4.2.2 等差数列的前项和公式
学习目标：
1.知识与技能：
①掌握等差数列前项和公式的推导方法和公式的简单运用。
②通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.过程与方法：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。
3.情感、态度价值观：
①公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
②通过生动具体的现实问题，令人着迷的历史素材和数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
重点:等差数列前项和公式。
难点:获得推导等差数列前项和公式的思路及公式的灵活运用。
教学过程
【自主学习】（阅读课本P18-21，完成导学案）
创设情境 兴趣导入
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共用了多少个宝石吗？
问题1:计算
（你知道高斯是怎么算的吗？）
二、动脑思考 探究新知
问题2:计算
问题3:计算
(你是怎么思考的？用了什么方法？)
问题4:对一般的等差数列,如何求它的前项和呢？
等差数列的前项和公式：
公式一： 已知 ，求
公式二： 已知 ，求
公式记忆--类比法
三、应用公式 巩固知识
总结:两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到 个量，分别
是 ，通常已知其中 个，可求另外 个，简称为： 。
例2:中国男子短跑运动员，苏炳添，他于2011年合肥赛跑出10.15秒的成绩，2013年北京赛跑出10.07秒的成绩，2015年尤金赛跑出9.99秒的成绩，2018年马德里赛跑出9.91秒的成绩， 2021年东京奥运会半决赛中跑出振奋人心9.83秒的好成绩，刷新亚洲记录。如果把苏炳添百米冲刺所用时间看成是等差数列，那么这五次比赛中苏炳添总共用时是多少秒？
变式:医护人员2020年积极致力于研究人体内的新冠病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个患者人体内的病毒数有多少个呢？
四、知识打包 存放备用
一种方法：
两个公式：
三个条件：
五、跟踪训练 强化巩固
【等差数列前项和公式的基本运算】
1.在等差数列中，已知
2.在等差数列中，已知( )
A.10 B.15 C.20 D.30
【数列在职业教学生活化的探讨】
3.建筑工人在工地上放了一堆钢管，已知最下一层为20个，最上面一层为2个，且放了5层，问这一堆钢管的个数总共是多少个呢？
4.作为会议型饭店的助理经常会碰到这样的问题，已知会议室里共有20排座位，第一排有1个座位，此后每排都比前一排多2个座位。某商务旅游团队有580人，此会议室可以容纳下这个团队吗？
【数列教学中渗透数学文化】
5.南北朝《张邱建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问.比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等．书中记载如下问题：“今有子女不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”那么此女子共织（ ）A.90尺 B.93尺 C.95尺 D.97尺
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推．这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A.8岁 B.9岁 C.11岁 D.12岁
【数列在日常生活中的应用】
7.酒店客房管理，为了安全的需要，每半年更换一次门锁，管理员小华将客房的十扇门全部换上新锁后，才发现自己的疏忽--他将这10把锁的钥匙全弄混了。在不靠运气的情况下，他最多需要多少次可以把这些锁和钥匙重新配对妥当呢？
8.在“双十二”期间，沃尔玛超市对一批家店商品开展促销活动，活动方式如下：买一台单价为800元，买两台单价为780元，以此类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于500元。某单位为了奖励年度优秀员工，需购买7台，请问总共需要消费多少元？(共21张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，奢靡之程度，可见一斑。如右图所示，这个图案有n层。
创设情境 兴趣导入
问题1：如果右图中的圆宝石有100层，那么从第1层到第100层
一共用了多少个圆宝石呢？
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
问题1：
计算
创设情境 兴趣导入
你知道高斯怎么算的吗？
高斯（Gauss，1777年-1855年），德国著名数学家，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”。
1+2+3+…+50+51+…+98+99+100=
5050
观察归纳
动脑思考 探究新知
50对
101
101
101
101
动脑思考 探究新知
配对
问题2：
偶数项
奇数项
问题1：
问题3：
思路2（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51
思路1（拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+… + 100)+101
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+… + 100+102)-102
思路4（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+… + 100+101
1
2
3
n
n
n-1
n-2
1
借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形.
s
s
动脑思考 探究新知
n+1
n+1
n-1
2
记:S= 1+ 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+ n
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 + 1
这种方法不需分奇、偶数项的情况就可以求和， 很有创意，用数学式子表示就是：
对齐相加（其中第二行的式子与第一行的
式子恰好是倒序）
动脑思考 探究新知
S= 1+ 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+ n
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 + 1
这实质上是我们数学中一种求和的重要方法
这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
倒序相加法
那么，对于一般的等差数列，
如何求它的前n项和呢？
等差数列的前n项和公式
性质：如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*，
且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at
倒序相加法
左右两边分别相加
n个
①
②
动脑思考 探究新知
等差数列前n项和公式
请记住我
项数
首项
末项
动脑思考 探究新知
等差数列的通项公式
等差数列前n项和公式
首项
项数
公差
动脑思考 探究新知
Sn
动脑思考 探究新知
等差数列前n项和公式
已知 ，求
已知 ，求
a1 ， d，n
a1 ，an，n
Sn
n
an
公式记忆
—— 类比梯形面积公式记忆
等差数列前n项和公式
a1
a1
an
a1
(n-1)d
n
a1
an
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形
公式记忆
—— 类比梯形面积公式记忆
等差数列前n项和公式
例1：
解：∵
变式1：
解：∵
应用公式 强化练习
变式2：
？
动脑筋
方
程
思
想
解：由题意知
解方程组，得
42
变式3：
整体思想
化归思想
解:①
②
应用公式 强化练习
总结：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到 个量，分别是
通常已知其中 个，可求另外 个
知三求二
3
2
5
例2：中国男子短跑运动员，苏炳添，他于
2011年合肥赛跑出10.15秒的成绩，2013年北京赛跑出10.07秒的成绩，
2015年尤金赛跑出9.99秒的成绩，2018年马德里赛跑出9.91秒的成绩，
2021年东京奥运会半决赛中跑出振奋人心9.83秒的好成绩，刷新亚洲记录
如果把苏炳添百米冲刺所用时间看成是等差数列，
那么这五次比赛中苏炳添总共用时是多少秒？
变式：医护人员2020年积极致力于研究人体内的新冠病毒，已知一个患病初期的人人体内的新冠数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个患者人体内的病毒数有多少个呢？
an=a1+(n-1)d
对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”.
核心素养：
倒序相加法
掌握与应用
知识打包 存放备用
（一种方法）
（两个公式）
（三个条件）
逻辑推理、数学建模、数学运算。
课本22页练习题1.2题
课本24页习题4.2第1题
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