秘密★启用前 试卷类型：A
广州市南沙区2022-2023学年高三上学期期中教学质量检测 数学
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,，则( )
A. B. C. D.
2．已知复数满足，则的共轭复数是( )
A． B． C． D．
3. “”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4．古代文人墨客都善于在纸扇上题字、题画，题字、题画的部分多为扇环．如图是扇环的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5． 函数是定义在上的偶函数，当时（其中是的导函数），若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般听到的声音的函数是
，对于函数，下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个周期 B. 函数关于对称
C. 是函数的一个极值点 D. 函数关于中心对称
7. 已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，(为坐标原点)，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
8．已知数列是公比不等于的等比数列,若数列，，的前2023项的和分别为，，9，则实数的值( )
A. 只有1个 B. 只有2个 C. 无法确定有几个 D. 不存在
二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得2分.
9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区 超市 学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲 乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是( )
乙同学体温的极差为
甲同学体温的第三四分位数为
C. 乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D. 甲同学体温的众数为和，中位数与平均数相等
10．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A． B. 展开式中各项系数的和为1
C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D．展开式中含项的系数为
11. 如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ）
A．点为的中点
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
12．已知函数，方程有5个实数根，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为 B.
C. D．的最大值为1
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.
13. 某乒乓球训练馆使用A、B、C三种不同品牌的乒乓球，以往使用的记录数据如下：
品牌名称 合格率 三种用球占比
A 96％ 30%
B 98％ 50%
C 97％ 20%
若这些球是均匀混合的，且无区别标志，现从中任取一球，该球为合格品的概率是_____．
函数的最大值为2，则常数的一个取值可为________.
15．函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则________.
16．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构）是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），、分别为、的中点，则 _______.若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为________.
四、解答题：本题共小题，共分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
已知的内角的对边分别为,满足，
（1）求;
（2）是线段边上的点，若，求的面积.
18．（12分）
已知数列是公差不为0的等差数列，数列是等比数列，，，与的等差中项为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）已知，求.
19．（分）
甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方记为2分，失败方记为0分，没有平局.谁先获得8分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛所需打的局数，求的分布列和数学期望.
20.（分）
如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形， ,，点在侧棱上．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
21.（分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为10，右顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过点.求证：
直线过定点，并求此定点坐标.
22．（分）
已知函数（其中）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个零点，求证：.2022学年第一学期期中教学质量检测
高三数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B B D A A
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
题目 9 10 11 12
答案 BC ACD ABC AC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
8
13. 0.972 14. （答案不唯一， 2k ， k Z ） 15. 1或 3 16. 4 ,
3
三、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
17.解：（1）由已知及2sin2 1 cos A
2 ,
B C A可得
2 2cos A cos2( A) 7
2 ..................................................2分
cos2( A) cos2A
cos2A 2cos A 3 0
2
cos2A 2cos2 A 1
2cos2 A 1 2cos A 0
2 ..................................................3分
(2cos A 1)2 0
cos A 1
2 ...........................4分
A为 ABC的内角
第 1页
A 2
3 ..................................................5分
（2）方法一：
设 AB m, AC n， ADB
ABD中由余弦定理得
AB2 AD2 BD2 2AD BD cos , AC 2 AD2 DC 2 2AD DC cos( )
又 AD BD 2,CD 3
m2 8 8cos ,n2 13 12cos ..................................................6分
3
