上海市文来高中2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（PDF版含答案）

文来高中 2022 学年第一学期期中考试
高三年级 数学试卷
满分分值：150 分 完卷时间：120 分钟
一、填空题（共 12 小题；第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1. 已知集合 = 1, ， = 1, 2 ，且 = ，则实数 的值是 ．
2 = = , ∈ ∞,1 ,2. 1设函数 的表达式 log81 , ∈ 1, + ∞ ,
则满足 = 的
4
的值为 ．
3. 已知 1，
2π
2 是夹角为 的两个单位向量，若向量 = 3 1 2 3 2，则
1 = ．
4. 设 = 和 = 是两个不同的幂函数，集合 = = ，则集
合 中的元素个数最多是 个．
5. 某学校要从 6 名男生和 4 名女生中选出 3 人担任进博会志愿者，则所选 3 人中男
女生都有的概率为 ．（用数字作答）
6. 在正方体 1 1 1 1 中， 1 = 2， 为棱 1 的中点，则 与平面
1 1 所成角的正切值为 ．
7. 已知 + 1 10 = 1 + 2 + 23 + + 1011 ，若数列 1， 2， 3， ， 1 ≤ ≤
11, ∈ 是一个单调递增数列，则 的最大值是 ．
8. 若关于 的不等式 1 + 2 ≤ 2 + + 1 的解集是空集，则实数 的取值
范围是________
2
9. 已知椭圆 2 + 2 = 1 0 < < 1 的左、右焦点为 1， 2，以 为顶点， 2 为焦
点 作 抛 物 线 交 椭 圆 于 点 ， 且 ∠ 1 2 = 45 ， 则 抛 物 线 的 准 线 方 程
是 ．
10. 设 + 是定义在 上的函数若存在两个不等实数 1, 2 ∈ ，使得
1 2 =
2
1
1 + 2 , ≠ 0，则称函数 具有性质 ，那么下列函数：① = ；
2 0, = 0
② = 3；③ = ∣ 2 1∣；④ = 2．具有性质 的函数有 _________个。
1
11. 1 3已知函数 满足 + = ，当 > 1 时， = log 1 ，且2 2
3 = 1 ． 若 1 + 2 < 2 ， 1 1 2 1 < 0 ， 则 下 列 结 论 中 正 确 的
是 ．（填写序号）
① 1 + 2 < 0；
② 1 + 2 > 0；
③ 1 + 2 可能为 0；
④ 1 + 2 可正可负．
12.已知函数 = sin + π > 0 图象上相邻的两个最高点为 ， ，点 为 ，
6
2
之间的最低点，且 = π 4，若 在 1, 2 和 4 3, 4 上单调递增，
在 2, 3 上单调递减，且 2
2
1 = 3 2 ，则 1 的值为 ．3
二、选择题（共 4小题；每题 5 分）
13. 设 1, 2 ∈ ，则“ 1 + 2 > 6 且 1 2 > 9”是“ 1 > 3 且 2 > 3”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
14. +
2 + 2
已知 , ∈ ，且 , ≠ 0，则在“① ≥ ，② + ≥ 2，③ ≤ ，④
2 2
+ 2 2≤ +
2
”这四个式子中，恒成立的个数是
2 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15. 定义域是 , 上的连续函数 = 图象的两个端点为 , ， , ，
, 是图象 = 上任意一点，过点 作垂直于 轴的直线 交线段
于点 （点 与点 可以重合），我们称 的最大值为该函数的“曲径”，下
列定义域是 1,2 上的函数中，曲径最小的是
A. = sin π B. = 2 C. = 2 D. = 1
3
16. 已知定义域是全体实数的函数 = 满足 + 2π = ，且 =
+
， = ，
2 2
+π , ≠ π + π
现定义函数 = ， = 为： = 2cos 2， =
0, = π + π
2
+ +π , ≠ π
2sin2 2，
0, = π
2
2
其中 ∈ ，那么下列关于 = ， = 叙述正确的是
A. 都是偶函数且周期为 π
B. 都是奇函数且周期为 π
C. 都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数
D. 都不是周期函数
三、解答题（共 5小题；共 76 分）
17. （本题满分 14 分；第 1 小题 6分，第 2 小题 8 分）

