人教A版数学选修2-3 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 课件（44张PPT）

(共44张PPT)
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．通过实例总结出分类加法计数原理，理解分类加法计数原理；
2．通过实例总结出分步乘法计数原理，理解分步乘法计数原理；
3．能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决解决一些简单的实际问题．
学习目标
重点：归纳的得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，
能运用它们解决简单的实际问题;
难点：正确的理解“完成一件事”的含义；根据实际问题
的特征，正确的区分“分类”或“分布”.
思考1
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
26+10=36
探究新知
完成一件事
（给座位编号）
你能说说这个问题的特征吗？
最重要的特征是“或”字的出现
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．
探究新知
注意：类类独立，不重不漏
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车,有4种方法;
第二类方法, 乘汽车,有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法
思考2
探究新知
二、分类加法计数原理的推广
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加.
说明
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
探究新知
例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
化学
医学
物理学
工程学
数学
会计学
信息技术学
法学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择
根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9
典型例题
小试牛刀
第一个数 第二个数 有几种
第一类 1 10 1
第二类 2 10、9 2
第三类 3 10、9、8 3
第四类 4 10、9、8、7 4
第五类 5 10、9、8、7、6 5
第六类 6 10、9、8、7 4
第七类 7 10、9、8 3
第八类 8 10、9 2
第九类 9 10 1
从1~10中每次取两个不同的数相加，和大于10的
共有多少种取法？
根据第一个数的大小，将和大于10的取法分为9类
共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10
用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
思考3
　分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码。
探究新知
你能说说这个问题的特征吗？
最重要的特征是“和”字的出现
字母　　　　　数字　　　　　得到的号码
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
树形图
探究新知
如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法
A村
B村
C村
北
南
中
北
南
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有3种方法,
所以从A村经 B村去C村共有3 ×2 = 6种不同的方法
思考4
三、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．
探究新知
四、分类计数乘法原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
m1×m2×…×mn
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”
区别1
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
区别2
区别3
每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
探究新知
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码
05798415
10
10
10
10
×
×
×
=104
分析:
=5040
10
9
8
7
×
×
×
典型例题
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法
N＝4＋3+2＝9
N＝4 ×3×2＝24
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
典型例题
例5.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
典型例题
解：分两步完成：
第一步：从3幅不同的画中选出1幅挂在左墙上，
有3种选法；
第二步：从剩下的2幅画中选出一幅挂在右墙上，
有2种选法；
根据分布计数原理，不同的挂法种数是：N=32=6
思考：还有其他解答本题的方法吗？
先3幅不同的画中选出2幅，共有3种不同的选法；
再挂在左右两边的墙上，共有2种不同的挂法.
例5变式.要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
典型例题
解：分两步完成：
第一步：从5幅不同的画中选出1幅挂在左墙上，
有5种选法；
第二步：从剩下的4幅画中选出一幅挂在右墙上，
有4种选法；
根据分布计数原理，不同的挂法种数是：N=54=20
典型例题
例6.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法，
答：最多可以给1053个程序命名。
　中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同
的选法
典型例题
例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
U
U
U
A
A
A
C
C
C
G
G
G
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据
第1位
第2位
第3位
第100位
4种
4种
4种
4种
……
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
种不同的RNA分子.
典型例题
例8.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
第1位
第2位
第3位
第8位
2种
2种
2种
2种
……
解（2）：由（1）知，用一个字节所能表
示的不同字符不够6763个，我们就考虑用
2个字节能够表示多少个字符.前一个字节有256种不同的表示方法，后一个字节
也有256种不同的表示方法.根据分布乘法计数原理，2个字节可以表示
个不同的字符，这已经大于汉字国际包含的汉字个数6763.
所以，要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示.
典型例题
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
例9.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组
成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，
以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第一步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.
解：（1）
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3*2=6.
如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常.
这样，测试整个模块的次数就变为
172+6=178（次）
2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：
18+45+28+38+43=172。
例9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照
典型例题
分析：按照新规定，牌照可以分为两类，即字母组
合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母组合在
左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：
第一步：从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；
第二步：从剩下的25个字母中选1个，放在第二位，有25种选法；
第三步：从剩下的24个字母中选1个，放在第二位，有24种选法；
第四步：从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；
第五步：从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；
第六步：从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法.
根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照个数为
同理，字母组合在右的牌照个数也为
所以，共能给辆汽车上牌照.
1.三个比赛项目，六人报名参加。
１）每人参加一项有多少种不同的方法？
２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？
３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？
小试牛刀
小试牛刀
2.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，
报名方法的种数为多少？如果他们争夺这四项比赛的冠军，
获得冠军的可能性有多少种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每
个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才算完成这
一事件，故报名方法种数为：种；
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中
一项的冠军，因此每个项目获冠军的可能性有5种，故有
种.
3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则xy可表示不同的值的个数是
(　　)
A．1＋1＝2　　　　　　　
B．1＋1＋1＝3
C．2×3＝6
D．3×3＝9
[答案]　D
小试牛刀
4．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示)
[答案]　48
[解析]　先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．
小试牛刀
5.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
甲地
丙地
丁地
乙地
N1=2×3=6
N2=4×2=8
N= N1+N2 =14
小试牛刀
能力提升
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字,
(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数
(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数
(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数
一、排数字问题
能力提升
1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种
引申:
１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。
能力提升
二、映射个数问题:
例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射
能力提升
三、染色问题:
例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法
(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n
① ③ ①
　 ④ ③ ④
② ②
(1) (2)
能力提升
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
能力提升
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
能力提升
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
思考：
能力提升
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。
A
B
C
D
分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，　A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。　第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C　有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理，　　　　共有5×4×3×2＝120种方法。　　　　　　　　
根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
　　　第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。
能力提升
４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答）
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有　　　N1=4×3×2×2×1=48种；
所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有　　　　　　　N2=4×3×2×2×1=48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种
解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看　　　知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求
能力提升
6、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有　　　　种（以数字作答）
42
5、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？
能力提升
四、子集问题
规律：n元集合 的不同子集有 个 。
例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为 ，真子集个数为 ，非空子集个数为 ，非空真子集个数为 。
能力提升
五、综合问题:
例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条
两个原理的联系与区别
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的 问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是 问题，其中各种方法 ，其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是 问题，各个步骤中的方法 ，只有各个步骤都完成才算完成这件事．
不同方法的种数
相互独立
分步
互相依存
分类
课堂总结
分类加法计数原理 分类乘法计数原理
联系
区别一
完成一件事情共有n类
办法，关键词是“分类”
完成一件事情,共分n个
步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能独立完成
这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。
区别三
各类办法是互斥的、
并列的、独立的
各步之间是相关联的
分类计数与分步计数原理的区别和联系：