整理得 m2 n2 25 .......... ① ..................................................7 分
2
ABC中由余弦定理得
BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC
m2 n2 mn 25 .......... ② ..................................................8 分
1
由①式-②式得 m2 mn 0, m 2n ..................................................9分
2
将m 2n 25代入①式得 n2
7
ABC 1的面积 S ABC AB AC sin BAC2
S 1mn sin 2 3 2 25 3 ABC n ..................................................10分2 3 2 14
方法二：设 ADB
ABC的面积 S ABC S ABD S ADC
1
AB AC sin BAC 1 AD BD sin 1 AD CD sin( )
2 2 2 .......................................6分
AD BD 2,CD 3 2 ， BAC
3
第 2页
3
AB AC 5sin
4 ..............① ................................7分
又由余弦定理得 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos 4 4 8cos 8 8cos ，
AC 2 AD2 DC 2 2AD DC cos( ) 4 9 12cos 13 12cos
AB 8 8cos
AC 13 12cos .......................................8分
3
将上式代入①式得 8 8cos 13 12cos 5sin
4
0 , sin 1 cos 2
3 8 8cos 13 12cos 5 1 cos 2
4
两边平方整理得 14cos2 3cos 11 0 .......................................9分
11 5 3
解得 cos 1(舍)或cos
14 sin 1 cos
2
14
S 25 3 ABC 5sin 14 ..................................................................................10分
A 2 AD BD, B BAD DAC 2 方法三：由（1）知 ， B，
3 3
ADC B BAD 2 B
C 2 B (2 B) B .......................................7分
3 3
DC AD
在 ADC中，由正弦定理得
sin DAC sin C
3 2
即 sin(2 B) sin( B)
3 3
3 2
3 1 3 1 3，整理得cosB sinB cosB sinB sin B cosB
， .......................................8 分
2 2 2 2 5
25 3
又 sin2 B cos2 B 1 2 2， cos B ,sin B ,28 28
第 3页
A 2 , B为锐角
3
sin 2B 2sinB cosB 2 sin2 B cos2 B 2 25 3 5 3 ............................9 分
28 28 14
ABC的面积 S ABC S ABD S ADC ， AD BD 2,CD 3
1
AD BD sin( 2B) 1 AD CD sin 2B 5sin 2B 25 3
2 2 14
S 25 3 ABC .......................................10 分 14
18.解：（1）设数列{an}的公差为 d ,数列{bn}的公比为 q
a2 b2 3，b1与b3的等差中项为 a3
b1 b3 2a3 ................................1分
3
可得 3q 2(3 d) 6 2d
3
，即 3q 6 2d ……………① ................................2 分
q q
a5 b3, 3 3d 3q,得d q 1
将上式代入 ①式得 q2 4q 3 0 ................................3分
解得 q 1或3
当 q 1时 d 0，故 q 1
b
q 3,d 2， a 21 a2 2 3 2 1，b1 1 ................................5 分q
an 2n 1，b 3
n 1
n ................................6分
（2） Sn a1b1 a2b2 anbn
Sn 1 1 3 3 5 3
2 2n 3 3 n 2 2n 1 3 n 1 ① ……………7分
3S 1 3 3 3 2n 2n 3 3 n 1 2n 1 3 n ② ……………8 分
- 得： 2S 1 2 3 32 33 3n 1 (2n 1) 3n① ② n …………………10分
第 4页
3(1 3n 1) …………………11 分
2Sn 1 2 (2n 1) 3
n
1 3
Sn 1 3
n n 3n …………………12分
19.解：（1）设恰好打了六局甲队获胜的概率为 P1，恰好打了 6 局乙队获胜的概率为P2 . .......1 分
3 2
2 1 2 160甲队打六局比赛获得胜利的概率为P1 C
3
5 3 3
； …………………3分
3 729
1 3 2 2 1 40
乙队打六局比赛获得胜利的概率为 P2 C
3
5 ； …………………5分
3 3 3 729
P P P 160 40 200 1 2 .729 729 729
200
比赛结束时恰好打了六局的概率为 . …………………6分729
(2)X的可能取值为 2，3，4. …………………7分
2 2P X 2 4 ; …………………8分
3 9
3
P X 3 C1 2 1 2 3 1 8 1 12 C3 ; …………………9分
3 3 3 3 27 27 3
P X 4 C 2 1
2 2
2
3 3 3
. …………………10分
9
随机变量 X的分布列为
X 2 3 4
4 1 2
P
9 3 9
…………………11分
EX 2 4 3 1 2 25 4 . X 25 的数学期望为 . …………………12分
9 3 9 9 9
20.（1）证明：∵PC⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，∴AC⊥PC. …………………1 分
∵四边形 ABCD是直角梯形， AB AD , AB / /CD, AD CD 1．
∴ AC AD2 DC 2 2 …………………2分
取 AB中点为 F
∵四边形 ABCD是直角梯形， AB AD , AB / /CD, AB 2AD 2CD 2
AF / /DC, AF DC
第 5页
四边形ADCF为矩形， BC CF 2 BF 2 2 …………………3分
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴AC⊥BC.又 BC∩PC＝C， …………………4 分
∴AC⊥平面 PBC.
∵AC 平面 EAC，∴平面 EAC⊥平面 PBC. …………………5 分
（2）方法一：由（1）知 AC⊥平面 PBC，又 CE 平面PBC
AC CE …………………6分
由（1）知 AC⊥PC，所以 PCE是二面角 P AC E的平面角.
由图知平面 PAC与平面 ACE的夹角即为二面角 P AC E，
∵平面 PAC与平面 ACE 6的夹角的余弦值为
3
…………………7分
cos PCE 6
3
∵PC⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，∴BC⊥PC.
