2022-2023高一数学期末章节复习——函数应用2（北师大版2019）（含解析）

一、单选题
1．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
2．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
3．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
4．已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是（ ）
A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）
5．如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S=f(x)的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
7．2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
8．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年.至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参考数据：，，）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数（，且）有两个零点，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
11．已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
12．给定函数（ ）
A．的图像关于原点对称 B．的值域是
C．在区间上是增函数 D．有三个零点
三、填空题
13．设函数的定义域为R，满足，且当时，，则当时，方程的解集为______．
14．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．
15．函数的零点是_______.
16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.
（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元.
四、解答题
17．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝，这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼蓝覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼蓝覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼蓝覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
18．近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.
19．阅读材料
求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令．因为，，所以设，．
第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求；
若否，则继续判断大于0还是小于0．
第三步：若，则；否则，令．
第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．
方法二：考虑的一种等价形式
变形如下：，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值
(1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；
(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）．
20．已知函数，k∈R．
(1)若为偶函数，求k的值；
(2)若有且仅有一个零点，求k的取值范围；
(3)求在区间[0,2]上的最大值．
21．已知函数．
(1)用单调性的定义证明：在定义域上是减函数；
(2)证明：有零点；
(3)设的零点在区间内，求正整数n．
22．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品(百台)，其总成本为万元，其中固定成本为万元，并且每生产台的生产成本为万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入满足，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增，
所以当时，取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，结合一次函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
2．D
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
3．C
【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，
故不能用二分法求零点；
对于D，f(x)＝ln x在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
故选：C．
4．D
【分析】根据题意得模式A：，模式B：，其中p为初始电量，再根据题意列不等式求解即可.
【详解】解：模式A：，模式B：，其中p为初始电量.
A模式用了m小时，电量为，
m小时后B模式用了小时，
∴
，令，∴，
∴，
因为，，
∴，∴
故选：D
5．D
【分析】根据给定信息求出函数f(x)的解析式，再借助解析式即可选择图象.
【详解】依题意：P点在BC上时，，，P点在CD上时，，，
P点在DA上时，，，
于是得，函数f(x)的图象是三条线段组成的折线，只有选项D符合.
故选：D
6．D
【分析】由题意可得a＝x－(x＞0), 令g(x)＝x－，求出g(x)的值域为(－1，＋∞)即得解.
【详解】由题意可得a＝x－(x＞0).
令g(x)＝x－，
因为都是增函数，
所以该函数在(0，＋∞)上为增函数（增函数+增函数=增函数），
所以，
可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，
故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．B
【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.
【详解】因为当时，，
所以，
由，
得，
所以，
解得（吨），
即至少约为吨.
故选：B
8．C
【分析】首先建立生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式，根据的值结合参考数据求得.
【详解】每经过5730年衰减为原来的一半，
生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为.
现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，
由题意可得，.
因为，所以.
故选：C
9．ABD
【分析】令可得、为的两个零点，讨论、，结合指数的性质判断各项的正误.
【详解】令，则或，
所以、为的两个零点；
当时，，则，，B、D正确；
当时，，则，但不一定成立，A正确，C错误；
故选：ABD
10．ACD
【分析】甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；设的坐标为，由题得，则有，解可得，所以选项C正确；当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
【详解】根据题意，甲一共加工的时间为分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，
设的坐标为，
在区间和，20 上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，
则有，
在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，
则，
则有，解可得；
即点的坐标是，所以选项C正确；
由题得乙每分钟加工的零件数为个，
所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；
当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
故选：ACD
11．BCD
【分析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.
【详解】根据题意，作出的图像如下所示：
令，得，
所以要使函数有且只有两个不同的零点，
所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，
根据图形可得实数的取值范围为，
故选：．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
12．AB
【分析】对于A：由函数的定义域为R，，可判断；
对于B：当时，，当时，，由或，可判断；
对于C：由在单调递增可判断；
对于D：令，解方程可判断.
【详解】解：对于A：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以的图像关于原点对称，故A正确；
对于B：当时，，
当时，，又或，所以或，
综上得的值域为，故B正确；
对于C：因为在单调递增，所以由B选项解析得， 在区间上是减函数，故C不正确；
对于D：令，即，解得，故D不正确，
故选：AB.
13．
【分析】由可知，函数的图像每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，画出函数的大致图像，由图像可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，当时，可求得，令即可求出另外2个零点．
【详解】由可知，函数的图像每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，
当时，，
作出函数的大致图像，如图所示：
当时，函数的零点，即方程的根，
由图像可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，
当时，则，
，
又，，即，
，即，
令得，解得，
当时，函数的零点是3，，．
故答案为：．
14．0.021
【分析】该生在5min内能够记忆20个单词，将，带入即可得出结论.
