2023届高考数学复习专题 用平面向量探索三角形的四心问题

2023届高考数学复习专题 ★★
用平面向量探索三角形的四心问题
三角形中的内心、外心、重心、垂心，统称为三角形的“四心”；有关这“四心”的问题，叫“四心”问题.“四心”问题的破解既可以通过平面几何法，也可以通过平面向量法，因为这一内容涉及到三角形和平面向量，是一个知识创新和知识交汇的窗口，因此“四心”问题是一个考查的热点问题.因为“创新”和“交汇”，也常使同学们对“四心”问题望而却步，一筹莫展.下面就如何利用平面向量中的“共线”和“点积”两个重要工具解决“四心”问题进行举例分析：
一、共线法定“内心”
所谓共线法确定三角形的内心，主要是指利用平面向量共线的性质，若一条线为角平分线，另一条线与其共线，则另一条线也是角平分线，这样要判定内心，可用这种方法破解.
例1、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
分析：此题是一个涉及平面向量和三角形心问题的知识交汇问题，可利用平面向量的性质破解，即共线法化解.
解析：如图所示，“”表示与同向的单位向量,设；“”表示与同向的单位向量，设，由向量的平行四边形法则，知，
又，，则与共线，由于平分角，所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的内心，即选B.
点评：共线法破解“内心”问题，主要是通过构造与角平分线共线的向量，以确定有关内心问题.
二、点积法定“外心”
对于确定三角形外心的问题，因外心是三角形的三条中垂线的交点，因此关键是找出中垂线，考虑到垂直问题，故可用点积两个向量，若点积为0，则可得垂直，加上中点条件，即可确定三角形的外心，当然也可用到三个顶点距离相等简单确定三角形的外心.
例2、（2006黄岗练习）已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A、重心 B、外心 C、垂心 D、内心
分析：此题初看与问题类似，其实不然，需要利用平面向量性质1求解.
解：如图所示：设BC的中点为D，
，又，等式两边向量同时求与的数量积，得：
，则，所以P点的轨迹一定在BC的中垂线上，即P点一定通过的外心，即选B.
点评：涉及到有关“外心”问题，因有中垂线的概念，因此需要考虑用平面向量的点积法化解，点积法破解有关垂直问题的首选方法.
三、共线法定“重心”
对于三形重心的确定，因其是三角形三条中线的交点，因此要关注二点，一是中点，二是共线，特别是共线，通过找一条与其中线共线的直线，可判断此直线也是三角形中线所在的直线，这样可判断三角形的重心.
例3、已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内一定点，P是平面ABC内一动点，若，则点P的轨迹必过的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
分析：这是一个平面向量和三角形结合的问题，要判断点P是三角形的什么心，关键是要结合共线向量的知识，利用与中线共线的条件判断其为重心.
解：因为，则可化为，而如图三角形ABC中，（M为三角形ABC的BC的中点），
因此，即A、P、M三点共线，因此P点的轫迹必过的重心.应选C.
点评：判断过重心的平面向量方法是共线法，应用时主要是要构造出两个共线向量，以顺利判断其过三角形的重心，解决“心”问题.
四、点积法定“垂心”
对于三形垂心的确定，因其是三角形三条高线的交点，因此要关注二点，一是过顶点，二是引线与对边垂直，特别是垂直，通过找一条与其垂直的直线，可判断此直线也是三角形高线所在的直线，这样可判断三角形的垂心.
例4、设O是的外心，点M满足++=，则M是（ ）
A、内心 B、重心 C、垂心 D、的任意一点
分析：这是一个涉及到平面向量和三角形的四心交汇的问题，通过对给定平面向量的等式转化确定M是三角形的“心”，破解的方法是利用向量的点积，导出垂直关系，从而判定其为垂心.
解：因点M满足++=，则有+=+=，因（+）（+）（）=（主要是O是的外心，），因此也有0，即，同理有，，因此M为的垂心.应选C
点评：利用向量的点积判垂心具有很好的效果，对有关“心”问题的破解起到一针见血的作用，应该说只有运用得当，一般的垂心问题便可迎刃而解.
在平面向量知识中，涉及到判断三角形的“心”问题一般为三角形的重心、内心、外心和垂心，利用平面向量的两个基本性质，特别是向量的点积和共线等基础知识是破解三角形四心问题一个不可多得的途径和方法，这可为破解有关平面向量综合问题助上一臂之力.
A
C
P
B1
C1
P1
B
A
B
C
M
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