已知函数 = + ∈ ．
1
（1）当 = 1 时，解不等式 + 1 > + 1 ；
（2）设 ∈ 3,4 ，且函数 = + 3 存在零点，求实数 的取值范围．
18. （本题满分 14 分；第 1 小题 6分，第 2 小题 8 分）
已知函数 = 2 3 2 + ．
（1）讨论 的单调性；
（2）是否存在 ， ，使得 在区间 0,1 的最小值为 1 且最大值为 1 若存
在，求出 ， 的所有值；若不存在，请说明理由．
19. （本题满分 14 分；第 1 小题 6分，第 2 小题 8 分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层
某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元，
该建筑物每年的能源消耗费用为 （单位：万元），与隔热层厚度 （单位：cm）

满足关系： = 0 ≤ ≤ 10 ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万
3 +5
元．设 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
（1）求 的值及 的表达式；
（2）求当隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
3
20. （本题满分 16 分；第 1 小题 4分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）
已知 = 2 + + 3 1 ∈ ，集合 = = 0 ，
= = ， = = 2 4 ．
（1）求 ∩ ；
（2）若 且 ≠ ，求实数 的取值范围；
（3）记 = ∩ ∩ ．当 > 0 时，若集合 中有且仅有一个元素 使得 >
0 成立，试写出满足条件的 的表达式（只需写出一个即可）．
21. （本题满分 18 分；第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）
设函数 = 定义在区间 , 上，若对任意的 1, 2, 1, 2 ∈ , ，当
1 + 2 = 1 + 2，且 1 2 < 1 2 时，不等式 1 + 2 < 1 +
2 成立，就称函数 = 具有 性质．
（1）判断函数 = 2 ， ∈ 3,3 是否具有 性质，并说明理由；
（2）已知函数 = 在区间 , 上恒正，且函数 = lg ， ∈ , 具有
性质，求证：对任意的 1， 2 ∈ , ，且 1 ≠ 2，有 1 2 <
2
1+ 2 ；
2
（3）①已知函数 = ， ∈ , 具有 性质，证明：对任意的 1， 2， 3 ∈
, ，有 1 + 2 + 3 ≤ 3
1+ 2+ 3 ，其中等号当且仅当 1 = 3 2 = 3
时成立；
π
②已知函数 = sin ， ∈ 0, 具有 性质，若 ， ， 为三角形 的
2
内角，求 sin + sin + sin 的最大值．
4
答案
1. 0
2. 3
3. 4
4. 3
5. 4
5
6. 2 5
5
7. 6
8. （-1，0）
9. = 1 2
10. 3
11. ②
12. 1
2
13. B
14. C
15. D
16. A
17. 1 1（1） 当 = 1 时， = + ，由 + 1 > + 1 得 + + 1 > +
1 1
1 + 1 1 1，即 > ，解得 < 0 或 > 1，
1
所以，原不等式的解集为 ∞,0 ∪ 1, + ∞ ．
（2 ） 函数 = + 3 存在零点 ∈ 3,4 方程 + + 3 = 0 有解 ∈ 3,4 ，
1
亦即 = + 3 1 有解 ∈ 3,4 ，
注意到 = + 1 2 + 4 在 ∈ 3,4 上递减，故 ∈ 4 + 1 2 + 4, 3 + 1 2 +
4 = 21, 12 ，从而，实数 的取值范围为 21, 12 ．
18. （1） 由已知得 = 6 2 2 = 6 ．
3
令 = 6 = 0 ，解得 = 0 或 = ．
3 3
①当 = 0 时， = 6 2 ≥ 0，函数 在 上严格递增．

②当 > 0 时，函数 在 ∞,0 ， , + ∞ 上严格递增，在 0, 上严格递减．
3 3
③当 < 0 时，函数 ∞, 在 ， 0, + ∞ 上严格递增，在 , 0 上严格递减．
3 3
5
（2） 设存在 ， 满足题设条件，由（1）可得：
①当 ≤ 0 时，函数 在 0,1 上严格递增，则最小值 0 = = 1，最大值 1 =
2 + = 1，解得 = 1， = 0．