【详解】由题意可知，
所以，，
所以，
解得．
故答案为：0.021.
15．
【解析】把化为关于的二次方程，求出的值，再取对数即可.
【详解】解：，即，，
因为，所以，
对两边取以3为底的对数得，，
故答案为：
【点睛】思路点睛：含有指数函数的二次函数型的函数的零点的求法一般是化为关于某个指数函数的二次方程，解二次方程求出指数函数的值，再取对数即可.
16．700
【分析】根据方案一先判断出两次实际付款元与元对应的原价，然后根据两次的原价可计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节省的钱.
【详解】因为且，所以实际付款元对应的原价为元，
又因为，所以实际付款元对应的原价大于元，
设实际付款元对应的原价为元，
所以，解得，
所以两次付款的原价之和为：元，
若按方案二付款，则实际付款为：元，
所以节省的钱为：元，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过两次实际的付款去计算原价，其中要注意根据实际付款的金额先判断购买农资金额的范围，然后再根据优惠政策去计算.
17．(1)选择较为合适；
(2)6月
【分析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.
（2）根据选择的函数模型可求最小月份.
【详解】（1）指数函数随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选择较为合适.
故，故，.
所以.
（2）由（1），放入面积为，令，
则，
故凤眼蓝覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份为6月.
18．(1)；
(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.
【分析】（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式；
（2）根据（1）求出利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，
当时，
当时，
，
所以.
（2）当时，，
此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
所以当时，（万元）；
当时，，
因为，
当且仅当即时，等号成立，
即当时，（万元），
综上可得，当时，取得最大值为（万元），
即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.
19．(1)的近似值见解析；方法二的迭代速度更快，理由见解析.
(2)选择方法二进行计算，的近似值为2.236
【分析】（1）按照方法一和方法二进行迭代求解，求出相应的近似值；（2）结合第一问作出的判断，选择方法二进行迭代求解.
（1）
，，，则，所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，
则之间的任意值均为满足条件的近似值，其中，
取可取1.414
方法二：，，1，2，…，
不妨取，则，
，
，
其中，
显然，方法二的迭代速度更快
（2）
考虑的一种等价形式，
，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
则，，1，2，…，
计算过程如下：，
，
.
20．(1)；
(2)；
(3)当时最大值为；当时最大值为0.
【分析】（1）由为偶函数有，即可求k的值；
（2）由题意有且仅有一个解，显然x＝1是该方程的解．则(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，从而求得实数k的取值范围；
（3）当x∈[0,2]时求出的分段函数的形式，其最大值只可能是其中之一，再由，可得函数的最大值．
(1)
∵为偶函数，
∴，即，解得k＝0，经检验k＝0符合题意；
(2)
由题意得，方程有且仅有一个解，显然，x＝1已是该方程的解，
当x≥1时，方程化为；当x＜1时，方程化为；
∴(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，
又x＝1时，k＝2，此时x＝3也是方程的解，不合题意，
∴关于x的方程(x≥1)、(x＜1)均无解，可得k＜2且k≤2，
综上，k≤2，即实数k的取值范围为(∞,2]．
(3)
当x∈[0,2]时，，
∵在 [0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，
∴最大值只可能是其中之一，
又，，，显然，
∴当k＜3时，所求最大值为；当k≥3时，所求最大值为．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)10
【分析】（1）设，则结合对数的运算法则可证得，则，由此可得证.
（2）结合函数的解析式有，，且在区间上连续不断，由零点存在定理可得证.
（3）结合函数的解析式可得，由此可得答案.
（1）
因为的定义域为，设，是内的任意两个不相等的实数，且，则，
因为，，
所以，，
所以，
故在定义域上是减函数．
（2）
因为，，
所以，
所以有零点．
（3）
，
，
所以，
又在上为减函数，
所以的零点在区间内，故n＝10．
22．(1)
(2)当工厂生产万台产品时，盈利最多，元台
【分析】依题意表示出利润函数
(1)要使工厂有盈利，即解不等式即可； (2)利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）依题意，，设利润函数为，则
要使工厂有盈利，即解不等式，当时，
解不等式．即．
．
当时，解不等式，得．
．
综上，要使工厂盈利，应满足，
即产品应控制在大于台，小于台的范围内．
（2）时，，
故当时，有最大值．
而当时，所以，当工厂生产万台产品时，盈利最多．
又时，(元台)，故此时每台产品售价为(元台)．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页