5.2.1 三角函数的概念(共23张PPT)

(共23张PPT)
现
在
是
数
学
时
间
5.2.1 三角函数的概念
教师：李越琪
问题1　初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？
提示　在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边.
问题2　之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？
提示　有交点，交点唯一.
知识点1　三角函数的概念
1.概念
前提 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与　 　相交于点P(x,y)
单位圆
定 义 正弦 函数 把　　　 　　　叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α
函数值y是角α的终边与所在单位圆交点的纵坐标
余弦 函数 把　　　 　　叫做α的余弦函数,记作cos α,即　　　　　　
正切 函数 把　　　　 　　　　　　　　　　叫做α的正切,记作tan α,即
　　　 =tan α(x≠0)
三角 函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
点P的纵坐标y　
点P的横坐标x
x=cos α
2.三角函数的解析式和定义域如下表所示
R
R
X≠0
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)sin α表示sin与α的乘积.(　　)
(4)终边在x轴上的角的正切函数不存在.(　　)
(5)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　)
(6)设角α终边上的点P(x,y),r=|OP|≠0(O为坐标原点),则sin α= ,且y越大,sin α的值越大.(　　)
×
√
×
×
×
×
知识点2　三角函数值的符号
sin α,cos α,tan α在各象限的符号如下:
记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”
正弦函数值的符号取决于角α终边上一点P(x,y)的纵坐标y的符号,点P在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于点P横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于点P横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)sin 5>0,cos 4<0.(　　)
(2)若sin α>0,则α为第一或第二象限角.(　　)
×
×
2.若tan α>0,则 为第几象限角
提示由tan α>0可知α为第一或第三象限角, 可以为任意象限角.
知识点3　诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的　　　　三角函数的值相等.
(2)式子表示:
①sin(α+k·2π)=　　　　,
②cos(α+k·2π)=　　　　,
③tan(α+k·2π)=　　　,其中k∈Z.
同一
sin α
cos α
tan α
过关自诊
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(　　)
(2)若两个角α,β的正弦值相等,那么α=β.(　　)
√
×
【例1】 求解下列各题:
解：(3)∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,设终边上一点P(x,y),|OP|=r≠0(O为坐标原点).
不妨令x=-3,则y=-4,
(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=　　　　　.
规律方法　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的几种情况
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x,
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
【例2】 (1)若sin αtan α<0,且 <0,则角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)判断下列各式的符号:
C　
解析 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角.由
<0可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.
解①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,
∴sin 105°>0,cos 230°<0,∴sin 105°cos 230°<0.
规律方法　判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.
注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
变式训练
(1)已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
【例3】 求下列各式的值:
(1)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos(-1 080°);
解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-
(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)
=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
规律方法　诱导公式一的应用策略
(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;
(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π范围内的角的三角函数值,以便把角实现大化小,负化正的转化.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)三角函数的定义及求法.
(2)三角函数在各象限内的符号.
(3)公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等.
2.方法归纳:转化与化归、分类讨论.
3.常见误区:(1)三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点无关;