第五章 一元函数的导数及其应用
5.2.1基本初等函数的导数
教学设计
一、教学目标
1.能根据导数定义求常用函数的导数，掌握导数公式表并学会应用
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
二、教学重难点
1、教学重点
导数公式表的识记以及利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
2、教学难点
导数公式表的识记以及求简单函数的导数.
三、教学过程
1、新课导入
由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.那么思考一下，如何求函数的导数呢？
2、探索新知
根据导数的定义，求函数的导数，就是求当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.
1.函数的导数
因为，所以.
若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
2.函数的导数
因为，所以.
若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
3.函数的导数
因为，所以.
表示函数的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为.
4.函数的导数
因为，所以.
表示函数的图象上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5.函数的导数
因为，所以.
6.函数的导数
因为，所以.
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数. 一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用.
基本初等函数的导数公式
1. 若(为常数)，则；
2. 若，且，则；
3. 若，则；
4. 若，则；
5. 若，且，则； 特别地，若，则；
6. 若，且，则； 特别地，若，则；
下面让我们通过两道例题来加深对导数公式的学习吧.
例1 求下列函数的导数：
（1）；（2）.
解：（1）；
（2）.
例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价（单位：元）与时间：（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价，假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有，
所以.
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
3、课堂练习
1.对任意的，有，，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由知中含有项，然后将代入选项中验证可得.故选B.
2.若，，则下列的值中满足条件的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，，又，，当时，，可取.故选A.
3.设，，，…，，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，，，，，所以.故.故选A.
4.曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.或
答案：D
解析：切线的斜率，设切点的坐标为，则.又，，解得或，切点坐标为或.故选D.
5.已知，，若，则________________.
答案：1
解析：因为，，所以，且.所以，即，解得或(舍去).故.
4、小结作业
小结：本节课学习了导数公式表的识记以及求简单函数的导数.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.2.1基本初等函数的导数
基本初等函数的导数公式
1. 若(为常数)，则；
2. 若，且，则；
3. 若，则；
4. 若，则；
5. 若，且，则； 特别地，若，则；
6. 若，且，则； 特别地，若，则；(共22张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
导数的定义
复习
当 时，平均变化率 无限接近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数(也称瞬时变化率)，记作 或 ，即
从求函数 在 处导数的过程可以看到，当 时，
是一个唯一确定的数，这样，当 变化时， 就
是 的函数，称它为 的导函数，记作：
复习
导函数的定义
引入
探究
1.函数y=f(x)=c的导数
因为
所以
若y=c表示路程关于时间的函数，则y’=0可以解释为某物体瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
2.函数y= f(x)=x的导数
因为
所以
若y=x表示路程关于时间的函数，则y’=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
探究
3.函数y=f(x)=x2的导数
因为
所以
探究
4.函数y=f(x)=x3的导数
因为
所以
探究
y’=3x2表示函数y=f(x)=x3的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5.函数y=f(x)= 的导数
因为
所以
探究
6.函数y=f(x)= 的导数
因为
所以
归纳
新知
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c（c为常数） ，则f’(x)=c
2.若f(x)=xα(α∈Q且α≠0)，则f’(x)=αxα-1
3.若f(x)=sinx ，则f’(x)=cosx
4.若f(x)=cosx ，则f’(x)=-sinx
5.若f(x)=ax (a＞0且a≠1)，则f’(x)=axlna
特别地，若f(x)=ex ，则f’(x)=ex
6.若f(x)=logax (a＞0且a≠1)，则
特别地，若f(x)=lnx ，则
练习
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c（c为常数） ，则f’(x)=c
2.若f(x)=xα(α∈Q且α≠0)，则f’(x)=αxα-1
3.若f(x)=sinx ，则f’(x)=cosx
4.若f(x)=cosx ，则f’(x)=-sinx
5.若f(x)=ax (a＞0且a≠1)，则f’(x)=axlna
特别地，若f(x)=ex ，则f’(x)=ex
6.若f(x)=logax (a＞0且a≠1)，则
特别地，若f(x)=lnx ，则
练习
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c（c为常数） ，则f’(x)=c
2.若f(x)=xα(α∈Q且α≠0)，则f’(x)=αxα-1
3.若f(x)=sinx ，则f’(x)=cosx
4.若f(x)=cosx ，则f’(x)=-sinx
5.若f(x)=ax (a＞0且a≠1)，则f’(x)=axlna
特别地，若f(x)=ex ，则f’(x)=ex
6.若f(x)=logax (a＞0且a≠1)，则
特别地，若f(x)=lnx ，则
练习
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c（c为常数） ，则f’(x)=c
2.若f(x)=xα(α∈Q且α≠0)，则f’(x)=αxα-1
3.若f(x)=sinx ，则f’(x)=cosx
4.若f(x)=cosx ，则f’(x)=-sinx
5.若f(x)=ax (a＞0且a≠1)，则f’(x)=axlna
特别地，若f(x)=ex ，则f’(x)=ex
6.若f(x)=logax (a＞0且a≠1)，则
特别地，若f(x)=lnx ，则
练习
练习
练习
利用导数的几何意义求切线方程的分类
(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．
(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．
归纳
例题
例2 假设某地20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间(单位：年)之间的关系为p(t)=p0(1+5%)t
其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1，那么在第10年头，这种商品的价格上涨速度大约是多少(精确到0.01元/年)
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
p'(t)=1.05tln1.05
所以 p'(10)=1.0510ln1.05≈0.08
所以在第10年头，这种商品的价格上涨速度大约是0.08元/年
小结
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c（c为常数） ，则f’(x)=c
2.若f(x)=xα(α∈Q且α≠0)，则f’(x)=αxα-1
3.若f(x)=sinx ，则f’(x)=cosx
4.若f(x)=cosx ，则f’(x)=-sinx
5.若f(x)=ax (a＞0且a≠1)，则f’(x)=axlna
特别地，若f(x)=ex ，则f’(x)=ex
6.若f(x)=logax (a＞0且a≠1)，则
特别地，若f(x)=lnx ，则
作业
P75 课本 练习 1、练习4
本节课结束，谢谢大家。
