2022-2023高一数学期末章节复习——函数应用1（北师大版2019）（含解析）

一、单选题
1．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）
A．25天 B．30天 C．35天 D．40天
2．中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是℃，环境温度是℃，则经过分钟后物体的温度℃将满足，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：，)
A．3 B．3.6 C．4 D．4.8
3．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．某工厂使用过滤仪器过滤排放的废气，过滤过程中体积一定的废气中的污染物浓度与过滤时间之间的关系式为（，k为常数），且根据以往的经验，前2个小时的过滤能够消除的污染物.现有如下说法：①；②经过1个小时的过滤后，能够消除的污染物；③经过5个小时的过滤后，废气中剩余的污染物低于原来的.则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
6．已知函数的零点为，不等式的最小整数解为k，则k＝（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
7．函数的零点个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内 B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.5
10．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（ ）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
11．如图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为且，．则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则
12．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
-3.25 -7.9 2 4.16 -1 9.8
设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为________.
14．函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.
15．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区．已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是___________h(车身长度不计)．
16．在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）
四、解答题
17．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
18．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为产量的函数.
（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；
（3）产量为多少时，企业所得利润最大？
19．《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率%
不超过1500元的部分 3
超过1500元至4500元部分 10
（1）列出公民全月工资总额x(0（2）刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？
20．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
21．（1）关于的二次方程有两正实数根，求实数的取值范围；
（2）已知与是实系数方程的两个实根，求的最小值．
22．2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.
【详解】依题意，，解得，当时，，
即，解得，于是得，解得，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
故选：B
2．B
【分析】根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，＝100℃，＝20℃代入即可求得t的值.
【详解】由题可知：，
冲泡绿茶时水温为80℃，
故
.
故选：B.
3．D
【解析】依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，画出函数图象如下所示，
函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，
故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．B
【分析】利用时来求得的值，进而判断出三个说法的正确性.
【详解】初始状态下，，，即废气中的污染物浓度为，
则时，，则，解得，故①错误；
当时，，此时消除的污染物为原来的，故②错误；
当时，，故③正确.
故选：B
5．B
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
故选：B
6．A
【分析】方法一：由函数单调性，结合函数零点存在性定理得到的零点满足，求出，求出最小整数解；
方法二：数形结合求出零点所在区间，从而求出，求出最小整数解.
【详解】方法一：
∵函数为R上的增函数，，，
∴函数的零点满足，
∴，
∴的最小整数解k＝8.
方法二：已知函数的零点即为函数的图象与的图象交点的横坐标，
通过图象可看出函数的零点所在的区间为(1,2)，
∴，
∴的最小整数解k＝8.
故选：A.
7．B
【分析】令，即可得到，则函数的零点个数转化为函数与的交点个数，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】解：由题意，令，即，
则函数的零点个数，等价于两个函数与的交点个数，
与两函数的图象如下图所示：
由图知，两个函数有个交点，故函数的零点个数是.
故选：B．
8．D
【分析】函数在上是连续增函数，根据，根据零点存在定理可得零点所在的大致区间．
【详解】解：对于函数在上是连续增函数，
由于，，
所以，
根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
9．BC
【分析】根据二分法基本原理判断即可.
【详解】解：易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．
故选：BC.
10．BD
【分析】由，求出函数模型，判断选项A、B；
对于C、D：直接由得到的函数模型代入判断即可.
【详解】当时，代入得：，代入得：.
故选择函数模型②.A错误；B正确.
对于C：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C错误；
对于D：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D正确.
故选：BD
11．BCD
【分析】由题意结合函数图象可得，进而可得；由函数图象的类型可判断A；代入可判断B；代入、可判断C；代入、、，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.
【详解】由题意可知，函数过点和点，则，
解得（负值舍去），
函数关系式为，
对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；
对于B，当时，，故选项B正确；
对于C，令得；令得，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项C正确；
对于D，令得；令得；令得；
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.
12．BD
【分析】利用偶函数与存在零点两个条件逐一判断各选项即可得解.
【详解】对于A，函数定义域为，该函数不是偶函数，A不是；
对于B，函数是R上的偶函数，由得或，即该函数有两个零点，B是；
对于C，函数是R上的奇函数，C不是；
对于D，是R上的偶函数，由得或，即该函数有两个零点，D是.
故选：BD
13．3
【分析】根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数．
【详解】解：由题意，因为，，，
所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点，
故函数在区间上的零点至少有3个，即的最小值为3，
故答案为：3．
14．（答案不唯一）
【分析】由题中命题为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，进而举例即可.
【详解】函数的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，所以满足题意的函数解析式可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．12
【分析】最少时间相当于最后一辆车行驶了km所用的时间，然后由基本不等式得最小值．
【详解】解：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了km所用的时间，
因此t＝＝＋≥12，当且仅当＝，即v＝时取等号．
故这些汽车以km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h．
故答案为：12．
16．或或或(写一个即可)．
【分析】根据二分法的概念，可求得结果．
【详解】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是，；第三次所取区间可能是，，，．
故答案为：或或或(写一个即可)．
17．（1）（2）42h
【分析】（1）根据题意，得到，求解，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，得到，由题意得到，求解，即可得出结果.
【详解】（1）由已知得，当时，；当时，.
于是有，解得（或）.
（2）由（1）知，当时，有，
解得.
故污染物减少到40%至少需要42h.
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.
18．（1）；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.
【分析】（1）依题意对与分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；
（2）要使企业不亏本，则，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；
（3）根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：（1）设利润为y万元，当时，，当时，
综上可得 ；
（2）要使企业不亏本，则.
即或
得或，即.
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.
（3）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大.
19．（1）；（2）7550元.
【分析】(1)根据给定条件分段求出应缴纳税款额y元的表达式即可；
(2)判断当月工资总额所在区间，再列式即可得解.
【详解】(1)依题意，当0当3500当5000综上可得y=；
(2)由(1)知，当0因缴纳个人所得税款300元，则有5000于是得300=0.1x-455，解得x=7550，
所以刘丽十二月份工资总额为7550元.
20．(1)(2)
【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
21．（1）；（2）．
【分析】（1）根据关于的二次方程有两正实数根，由求解；
（2）根据与是实系数方程的两个实根，得到，，再由求解.
【详解】（1）因为关于的二次方程有两正实数根，
所以，即，
解得；
（2）因为与是实系数方程的两个实根，
所以，，
所以
由，得或．
所以当或时，.
22．(1)；
(2)万件时最大利润为18万元.
【分析】（1）由题意，结合已知函数写出解析式；
（2）根据二次函数、对勾函数分别求出、上对应的利润最大值，比较它们的大小，即可确定最大年利润及对应的年产量.
（1）
由题设，，
所以.
（2）
当时，
故时最大利润为12万元；
当时，
当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；
综上，当万件时最大利润为18万元.
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