在 Rt PCB中，由 PC 2,BC 2得 PB 6
…………………9分
cos CPB 2 6
6 3
…………………10分
CPB PCE，CE PE
CPB与 CBP互余， PCE与 ECB互余
…………………11分
CBP ECB，CE EB
PE …………………12分
1
BE
方法二：如图，以 C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则C(0,0,0), A(0, 2,0),B( 2,0,0),P(0,0, 2)
第 6页
∵PC⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，∴BC⊥PC. …………………6分
BC AC， BC 平面PAC , 平面PAC的一个法向量为CB，则CB ( 2,0,0)
设 E x, y, z ， PE PB 0 1 ，
则PE (x, y, z 2)，PB ( 2,0, 2)
…………………7分
(x, y, z 2) ( 2,0, 2)， E( 2 ,0,2 2 )
设 n (x1, y1, z1)为平面EAC的法向量，CA (0, 2,0)，CE ( 2 ,0,2 2 )
2y …………………8分1 0
则n CA n CE 0，即 ，
2 x1 (2 2 )z1 0
…………………9分
得 y1 0 x 1 z
2
，取 1 得 1 ， n (1,0,
2 ) ,
2 2 2 2
设平面ABC1与平面A1C1P的夹角为 ，CB ( 2,0,0)，则
cos cos CB,n CB n 2 6 …………………10分
CB n
2 1 2
2 3
(2 2)2
1
…………………11分
解得 .
2
1
PE PB
2
PE …………………12分
1
BE
21. 解（1） 2b 10 …………………2分
依题意： c 3 ，解得： a 10,b 5 a 2
第 7页
x2 y2 …………………4分 椭圆C的方程式 1
100 25
（2）①当直线 l的斜率存在时，可设直线 l : y kx m，点 P(x1, y1),Q(x2 , y2 )
x2 y
2
1 …………………5分
联立 2 2 2100 25 得： (1 4k )x 8mkx 4m 100 0
y kx m
64m2k 2 4(1 4k 2)(4m2 100) 0 …………………6分
即m2 100k 2 25 0
2
x x 8mk 4m 1001 2 2 , x1 x2 1 4k 1 4k 2 …………………7分
2
y y (kx m)(kx m) m 100k
2
1 2 1 2 1 4k 2
AP (x1 10, y1), AQ (x2 10, y2 )
AP AQ (x1 10)(x2 10) y1y2
x1x2 10(x1 x2 ) 100 y1y2
4m2 100 80mk m2 100k 2
100
1 4k 2 1 4k 2 1 4k 2
…………………8分
AP AQ AP AQ 0
m2 16mk 60k 2 0 …………………9分
m 6k或 10k，满足 0
直线 l : y k(x 6)或y k(x 10)
由于直线 l不过点 A(10,0)，所以直线 l : y k(x 6)，即直线 l过定点 (6,0) …………10分
②当直线 l斜率不存在时， x1 x2 , y1 y2
AP AQ AP AQ 0
2 2
即 (10 x1) y1 0
第 8页
x
2
1 y
2
又 1 1
100 25
解得 x1 10或6，由于直线 l不过点 A(10,0)， x1 6
…………………12分
综上可知：直线 l过定点 (6,0) .
22. 解：（1）函数 f (x)的定义域为 (0, ) ……………………………1 分
f (x) 0即 a x(2 ln x)
设 g(x) x(2 ln x) 则 g (x) 1 ln x ……………………………2 分
当 x (0,e)时， g (x) 0， g(x)单调递增
当 x (e， )时， g (x) 0， g(x)单调递减 ……………………………3 分
所以 g(x)的最大值为 g(e) e a e ……………………………4 分
（2）由（1）可知： a e
f (x) x a
x2
a 0时， f (x) 0， f (x)单调递增不合题意
故0 a e ……………………………5 分
当 x (0,a)时， f (x) 0， f (x)单调递减
当 x (a， )时， f (x) 0， f (x)单调递增
f (x)的最小值为 f (a) ln a 1 0 ……………………………7 分
因为函数 f (x)有两个零点 x1, x2 (x1 x2 )，不妨设0 x1 a x2 ，则
f (x1)
a
ln x1 2 0, f (x
a
2 ) ln x2 2 0x1 x2
a(x x )
两式相减得： 2 1 ln x2 ln xx x 11 2
第 9页
x x x
即 2 1 1
x2
ln x2 ln x1 a
x x
下证： 2 1 x x
ln x ln x 1 22 1
x2 x
2
1 x x (x 2 x1) (ln x ln x )2
ln x2 ln x
1 2 2 1
1 x1x2 ……………………………8 分
x
1
x x
2 (ln 2 )2 2 0
x2 x1 x1
t x2 ,t (1, ) h(t) t 1设 ，令 (ln t)2 2 ……………………………9 分
x1 t
1 2
则 h (t) 1 2 2(ln t)
1 t 2t ln t 1
t t t 2
令 (t) t 2 2t ln t 1，则 (t) 2t 2(1 ln t) 2(t 1 ln t)
(t) t 1 2( ) 0 (t) (1) 0，则 (t) (1) 0
t
h (t) 0， h(t)在 (1, )上单调递增 ……………………………10 分
h(t) h(1) 0
x x
故 2 1 x x
ln x 1 2
，
2 ln x1
x2 x1 x x由 1 2 得
ln x2 ln x1 a
x1x2 x1xa 2
x1x2 a
2 ……………………………12 分
第 10页
