4.3.1 等比数列的概念
一、内容与内容解析
1.内容：等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比中项，等比数列与函数的关系，学习等比数列的必要性
2.内容解析：
研究等比数列的必要性：数列是高中数学的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承上启下的作用。一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为大学内容学习数列的极限做好铺垫。《等比数列》是两类特殊数列中的一种，对于等比数列的研究源于现实生产，生活的需要。探索它的取值规律，建立它的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题。例如：生物学上的细胞分裂个数问题、生物体死亡后碳14的衰退问题、日常生活中的银行存款、贷款问题等。通过数学抽象将实际问题转化为等比数列的知识，并运用等比数列的相关知识进行数学运算、逻辑推理等，最终达到解决实际问题的目的，从中感受数学模型的现实意义与应用。
（2）等比数列的概念：《等比数列的概念》是《等比数列》在教学中的第一节。通过类比等差数列的研究思路和方法，从运算学的角度出发引出我们要研究的内容。通过分析教材中给出的生物、语文、生活、历史等方面的问题，提取出6组数列，让学生从“运算”上发现取值规律，之后类比等差数列的定义得出等比数列的定义。通过对定义的巩固练习得出等比数列的注意事项。类比等差数列通项公式的推导方法、等差中项的定义让学生独立推导出等比数列的通项和等比中项。本节课的难点分析等比数列的通项公式与函数的关系。为了突出重点突破难点，我将等比数列的通项公式变形为（），不妨设，由此总结得到等比数列的第n项就是指数函数当时的函数值，即。从等比数列角度，等比数列每一项就是指数函数取相应正整数时的函数值，即等比数列的通项公式就是指数函数时的离散函数。反之，已知指数函数，，…构成一个等比数列，其首项为,公比为，最终阐明等比数列通项公式与指数函数之间的关系，进一步为等比数列的判断指明了方向。
3.教学重点：探索并掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决实际问题.
二、目标与目标解析
目标：
（1）通过实例，理解并抽象出等比数列和等比中项的概念.
（2）探索并归纳出等比数列的通项公式，在此过程中发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.能运用通项公式解决简单的问题.
（3）通过等比数列的定义及等比数列与函数的关系，要求学生会判断和证明一个数列是等比数列．
目标解析：
达成上述目标的标志分别是：
给出一个数列会判断并能证明它是不是等比数列；给出两个数能准确判断是否存在等比中项。
能够正确利用等比数列的通项公式将实际问题转化为解方程问题，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养，并体会数学在实际生活中的价值。
知道等比数列与指数函数的关系后，已知数列的通项公式不计算能直观判断其是否为等比数列。
三、教学问题诊断解析
问题诊断
本节课对等比数列公比条件的限定是本节课的一个易错点，“非零”的常数列既是等差数列又是等比数列是本节的第二个易错点。为了让学生发现并解决这两个问题，我以实际问题入手让学生发现问题的本质。
等比数列通项公式的推导是本节的一个难点，我采用类比方法解决此问题。等差数列通项公式的推导采用了两种方法分别是：不完全归纳法和叠加法，通过类比等差数列让学生总结出等比数列通项公式的推导方法。其中不完全归纳法的间接代换学生可以完成；根据叠加法的原理教师积极的引导学生的思考方向进而总结得到叠乘法的过程，最终完成等比数列通项公式的推导。通过学生直接参与知识的产生过程，让学生体会到收获知识的喜悦。
等比数列与函数的关系是本节课的另一个难点。解决方案：我将等比数列的通项公式变形为（），不妨设，由此总结得到等比数列的第n项就是指数函数当时的函数值，即。从等比数列角度，等比数列每一项就是指数函数取相应正整数时的函数值，即等比数列的通项公式就是指数函数时的离散函数。
教学难点
等比数列与函数之间的关系。
四、教学支持条件分析
如何讲解等比数列与函数之间的关系是本节课的重点，为了突出这一重点，需要师生借助信息技术手段，通过指数函数的图象让学生发现等比数列的各项实际上就是指数函数取相应正整数时的函数值，体会等比数列（）就是指数函数（自变量是正整数）的合理性，因此本节课将采用PPT作为教学支持条件。
五、教学过程设计
引导语 上节课我们学习了等差数列，它的特点是“从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的呢？带着这个问题，我们来看下面问题中的数列:
1.情境引入
问题 1 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,…
问题 2 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
如果将“一尺之棰”看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
.
问题 3 某人存入银行元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是:
问题 4 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
[设计意图] 该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念
2.合作探究
探究 等比数列的定义？
问题5 请同学们结合上述实例子的运算特点和等差数列的定义总结等比数列的定义。
3.生成概念1
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
追问 1 如果一个数列是等比数列，它至少有几项？
追问 2 结合等差数列的定义式，将等比数列的文字定义转化为数学符号语言。
师生活动：通过类比等差数列归纳探究等比数列的通项公式。
师生活动：学生总结等比数列的定义式，教师点评注意事项。
[设计意图]让学生经历概念的自主建构过程，并让学生体会知识的完备性与纯粹
性。
巩固练习
例 判断下列数列是否是等比数列，若是，则公比是多少，若不是，请说明理由.
