，于是.
（2）
①由（1）知，，最小正周期，当，，即，或显然满足，
由于区间的长度为，即，只要满足，即可满足或，
此时.（此题答案不唯一）
②函数的零点个数即与的交点个数.
当时，，此时函数单调递增，
则；
当时，，此时函数在单调递增，在单调递减，
又，则；
当时，，此时函数在单调递增，在单调递减，
又，.
于是在直角坐标系内画出函数的图象如下，
由图可知，当或时，函数的零点个数为0，
当或时，函数有1个零点，
当或时，函数有2个零点，
当时，函数有3个零点.
19．（1）；（2），.
【分析】(1)由最小正周期得,由是其图象的一条对称轴得,进而得答案；
（2）根据题意得，进而整理得，令，得，根据判别式得关于t的二次方程必有两不等实根且异号，再分当且时,当得，当时，则，此时,当有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，四种情况讨论求解.
【详解】解：由三角函数的周期公式可得，
，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，
所以，得，
由于，，则，
因此，.
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为.
.
令，可得，
令，得，，
则关于t的二次方程必有两不等实根 ，则，，异号.
当且时，
则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合题意
当，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
在区间上无实解，
方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，
因此，关于x的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意
当时，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于x的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意.
若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意
综上所述：，.
【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于根据换元法将问题转化为讨论关于t的二次方程必有两不等实根 ，则，，异号情况下的实数根的问题，进而分类讨论求解即可.
20．（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出，由周期公式得出，由函数的最大值得出，结合，整理得出该函数的解析式；
（2）将函数的零点转化为方程在区间上有两个实根，由得出，结合函数在区间上的单调性，确定的范围，整理得出实数t的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，得周期，∴
当时，取得最大值4，即，得，
得，得，
又，当时，，
即．
（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.
，，，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，当时，，如图所示：
又方程有两个实根，∴或
得或，
即实数的取值范围是：
【点睛】易错点睛：本题主要考查了由正弦函数的性质求函数的解析式以及由函数零点个数求参数的范围，考查运算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题，属于中档题.
22．(1)；
(2)；
(3)存在点，使得.
【分析】（1）利用特征向量的定义即得；
（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；
（3）由题可得的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【详解】（1）∵，
又为的相伴特征向量，
∴；
（2）∵向量的相伴函数为，
又，
.
，，
，
∴；
（3）由题可知，
∴，
设，，
，，
又，
，
，
即，
，
，，
，
又，
当且仅当时，和同时等于，
在图像上存在点，使得.
答案第1页，共2页
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