2022-2023高一数学期末章节复习——指数运算与指数函数2（北师大版2019）（含解析）

一、单选题
1．若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3．函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A．2 B． C．3 D．
11．若实数,满足,则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为_____．
14．已知函数为偶函数，当时，，若直线与函数的图象有4个交点，则实数a的取值范围是______．
15．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
16．已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知函数的图象关于轴对称．
(1)求的值．
(2)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围．
(3)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
19．已知函数.
(1)判断并说明的奇偶性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
20．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断并用定义证明的单调性；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
21．函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
22．已知函数．
(1)判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】根据复合函数的单调性分类讨论，利用子集关系列式可解得结果.
【详解】根据复合函数的单调性可知，
当时，在上单调递增，在上单调递减
因为函数在上单调递增，
所以无解﹔
当时，在上单调递减，在上单调递增.
因为函数在上单调递增，
所以
解得.
所以的取值范围为
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据复合函数的单调性分类讨论，利用子集关系列式求解是解题关键.
2．A
【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，，
又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
3．C
【分析】由二次函数图象过点特殊点，排除AD，再根据二次函数图象的对称轴和指数函数的单调性分类讨论判断．
【详解】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；
当时，指数函数递增，，B不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，所以，，
因为、均为正数，所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
5．B
【分析】利用题意得到，解出的值，代回得到，通过单调性可以得到最大值
【详解】由题意可知，解得，，所以，易得当越大时，越大，
所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．
故选：B．
6．B
【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．
【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，
如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，
所以B正确；
对称轴在x轴左侧，C不正确；
如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．
故选：B．
7．D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
8．B
【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
9．BC
【分析】由二次函数的性质可判断A；由反比例函数单调性以及函数图象的平移可判断B；去绝对值由一次函数的性质可判断C；由指数函数以及复合函数的单调性可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；
对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；
对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；
故选：BC.
10．AB
【分析】分别讨论单调递增和单调递减两种不同的情况即可求解.
【详解】设，
当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值.所以，求得或者（舍）；
当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，最小值，所以，求得（舍）或者.
综上所述：或者.
故选：AB
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．ABD
【解析】根据题目实数,满足,设,,画出函数图象,逐段分析比较大小即可.
【详解】解：因为实数,满足.
设,
由图象可知
①当 时,,
所以,即,故B正确和
②当 时,,
所以,即,故D正确
③当 时,,
所以,即,故A正确
④当 时,,
所以,即,故D正确
⑤当 时,,
所以,即,故C错误.
故选：ABD
【点睛】本题考查指数函数的图象和根据函数值大小比较指数,属于中档题.
12．ACD
【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，令，，则，，，
，B错误；
对于C，为定义在上的增函数，，C正确；
对于D，，
，D正确.
故选：ACD.
13．
【解析】用换元法求出时值域，再根据奇函数性质得出函数在的值域，从而得结论．
【详解】时，，，设，∴，
，∴时，，又时，，∴，
又是奇函数，∴时，，
综上的值域是．
故答案为：．
【点睛】本题考查求函数的值域，解题方法是换元法，解题关键是掌握指数函数的性质．
14．
【分析】根据函数为偶函数得到函数的解析式，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】当时，，则，
故，，，
由题知的图像如图所示．
因为直线与函数的图象有4个交点，所以实数a的取值范围是．
故答案为：.
15．
【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
16．（-∞，2）∪（4，+∞）
【分析】根据函数解析式作出函数图像，对参数a分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围.
【详解】作出函数图像，易知与有3个交点，其中，是其两个交点的横坐标，
①当时，函数的图像为：
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
②当时，函数的图像为：
由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数有两个零点；
③当时，函数的图像为：
或
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
综上所述，存在实数b，使函数有两个零点的参数a的范围为
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由题意得到，即对任意恒成立，结合对数的运算法则，即可求解；
（2）由（1）根据题意转化为方程无实数解，令得到函数的图象与直线无交点，利用单调性的定义求得在上是减函数，得到，即可求解；
（3）令，则，，分、和，三种情况讨论，结合函数的最小值列出方程，即可求解.
（1）
解：由函数的图象关于轴对称，
所以，
即对任意恒成立，
所以，
所以．
（2）
解：由（1），可知关于的方程无实数解，
即方程无实数解．
令则函数的图象与直线无交点．
，
任取，，且，则，
所以，所以，所以在上是减函数．
因为，所以，
所以实数的取值范围是．
（3）
解：由题意知，，
令，则，，
当，即时，，令，解得；
当，即时，，
令，解得（舍去），
当，即时，，
令，解得舍去．
综上，存在，使得的最小值为．
18．(1)7
(2)47
(3)
【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值；
(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值；
(3)首先利用立方差公式可得，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.
（1）
将两边平方，得，
所以．
（2）
将两边平方，得，
所以．
（3）
∵，，，
∴，
∴．
19．(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义直接验证；
（2）利用分离参数法求出a的范围；
（3）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围.
(1)
因为函数的定义域关于原点对称，
由，，及实数的任意性，
可知，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数.
(2)
∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需
∵∴.
(3)
∵∴，
则，当且仅当取等号，
∴，
∵，∴在单调递减，在单调递增，
∴，
①当，即时，在单调递增，
∴即得，∴，
②当，即时，在单调递减，
∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
20．（1）a=1，b=1；（2）在R上单减，证明见解析；（3）.
【分析】（1）由奇函数列方程组求出a、b；
（2）先判断在R上单减，利用定义法证明；
（3）利用为奇函数及在R上单减把转化为对任意恒成立，利用分离参数法求出k的范围.
【详解】（1）∵为定义域为的奇函数，
∴，即解得：.
（2）由（1）知：，在R上单减，下面进行证明：
任取，且，
∴
∵为增函数，，
∴，
∴
∴
∴在R上单减.
（3）∵为奇函数，
∴对任意，不等式恒成立可化为：
对任意恒成立，
又在R上单减，
∴对任意恒成立，可化为：
对任意恒成立，
即，恒成立.
记，，只需
在上单增，所以
所以k<8.
即的取值范围是
【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或；
（2）证明函数的单调性一般用：①定义法；②导数法；
（3）分离参数法是解决恒（能）成立问题的常用方法.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）令，代入等式，可求得；
（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明在上为增函数；
（3）原不等式可化为，结合函数的单调性，可得出，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令，则，∴.
（2）证明：令，则，
∴，∴，
∴对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
∴，即，
∴函数在上为增函数.
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
∵，∴，解得，
故原不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
22．(1)在上单调递增；证明见解析
(2)
【分析】（1）设，可整理得到，由此可得结论；
（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.
（1）
在上单调递增，证明如下：
设，
；
，，又，，，
在上单调递增.
（2）
，为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；
令，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，，，
即实数的取值范围为.
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