1）1，3，9，27，…； 是
是
1，0，1，0，…； 不是
2，2，2，2，…； 是
4，-8，16，-32，64，-128…； 是
不一定
注意事项（1）等比数列中各项均不能为0
（2）非零的常数列既是等差数列又是等比数列
问题 6 请同学们回忆等差数列的通项公式推导方法有哪些呢？
师生活动：方法有两种，分别是不完全归纳法和叠加法，类比等差数列的通项公式的推导方法，等比数列的通项公式也有两中推导方法。教师和学生共同完成等比数列的两种推导方法：
设等比数列，首项为，公比为
不完全归纳法：
叠乘法 ，共有（n-1）个等式
将这（n-1）个等式左右两边相乘得到
4.生成概念2 等比数列的通项公式：
[设计意图] 类比等差数列通项公式的推导方法，感受数学知识生产的过程，激发学生进一步学习的动力。
5.生成概念3
问题7 回忆等差中项的定义？
追问1 类比等差中项的定义，能否总结出等比中项的定义？
生成概念3 如果三个数组成等比数列，那么叫做的等比中项.
追问2 如何求等比数列的通项公式
师生活动
[设计意图]通过问题 7 通过类比等差数列的相关知识，进一步解析等比数列。
学以致用
下列两个数是否有等比中项？
（1）1，9
（2）-1，-4
（3）-1，1
师生活动 按照等比中项的定义，（1）有，答案是；（2）有，答案是 （3）没有
[设计意图]熟悉等比数列的等比中项。
知识深化
等比数列与指数函数的关系
师生活动
当时的函数值，即
反之，任意指数函数，则
[设计意图] 阐明等比数列通项公式与指数函数之间的关系，进一步为等比数列的判断指明了方向，也让学生更深层次的了解了数列实际上就是离散型函数的本质。
当堂检测 1 若等比数列的第4项和第6项分别是48和12，求的第5项.
师生活动：
解法一：通项公式法
解得
追问 还有没有其它的解题办法？
师生活动
解法二 等比中项法
[设计意图] 熟练本节课知识，通过解决实际问题，打开学生的思维， 体现知识的灵活性。
当堂检测 2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示
[设计意图] 本题的关键是利用等比数列的通项公式将等比数列的第项与任意一项联系起来，从而得出等比数列任意两项之间的关系。
当堂检测 3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.
[设计意图] 等差数列与等比数列知识的综合应用，体现知识间的内在联系。
7.总结提升
问题 8 回顾本节课的研究过程，我们是怎样来开展对等比数列进行研究的？
[设计意图]梳理本节课的研究问题和研究思路，让学生熟练掌握知识和技能，完善知识体系。
七、作业：解决生活中的实际问题 教材31页例4(共22张PPT)
4.3.1
等比数列的概念
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
一、回顾旧知
类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列值得研究？
1、细菌分裂过程
细菌个数
第一次
第二次
第三次
2
4
第 n 次
……
2,4,8,16,32,…
2n
分裂次数
8
二、情景展示(1)
在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就
通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各
次分裂产生的后代个数依次是
如果将“一尺之棰”看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
二、情景展示(2)
2.《庄子 天下》中提到:“一尺之棰，日取其半，
万世不竭.”
二、情景展示(3)
4.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
二、情景展示(4)
观察，并说出它们的运算特点.
它们的运算特点是：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
（2）
三、探究新知
（1）
（3）
（4）
2
9
100
5
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做____________ 常数叫做等 数列的_____
等比数列
二
比
同
等比数列.
公比
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列.常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
公比通常用字母q表示
比
1.等比数列的定义
判断下列数列是否为等比数列.若是，则公比是多少，若不是，请说明理由.
2)
5) 4，-8，16，- 32，64，-128…；
4) 2，2，2，2，2，…；
3) 1，0，1，0，1，…；
1) 1，3，9，27, …；
是
是
是
是
不是
2.巩固新知
不一定
结论：
（1）等比数列中各项均不能为0.
（2）非零的常数列既是等差数列又是等比数列.
用 ，和 表示
3.等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
不完全归纳法
叠乘法
叠加法
设等差数列
公差为d
设等比数列 ，公比为 q
，
4.等比数列的通项公式
注意：
5.等比中项
等差中项
等比中项
如果三个数 ,A, 组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项.
如果三个数 ,G, 组成等比数列，那么G叫做 和 的等比中项.
下列两个数是否有等比中项？
（1）1， 9
（2）-1，-4
（3）-1，1
6.变式训练
●
●
7.等比数列与指数函数的关系
●
●
●
思考：
类比指数函数的单调性，说说 时等比
数列的单调性.
结论：
解法1:
1.例1．
四、应用新知
解法2:
1.例1．
等比中项
2.例2.
解：由等比数列的通项公式可知
两式相除得
等比数列的任意一项
都可以由该数列的某
一项和公比表示
3.例3.
解：
等差数列 等比数列
定义
通项公式
函数角度
中项
等差数列与等比数列的类比
五、课堂小结
作业: 课本P31 例题4
