一、单选题
1.已知,,则a、b、c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a
2.已知函数,则不等式的解集是( ).
A. B.
C. D.
3.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=,则当x<0时,f(x)=
A. B.
C. D.
4.如图所示:曲线,,和分别是指数函数,, 和 的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5.函数f(x)=的值域是( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞)
6.计算的值为( )
A. B. C. D.2
7.若函数的值域为,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知集合,,则=( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.下列函数在是增函数的是( )
A. B.
C. D.
10.下列运算结果中,一定正确的是
A. B. C. D.
11.设函数和,若两函数在区间上的单调性相同,则把区间叫作的“稳定区间”,已知区间为函数的“稳定区间”,则实数的可能取值是( )
A. B. C.0 D.
12.已知函数,则下列结论中错误的是( )
A.的值域为 B.的图象与直线有两个交点
C.是单调函数 D.是偶函数
三、填空题
13.设,则___________.
14.已知实数且,,则__________;
15.已知,为正数,化简_______.
16.已知函数是偶函数,则______.
四、解答题
17.设,,求证:
(1);
(2);
(3).
18.计算或化简:
(1)-10+;
(2)·.
19.已知函数的图像经过点,
(1)求值;
(2)求函数的值域;
20.已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断函数的单调性并证明.
21.已知定义在上的函数为偶函数.
(1)求的值,并判断在上单调性(只作判断,不用说明理由);
(2)若,求的范围.
22.已知函数的图象经过点,其中且.
(1)求a的值
(2)求函数的值域.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.C
【分析】根据给定条件,利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数是定义域R上的单调减函数,且,则,即,
又函数 在上单调递增,且,于是得,即,
所以a、b、c的大小关系为.
故选:C
2.D
【分析】作出函数和的图象,观察图象可得结果.
【详解】因为,所以等价于,
在同一直角坐标系中作出和的图象如图:
两函数图象的交点坐标为,
不等式的解为或.
所以不等式的解集为:.
故选:D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式,属于基础题.
3.D
【分析】先把x<0,转化为-x>0,代入可得,结合奇偶性可得.
【详解】是奇函数, 时,.
当时,,,得.故选D.
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式,渗透了数学抽象和数学运算素养.采取代换法,利用转化与化归的思想解题.
4.D
【分析】先根据指数函数的单调性,确定a,b,c,d与1的关系,再由时,函数值的大小判断.
【详解】因为当底数大于1时,指数函数是定义域上的增函数,
当底数小于1时,指数函数是定义域上的减函数,
所以c,d大于1,a,b小于1,
由图知: ,即, ,即 ,
所以,
故选:D
5.B
【分析】根据的范围,利用不等式法,即可求得函数值域.
【详解】∵3x+1>1,∴0<<1,
∴函数的值域为(0,1).
故选:.
【点睛】本题考查利用不等式法求指数型复合函数值域的求解,属基础题.
6.B
【分析】利用指数幂和根式进行化简得出答案.
【详解】原式==e,
故选:B
【点睛】本题考查指数的运算,考查学生计算能力,属于基础题.
7.B
【分析】分段求解指数函数的值域,结合已知条件,即可容易求得参数范围.
【详解】当时,
当时,
函数的值域为
,即
故选:B
【点睛】本题考查由分段函数的值域求参数范围,涉及指数函数值域的求解,属综合基础题.
8.C
【分析】由题可得,集合B为正整数集,从而与集合A求交集可得结果.
【详解】解:时,恒成立,又,故集合B为正整数集
.
故选:C.
9.AB
【分析】利用函数单调性的性质可判断A,C;去绝对值写成分段函数的形式可判断B;由复合函数单调性可判断D,进而可得正确选项.
