第二章 有理数及其运算 单元检测卷（含解析）

七年级上册数学第二章 有理数及其运算
一、单选题
1．如果a+b＜0，并且ab＞0，那么（ ）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0
2．下列说法正确的个数是（ ）
①是绝对值最小的有理数； ②一个有理数不是正数就是负数；
③数轴上原点两侧的数互为相反数； ④两个数比较，绝对值大的反而小；
⑤一个有理数不是整数就是分数； ⑥相反数大于本身的数是负数．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法正确的是（ ）．
A．所有的整数都是正数
B．不是正数的数一定是负数
C．0不是最小的有理数
D．正有理数包括整数和分数
4．大米包装袋上的标识表示此袋大米重( )
A． B． C． D．
5．点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
6．数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移个单位长度得到点．则点表示的数是（ ）
A． B．或
C． D．或
7．如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
8．若，则m，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组数中，不相等的是（　　）
A．（﹣3）2与32 B．（﹣2）3与﹣23
C．|﹣2|3与|﹣23| D．（﹣3）2与﹣32
10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
11．绝对值小于4的所有整数的积为___________．
12．平方等于16的数是______.
13．若代数式1﹣8x与9x﹣3的值互为相反数，则x＝_____．
14．若|x|＝4，|y|＝5，则x－y的值为____________．
15．若“方框”表示运算x﹣y+z+w，则“方框”的运算结果是＝_____．
16．若规定运算符号“★”具有性质：a★b＝a2﹣ab．例如（﹣1）★2＝（﹣1）2﹣（﹣1）×2＝3，则1★（﹣2）＝_____．
17．填在下面各正方形中四个数之间都是相同的规律，根据这种规律，图中m的值应为______．
三、解答题
18．计算：．
19．计算
（1） （2）
（4）．
20．计算：（1）.
（2）；
（3）.
21．计算：
（1）；
（2）．
22．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求m2﹣cd+的值．
23．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：+9、-4、-5、+4、-8、+6、-3、-7、-4、+10.
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
24．“十一”黄金周期间，某市风景区在天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：
日期 日 日 日 日 日 日 日
人数变化（单位：万人）
已知月日的游客人数为万人，请回答下列问题：
七天内游客人数最多的是哪天，最少的是哪天？它们相差多少万人？
求这天的游客总人数是多少万人．
25．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +4 -3 -5 +14 -8 +21 -6
（1）根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车______辆．
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______辆．
（3）该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？
26．我们知道：，，┅┅
那么反过来也成立．如：，┅┅
则计算：①┅┅
②┅┅．
27．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
（1）求阴影部分的面积是多少．
（2）计算：．
28．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是　 　；
(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为　 　；
(3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
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参考答案：
1．A
【分析】根据，利用同号得正，异号得负可得a与b同号，再根据即可得．
【详解】∵，
∴a与b同号，
又∵，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．C
【分析】根据题目中给出的信息，对错误的举出反例即可解答本题．
【详解】0是绝对值最小的有理数，故①正确；
正数、0和负数统称为有理数，故②错误；
5和-3在原点两侧，而5和-3不是相反数，故③错误；
8的绝对值大于6的绝对值，而8大于6，故④错误；
整数和分数统称为有理数，故⑤正确；
相反数大于本身的数是负数，故⑥正确．
故选C．
【点睛】本题考查了数轴、有理数、相反数的知识点，解题的关键是能将错误的举出反例．
3．C
【详解】 A．所有整数都是正数，-1是整数但不是正数，故本选项错误；
B．不是正数的数一定是负数，0既不是正数，也不是负数，故本选项错误；
C．0不是最小的有理数，没有最小的有理数，故本选项正确；
D．正有理数包括整数和分数，有理数可以分为分数和整数，故本选项错误；
故选C
4．A
【分析】根据大米包装袋上的质量标识为“10±0.1”kg，可以求得合格的波动范围，从而可以解答本题．
【详解】+0.1表示比标准10千克超出0.1千克；－0.1表示比标准10千克不足0.1千克，所以此袋大米重 ，
故选A．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确题意，明确正数和负数在题目中的实际意义．
5．A
【分析】根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可．
【详解】解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2
所以a的值为1或-2．
故答案为A．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
6．D
【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【详解】解：点A表示的数是 3，左移7个单位，得 3 7＝ 10，
点A表示的数是 3，右移7个单位，得 3＋7＝4，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．
7．C
【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．
【详解】解：∵点A、B表示的数互为相反数，AB=6
∴原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3，点A对应的数为-3，
又∵BC=2，点C在点B的左边，
∴点C对应的数是1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．
8．C
【分析】本题可采用取特殊值的方法．由于﹣1＜m＜0，可设m，然后代入m、m2、中分别计算，然后进行比较即可．
【详解】根据﹣1＜m＜0，可设m=，代入可得：
m，m2，．
即可得．
故选C．
【点睛】本题为简单的有理数比较大小的题目，将满足条件的数字代入即可．
9．D
【分析】根据乘方运算法则逐个分析即可.
