2022-2023高一数学期末章节复习——指数运算与指数函数1（北师大版2019）（含解析）

一、单选题
1．已知，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
2．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
3．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
4．如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数f(x)=的值域是（ ）
A．(-∞，1) B．(0，1)
C．(1，+∞) D．(-∞，1)∪(1，+∞)
6．计算的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．若函数的值域为，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数在是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列运算结果中，一定正确的是　　
A． B． C． D．
11．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C．0 D．
12．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数 D．是偶函数
三、填空题
13．设，则___________.
14．已知实数且，，则__________；
15．已知，为正数，化简_______．
16．已知函数是偶函数，则______.
四、解答题
17．设，，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
18．计算或化简：
（1）－10＋；
（2）·.
19．已知函数的图像经过点，
（1）求值；
（2）求函数的值域；
20．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明.
21．已知定义在上的函数为偶函数.
(1)求的值，并判断在上单调性（只作判断，不用说明理由）；
(2)若，求的范围.
22．已知函数的图象经过点，其中且．
（1）求a的值
（2）求函数的值域．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C
2．D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
3．D
【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
4．D
【分析】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断.
【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，
当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，
所以c，d大于1，a，b小于1，
由图知： ，即， ，即 ，
所以，
故选：D
5．B
【分析】根据的范围，利用不等式法，即可求得函数值域.
【详解】∵3x+1>1，∴0<<1，
∴函数的值域为(0，1).
故选：.
【点睛】本题考查利用不等式法求指数型复合函数值域的求解，属基础题.
6．B
【分析】利用指数幂和根式进行化简得出答案．
【详解】原式==e，
故选：B
【点睛】本题考查指数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
7．B
【分析】分段求解指数函数的值域，结合已知条件，即可容易求得参数范围.
【详解】当时，
当时，
函数的值域为
，即
故选：B
【点睛】本题考查由分段函数的值域求参数范围，涉及指数函数值域的求解，属综合基础题.
8．C
【分析】由题可得，集合B为正整数集，从而与集合A求交集可得结果.
【详解】解：时，恒成立，又，故集合B为正整数集
.
故选：C.
9．AB
【分析】利用函数单调性的性质可判断A，C；去绝对值写成分段函数的形式可判断B；由复合函数单调性可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：因为定义域为，且为增函数，为减函数，所以在和单调递增，所以在是增函数，故选项A正确；
对于B： ，所以在单调递减，在单调递增，
所以在是增函数，所以选项B正确；
对于C：定义域为，因为为增函数，为减函数，为减函数，所以在为增函数，故选项C不正确；
对于D：是由和复合而成，因为为减函数，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，故选项D不正确；
故选：AB.
10．AD
【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．
【详解】解：选项，正确；
选项，错误；
选项当时，，当时，，错误；
选项，正确．
故选：．
【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．
11．AB
【分析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求的取值范围.
【详解】解：因为，则，
由题意得与在区间上同增或同减．
若同增，则在区间上恒成立，即，所以．
若同减，则在区间上恒成立，即，无解，
综上，实数的取值范围是，所以A，B选项符合题意．
故选：AB．
12．ACD
【分析】利用指数函数、幂函数的性质画出的图象，由图象逐一判断即可.
【详解】函数的图象如图所示，由图可知的值域为，结论A错误，结论C，D显然错误，的图象与直线有两个交点，结论B正确．
故选：ACD
13．4
【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.
【详解】由.
故答案为：4.
14．
【分析】根据指数幂的运算法则计算可得；
【详解】解：因为
所以
故答案为：
15．
【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.
【详解】原式．
故答案为：．
16．1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
17．（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【分析】（1）根据指数幂的运算可证；
（2）根据指数幂的运算可证；
（3）根据指数幂的运算可证．
【详解】（1）；
（2），又，；
（3），又
．
18．（1）－；（2）
【分析】（1）结合指数的运算公式化简整理即可；
（2）根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果.
【详解】（1）原式
;
（2）原式
.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）函数的图像经过点，得到，即可求解；
（2）由（1）得到，根据函数的单调性，得到，进而求得函数的值域.
【详解】（1）由函数的图像经过点，可得，解得.
（2）由（1）可知，
因为，所以在上单调递减，则在时有最大值，
所以，
因为，所以函数的值域为.
20．(1)1
(2)在上为减函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，再根据奇函数的定义检验即可；
（2）根据指数型复合函数的单调性判断，再利用定义法证明即可；
(1)
解：由为定义在上奇函数可知，解得.
经检验，此时对任意的都有
故.
(2)
解：由递增，可知在上为减函数，
证明如下：
对于任意实数，，不妨设，
则.
∵单调递增，且，
∴即，，，
∴，∴，
故在上为减函数.
21．(1)，在上单调递减
(2)或.
【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，即可得到的解析式，再根据偶函数的定义检验即可，最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性与单调性得到，将两边平方，解一元二次不等式，即可得解；
（1）
解：因为函数的定义域是为，且函数为偶函数，
则，即，所以.
所以，则，
经检验，时，为偶函数，符合题意.
因为，令、、，
因为在上单调递增，且，
又对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
而在上单调递减，所以在上单调递减，
即在上单调递减；
（2）
解：因为，则
又因为在上单调递减，所以，即
解得或.
22．（1）；（2）．
【解析】（1）根据题意，由待定系数法即可得答案；
（2）结合（1）得，由指数函数性质即可得答案.
【详解】解：因为函数的图象经过点，
所以．
由得，
因为函数在上是减函数，
所以当时，函数取最大值2，
故，
所以函数
故函数的值域为．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，指数函数性质求值域，考查运算能力，是基础题.
答案第1页，共2页
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