2023届高考数学复习专题 导数零点不可求的四种破解策略

2023届高考数学复习专题 ★★
导数零点不可求的四种破解策略
在导数试题中,经常碰到导函数零点不可求的情况.对于此类试题,往往要绕开具体的零点值,转而判断导函数在给定区间上的单调性,再想办法证明导函数的零点存在.如何证明导函数的零点存在 笔者在长期的教学实践中总结了四种方法,现说明如下.
法一:利用零点存在性定理
零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得.进一步,若在区间内有具有单调性,则函数在区间内有唯一的零点.在实际解题中,经常先判断出在给定区间上的单调性(可以通过求二阶导或者直接观察导函数解析式进行判断),然后在给定区间内取两个特殊值,计算出相应的,与零比较大小,再利用零点存在性定理得出在给定的区间上存在唯一的零点.
例1.已知函数,证明:当时,不等式.
证明:,.
由,得在上单调递增.
又,,
根据零点存在定理可知,存在,使得.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
故.
由得,即,.
故,其中.
令,.
由得在上单调递减.
故,即.
综上,有,则当时,不等式.
评析:要证,等价于证.导函数,其零点无法求出.借助判断出的单调性,结合零点存在性定理得出存在唯一的零点且.另一方面,将分成两个区间,分别考查在这两个区间上的单调性.借助得到,将指数式进行转化,从而判断出.
法二:利用函数与方程思想
函数有零点等价于相应的方程有实根,然后将方程进行适当的变形,转化为两个函数图象有交点.交点的个数就是函数零点个数.在实际解题中,通常先求出,然后令,移项,转化为判断两个函数图象的交点个数.
例2.已知函数 .证明:当时,.
证明:,.
有零点,等价于方程有实根,等价于方程有实根,等价于函数与函数图象有交点.
显然当时,两个函数图象无交点;当时,两个函数图象有一个交点;
因此,当时,无零点,当时,只有一个零点.
当时,在上单调递增,且只有一个零点,设为.即.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
故.
由得,,,,化简得.
故.
故,即当时,.
评析:利用函数与方程思想,将判断的零点个数问题转化为图象交点问题.不难得出结论:当时,只有一个零点.对于,观察其结构特征容易发现其在上单调递增(也可以求出二阶导进行判断).要证,等价于证.将分成两个区间,分别考查在这两个区间上的单调性.借助得到,,将指数式进行转化,从而得证.
法三:构造新的函数
如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.
例3.已知函数,当时,恒成立,求正整数的最大值.
解析:由已知有在上恒成立.
令,.只需.
,
令,由得在上单调递增.
又,,根据零点存在定理可知,存在,使得.
当时,,,在上单调递减;
当时,,,在上单调递增.
故.
由得,,即.
则.
故正整数的最大值为.
评析:导函数,分母显然是正数,将分子看成一个新的函数,借助法一考查的性质,从而得到的单调性.
法四:利用极限思想
法一中,对于给定的区间,如果要通过取特殊值来判断与零的大小比较困难,那么可以利用极限思想,考查当时以及当时的取值情况.
例4.已知函数对任意的恒成立,其中.求的取值范围.
解析:由已知有,其中,.
.
令,其中,.
由得在上单调递增.
又,当时,,
故存在,使得.
当时,,,在上单调递减;
当时,,,在上单调递增.
故.
由得,,即.
则.
令,由,,解得.
因为在上单调递增,,所以.
故,即,解得.
评析:导函数,分母显然是正数,利用法三的方法将分子看成一个新的函数.在考查的性质时,先考虑左端点的函数值情况,即,再考查当时,,从而确定故存在,使得.