【详解】对于A:因为定义域为,且为增函数,为减函数,所以在和单调递增,所以在是增函数,故选项A正确;
对于B: ,所以在单调递减,在单调递增,
所以在是增函数,所以选项B正确;
对于C:定义域为,因为为增函数,为减函数,为减函数,所以在为增函数,故选项C不正确;
对于D:是由和复合而成,因为为减函数,在单调递减,在单调递增,所以在单调递增,在单调递减,故选项D不正确;
故选:AB.
10.AD
【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算.
【详解】解:选项,正确;
选项,错误;
选项当时,,当时,,错误;
选项,正确.
故选:.
【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算,属于基础题.
11.AB
【分析】首先求函数,根据两个函数同为增函数或同为减函数,确定绝对值里面的正负,根据恒成立求的取值范围.
【详解】解:因为,则,
由题意得与在区间上同增或同减.
若同增,则在区间上恒成立,即,所以.
若同减,则在区间上恒成立,即,无解,
综上,实数的取值范围是,所以A,B选项符合题意.
故选:AB.
12.ACD
【分析】利用指数函数、幂函数的性质画出的图象,由图象逐一判断即可.
【详解】函数的图象如图所示,由图可知的值域为,结论A错误,结论C,D显然错误,的图象与直线有两个交点,结论B正确.
故选:ACD
13.4
【分析】由根式与有理数指数幂的关系,结合指数幂的运算性质,求值即可.
【详解】由.
故答案为:4.
14.
【分析】根据指数幂的运算法则计算可得;
【详解】解:因为
所以
故答案为:
15.
【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.
【详解】原式.
故答案为:.
16.1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为,故,
因为为偶函数,故,
时,整理得到,
故,
故答案为:1
17.(1)证明见详解;(2)证明见详解;(3)证明见详解.
【分析】(1)根据指数幂的运算可证;
(2)根据指数幂的运算可证;
(3)根据指数幂的运算可证.
【详解】(1);
(2),又,;
(3),又
.
18.(1)-;(2)
【分析】(1)结合指数的运算公式化简整理即可;
(2)根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果.
【详解】(1)原式
;
(2)原式
.
19.(1);(2).
【分析】(1)函数的图像经过点,得到,即可求解;
(2)由(1)得到,根据函数的单调性,得到,进而求得函数的值域.
【详解】(1)由函数的图像经过点,可得,解得.
(2)由(1)可知,
因为,所以在上单调递减,则在时有最大值,
所以,
因为,所以函数的值域为.
20.(1)1
(2)在上为减函数,证明见解析
【分析】(1)根据奇函数的性质可得,即可求出的值,再根据奇函数的定义检验即可;
(2)根据指数型复合函数的单调性判断,再利用定义法证明即可;
(1)
解:由为定义在上奇函数可知,解得.
经检验,此时对任意的都有
故.
(2)
解:由递增,可知在上为减函数,
证明如下:
对于任意实数,,不妨设,
则.
∵单调递增,且,
∴即,,,
∴,∴,
故在上为减函数.
21.(1),在上单调递减
(2)或.
【分析】(1)依题意可得,即可求出参数的值,即可得到的解析式,再根据偶函数的定义检验即可,最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性;
(2)根据函数的奇偶性与单调性得到,将两边平方,解一元二次不等式,即可得解;
(1)
解:因为函数的定义域是为,且函数为偶函数,
则,即,所以.
所以,则,
经检验,时,为偶函数,符合题意.
因为,令、、,
因为在上单调递增,且,
又对勾函数在上单调递增,
所以在上单调递增,
而在上单调递减,所以在上单调递减,
即在上单调递减;
(2)
解:因为,则
又因为在上单调递减,所以,即
解得或.
22.(1);(2).
【解析】(1)根据题意,由待定系数法即可得答案;
(2)结合(1)得,由指数函数性质即可得答案.
【详解】解:因为函数的图象经过点,
所以.
由得,
因为函数在上是减函数,
所以当时,函数取最大值2,
故,
所以函数
故函数的值域为.
【点睛】本题考查待定系数法求解析式,指数函数性质求值域,考查运算能力,是基础题.
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