②当 ≥ 3 时， ≥ 1，函数 在 0,1 上严格递减，则最大值 0 = = 1，最小值
3
1 = 2 + = 1，解得 = 1， = 4．
0 < < 3 0 < < 1 0, ③当 时， ，函数 在 上严格递减，在 , 1 上严格递增，
3 3 3
3
则最小值 = + = 1，最大值为 0 = 或 1 = 2 + ．
3 27
3
若 + = 1 3， = 1，解得 = 3 2 > 3，不符，舍去．
27
3
若 + = 1，2 + = 1，解得 =± 3 3 或 = 0，不符，舍去．
27
综上可得：存在 ， ，使得 在区间 0,1 的最小值为 1 且最大值为 1．
= 0, = 4,， 的所有值为 = 1 或 = 1.．
19. （1） 由 0 = 8 40可得 = 40，则 = 20 × + 6 0 ≤ ≤ 10 ．
3 +5
（2 = 800） + 2 3 + 5 10 ≥ 2 2 × 800 10 = 70，
3 +5
800
当且仅当 = 2 3 + 5 ，即 = 5 时等号成立．
3 +5
答：当隔热层的厚度为 5 厘米时，总费用 取得最小值 70 万元．
20. （1） = 0, + ∞ ， = 4, + ∞ ，
所以 ∩ = 4,0 ．
（2） 因为 ， ≠ ，
所以 2 + + 3 1 = 0 的两根均为非负数．
当 = 0 时， = 1 符合题意；
3
= + 3 2 + 4 ≥ 0,
当 ≠ 0 时，有 1 + =
+3
2 ≥ 0, 解得 1 ≤ < 0．
1 =
1
2 ≥ 0,
综上所述，实数 的取值范围为 1,0 ．
（3） = ∩ ∩ = 4, 3, 2, 1 ．
因为当 > 0 时，在集合 中有且仅有一个元素 使得 > 0，
4 > 0, 16 4 12 1 > 0, 13 5
所以有 3 ≤ 0, 即 9 3 9 1 ≤ 0, 解得 < ≤ ．12 3
不妨取 = 5 5，则 = 2 + 14 1（答案不唯一）．
3 3 3
6
21. （1） 令 1 = 2， 2 = 2， 1 = 1， 2 = 1，
于是 1 + = 2 2 + 222 =
17 5
， + = 2 11 2 + 21 = ，4 2
显然 1 + 2 > 1 + 2 ．
因此函数 = 2 ， ∈ 3,3 不具有 性质．
+
（2） 设 1, 2 ∈ , ，且 1 ≠ 2．令 1 = = 1 22 ，2
1+ 显然 2 ∈ , ，且 1 2 = 0 < 1 2 ，2
2
于是 lg 1 + lg
1+ 2 +
2 < 2lg ，即 lg < lg
1 2
1 2 ．2 2
2
因为函数 = lg 在区间 0, + ∞ 上为增函数，所以 1 2 <
1+ 2 ．
2
（3） ①对任意的 1, 2, 3 ∈ , =
1+ 2+ ，令 3，显然 ∈ , ．
3
若 1 = 2 = 3，则不等式 1 + 2 + 3 ≤ 3
1+ 2+ 3 中等号成立．
3
下面考虑 1， 2， 3 不全相等，不妨设 1 的值最小， 3 的值最大，于是 1 < 3，且 1 <
< 3．
令 1 = ， 2 = 2， 3 = 1 + 3 ，于是 1 + 3 = 1 + 3，且
1 3 = 1 + 3
= 3 + 1
< 3 + 1
= 3 + 1
= 3 1
= 3 1 ,
故 1 + 3 < 1 + 3 ，从而 1 + 2 + 3 < 1 + 2 + 3 ．
又 2 + 3 = 2 + 1 + 3 = + ，且 2 3 = 2 1 + 3 ≥ 0 =
，
故 2 + 3 ≤ + ，因此 1 + 2 + 3 < + + =
3 ．
+ + ≤ 3 1+ 综上， 2+ 31 2 3 ，其中等号当且仅当 1 = 2 = 3 时成立．3
②当 △ 为锐角三角形时，由①，得 sin + sin + sin ≤ 3sin + + = 3 3，
3 2
等号当 = = = π 时成立；
3
当 △ 为直角三角形时，不妨设 为直角，于是 sin + sin + sin = sin + cos +
1 = 2sin + π + 1 ≤ 2 + 1 < 3 3；
4 2
7
当 △ π为钝角三角形时，不妨设 为钝角，此时 0 < π < ，于是 sin + sin +
2
sin = sin + sin + sin π ≤ 3sin + +π = 3sin 2 π ，
3 3
由 0 < π < π，得 0 < 2 π < π，
2 3 3
0 < sin 2 π 于是 < 3 2 π 3 3，故 0 < 3sin < ．
3 2 3 2
综上，sin + sin + sin 3 3的最大值为 ．
2
8