【详解】因为（﹣3）2=9=32=9;（﹣2）3=﹣23=-8;
|﹣2|3与|﹣23|=8；（﹣3）2=9≠﹣32=-9；
所以选项D符合条件.
故选D
【点睛】本题考核知识点：乘方.解题关键点：理解乘方的意义.
10．A
【分析】首先计算绝对值的大小，再计算加法，关键注意a、b、c的大小.
【详解】解： ，
，
，
故选A.
【点睛】本题主要考查对数轴的理解，数轴上点的计算，注意绝对值都是大于零的.
11．0
【分析】找到绝对值小于4的数，然后乘起来即可．
【详解】解：绝对值小于4的所有整数有
-3、-2、-1、0、1、2、3
所有整数乘积为0，因为有0在其中．
【点睛】本题考查绝对值，关键在于找出符合绝对值的值．
12．
【分析】根据平方运算的概念，即可求解.
【详解】∵，∴平方等于16的数是.
【点睛】掌握平方运算的反则，是解题的关键.
13．2
【分析】由互为相反数两数之和为0列出方程1﹣8x+9x﹣3＝0，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：1﹣8x+9x﹣3＝0，
移项合并得：x＝2，
故答案为2
【点睛】此题考查代数式求值，相反数，解题关键在于利用其性质列出方程.
14．±1，±9
【分析】利用绝对值的代数意义确定出x与y的值，即可求出x-y的值．
【详解】∵|x|＝4，|y|＝5，
∴x=4或-4，y=5或-5，
当x=4，y=5时，x-y=-1，
当x=4，y=-5时，x-y=9，
当x=-4，y=5时，x-y=-9，
当x=-4，y=-5时，x-y=1，
故答案为±1，±9.
【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是分类讨论，以免漏解．
15．-8
【详解】根据方框定义的运算得，-2-3+(-6）+3=-8.
故答案为：-8.
16．
【分析】根据规定运算法则，分别把a、b换成1、-2，然后进行计算即可求解．
【详解】根据题意，1★（-2）＝12 1×（-2）＝1-（-2）＝3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算问题，根据规定新运算代入进行计算即可，比较简单．
17．184
【分析】根据题意得到左下角的数与右上角的数的乘积减去左上角的数等于右下角的数，且左下角的数比左上角的数多2，右上角的数比左上角的数多4，即可求解．
【详解】解：根据题意得：第1个正方形中3×5-1=14；
第2个正方形中5×7-3=32；
第3个正方形中7×9-5=58；
……
左下角的数与右上角的数的乘积减去左上角的数等于右下角的数，且左下角的数比左上角的数多2，右上角的数比左上角的数多4，
∴m=（11+2）×（11+4）-11=184．
故答案为：184
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
18．
【分析】先乘方运算，再乘法运算，最后加减运算即可得到结果．
【详解】
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（1）﹣115；（2）-20；（3）﹣18；（4）﹣6．
【详解】试题分析：（1）先将带分数转化为假分数，然后计算乘法，最后再计算加法即可；
（2）先计算乘方，然后计算除法和乘法，最后计算加减即可；
（3）先利用乘法的分配率进行计算，最后把所得的积相加即可；
（4）先算两个乘方，然后再算小括号内的，其次再算乘法，最后计算加减．
试题解析：
解：（1）原式＝﹣54×﹣×＝﹣114﹣1＝﹣115；
（2）原式＝-10＋2﹣12＝-20；
（3）原式＝﹣12﹣20＋14＝﹣18；
（4）原式＝﹣8﹣××（﹣7）＝﹣8＋＝﹣6．
20．（1）（2）2（3）3
【分析】（1）首先计算乘方、绝对值，然后计算乘法、最后计算加减即可求解；
（2）首先计算乘方，然后计算乘除法、最后计算加减即可求解；
（3）首先计算小括号里面和乘方，然后计算乘法即可求解．
【详解】解：（1）
=
=
= ；
（2）
=
=
=2；
（3）
=
=3．
故答案为（1） ；（2）2；（3）3．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（1）；（2）．
【分析】（1）先算乘方，再算括号内的加减，最后算乘法；
（2）先算乘方，再算除法并去绝对值及小括号，最后算加减.
