2022-2023学年高二下学期数学人教A版选修2-31.3.1二项式定理课件（20张PPT）

(共20张PPT)
1.3.1 二项式定理
创设情境
不积跬步，无以至千里;
不积小流，无以成江海。
———荀子 ·《劝学篇》
释义：做事情不一点一点积累，就永远无法达成目的。
把自己的起始优秀值看成1，假设每天的努力能让自己变得比前一天优秀1%，对优秀值进行复利计算：
第1天努力后优秀值为________________;
第2天努力后优秀值为________________;
......
第30天努力后优秀值为________________;
模型建立
1+0.01
(1+0.01)2
(1+0.01)30
估算(1+0.01)30 的近似值(精确到0.1)
探究新知
艾萨克·牛顿（1643—1727,英国）被誉为人类历史上最伟大的科学家之一,不仅是伟大的物理学家、天文学家,而且还是伟大的数学家。1664年，年仅22岁的牛顿。在数学方面就有了第一项创造性成果，就是发现了二项式定理，又称牛顿二项式定理。
探究新知
②各项中a与b次数之和呈现什么规律
①在以上各展开式中各有多少项
③各项的系数是什么
重点关注
探究新知
在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2 的展开式，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
？
探究
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2
于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk (k＝0,1,2)的形式.
项的形式：
2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b（即都取a）的组合数 ，即a2只有1个；
由1个 (a+b) 中选a，另1个 (a+b) 中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取1个b的组合数 ，即ab共有2个.
由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此，b2出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取2个b的组合数 ，即b2只有1个.
探究新知
探究新知
同样地，如何利用分步乘法计数原理解释(a＋b)3 的展开式？
？
探究
a3
a2b
a2b
a2b
b3
ab2
ab2
ab2
展开式共有：
项的形式：
探究新知
根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4 的展开式吗？
？
探究
问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？
2)．你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
观察下面式子，你能猜想(a+b)n的展开式吗？
？
探究
概念形成
上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a＋b)n 的二项展开式，其中各项的系数 叫做二项式系数.
式中 的叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：
字母a按降幂排列,次数由n 递减到0;
字母b按升幂排列,次数由0递增到n.
概念形成
概念形成
1.在二项式定理中，若设a=1, b=x，则得到公式
2、把b用-b代替
求(1+0.01)30 的近似值（精确到0.1）
结论：我们每天努力1%，30天后，比现在优秀30%
解：
知识探究
例1
求　　　的展开式．
解：
典例分析
典例分析
例2 (1)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项；
(2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数；
(3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数.
解：
(1)
(2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数为280.
(3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数为 .
解:
的展开式的通项为
根据题意，得
因此， x2的系数是
求 的展开式中 x2 的系数.
例3
典例分析
解:
的展开式的通项为
求 的展开式常数项的系数.
变式：
典例分析
根据题意，得
解:
求 的展开式中 x3 的系数.
例4：
典例分析
1
x2
x3
x
x3
x3
解:
求 的展开式中 x3y3 的系数.
变式：
典例分析
x
y
x2y3
x3y2
x3y3
x3y3
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
课堂小结