【详解】解：（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
22．3
【分析】根据相反数性质、倒数定义和绝对值的性质得出a+b=0、cd=1，m=2或m=-2，代入计算可得．
【详解】根据题意知a+b=0、cd=1，m=2或m=-2，
原式=
=4-1
=3
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握相反数性质、倒数定义和绝对值的性质及有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键
23．（1）出租车离鼓楼出发点2km远，在鼓楼的正西方向；（2）144元.
【分析】（1）将题中的数据相加，根据计算结果结合规定的正、负的意义即可解答；
（2）将题中数据的绝对值相加，所得的和乘以2.4即得结果.
【详解】解：（1）+9－4－5+4－8+6－3－7－4+10=－2.
所以出租车离鼓楼出发点2km远，在鼓楼的正西方向；
（2）司机一个下午的营业额是：元.
【点睛】本题主要考查了正负数在实际中的应用和有理数的加法，属于基础题型，理解题意、正确列出算式是关键.
24．(1) 10月3号游客人数最多，10月7号游客人数最少，它们相差2.2万人；（2）这天的游客总人数是万人．
【分析】（1）根据表格所给数据分别求出这7天的游客人数，可得到10月3日人数最多，10月7日人数最少，用10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数；
（2）把（1）中得到的7天的人数相加即可求得游客总人数.
【详解】(1) 若9月30号游客人数是2万人，
则10月1号游客人数：2+1.6=3.6，
10月2号游客人数：2+1.6+0.8=4.4，
10月3号游客人数：2+2.4+0.4=4.8，
10月4号游客人数：2+2.8+(-0.4)=4.4，
10月5号游客人数：2+2.4+(-0.8)=3.6，
10月6号游客人数：2+1.6+0.2=3.8，
10月7号游客人数：2+1.8+(-1.2)=2.6，
所以10月3号游客人数最多，10月7号游客人数最少，
4.8-2.6=2.2万，
它们相差2.2万人；
（2）3.6+4.4+4.8+4.4+3.6+3.8+2.6=27.2万人，
答：这天的游客总人数是万人．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，以及正负数表示相反意义的量等知识，解题的关键是弄清题意，正确列出式子.
25．（1）296；（2）29；（3）该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元.
【分析】（1）将前三天销售量相加计算即可；
（2）用销售量最多的一天减去销售量最少的一天计算即可；
（3）用销售应得的工资，加上超过部分的奖金，减去不足部分的罚款即可得到工资总额.
【详解】（1）由题意得：4-3-5+300=296（辆），
故前三天共销售该品牌儿童滑板车296辆；
（2）由题意得：+21-（-8）=21+8=29（辆），
故销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29辆；
（3）（元），
答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元.
【点睛】本题考查的是有理数混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则，列出正确的式子是解题的关键.
26．①；；
【分析】①首先把每个加数分成两个分数的差的形式，然后应用加法结合律，求出算式┅┅的值是多少即可．
②首先把每个加数分成两个分数的差的形式，然后应用加法结合律，求出算式┅┅的值是多少即可．
【详解】①┅┅，
，
，
；
┅┅，
，
，
.
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算---数字的变化规律，根据题意得出连续整数积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键．
27．(1);(2)
【分析】（1）观察图形发现部分①的面积为：，部分②的面积为：，…，阴影部分的面积为，据此规律解答即可．
（2）用正方形的面积减去最后一个分数的面积即可求解.
【详解】（1）∵观察图形发现部分①的面积为：，部分②的面积为：，…，阴影部分的面积是；
（2）．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．
28．(1)4，
(2)或
(3)有最小值，6
【分析】（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义，即可得解．
（1）
解：，
故答案为：4，．
（2）
解：∵
∴或，
故答案为：或．
（3）
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到﹣2及到4的距离之和，所以当时，它的最小值为6．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．