5.2.2 导数的四则运算法则
一、内容与内容解析
1.内容：导数的四则运算法则
2.内容解析：在此之前已经学习了导数的定义、物理以及几何含义、求导公式，而我们在面对一个函数时，，不可能是简简单单的基本初等函数，有可能是基本初等函数经过加减乘除等法则的运算，也可能会出现复合函数求导问题，如果我们继续采用定义法求导，会增大运算量，其次极限的运算也是及其复杂，所以为我们再次探究导数的四则运算做好铺垫
3.教学重点：体会四则运算法则的探究过程；能灵活运用导数的四则运算法则求函数导数.
二、目标与目标解析
目标：1. 理解并掌握导数的四则运算法则；2. 用导数的四则运算法则求简单函数的导数.
目标解析 不仅要知道导数的四则运算法则也要知道其探究过程，这也是新课标的一种理念，让学生经历探究过程，知其然知其所以然；通过具体函数，学生会用导数的四则运算法则求导
三、教学问题诊断解析
导数的四则运算法则中加减的探究过程以及应用比较容易理解与接受，但是积、商求导法则的探究需要运用大量的极限运算，而这一部分是学生所欠缺的，相比比较难理解。
教学难点：函数积、商的求导法则.
四、教学过程设计
复习回顾
基本初等函数的导数公式
1. 若则；
2.若 （∈Q，且≠0），则；
3.若，则；
4.若 ，则；
5.若 (, 且) ，则；
特别地，若，则;
6. (, 且)，则；
特别地，若，则.
【设计意图】回顾上节课的求导公式
问题探究
问题1 我们怎样求一个函数的导数？
导数的定义（求增量、算比值、求极限）；
直接通过公式得到基本初等函数的导数.
【设计意图】帮助学生回忆定义法求导数以及基本初等函数的求导公式
问题2 如何求函数的导数？
目前，我们只能通过定义来求其导数.
设，由导数的定义，
【设计意图】具体实例定义法求导
问题3 观察，，；与导数，，.你有什么发现和猜想？
；.
【设计意图】通引导学生探究发现导数的加法（减法）法则。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
大胆猜想：.
小心论证 设 y ＝ f (x) ＋ g (x) ，则
【设计意图】通过特殊的例子让学生先直观感知导数加法法则，然后大胆猜想最后小心论证
总结归纳
函数和、差的求导运算法则
一般地，对于两个函数的和（或差）的导数，我们有如下法则：
例1 求下列函数的导数：
（1）； （2）；
【设计意图】以课本实例演示求导过程
练习1.
【设计意图】通过讲一个例题然后再做一个习题的方式，检验学生的掌握情况
问题4 以 ，为例，计算与，看看是否相等？
，，
所以.
【设计意图】以探究加减法的“套路”去研究乘除法则，先特殊后一般，先猜想后证明
追问：再验算 与商的导数是否等于它们导数的商？
【设计意图】类比加减法的方式去尝试一下商的导数，这对学生要求较高，学生观察不出来，只能通过定义去证明，用定义证明时，也需要极限的运算，这一部分是学生欠缺的，需要慎重处理。
函数积、商的求导运算法则
事实上，对于两个函数的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
由函数乘积的导数法则可以得出
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即：
例2 求下列函数的导数：
；
总结 函数的导数的策略
(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．
(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．
练习2
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
（1）求净化到纯净度为和，所需净化费用的瞬时变化率.
（2）根据计算结果能得出哪些结论？
【设计意图】此题是课本例题，不禁让我们产生疑问，学导数有什么用呢？通过此题可以很好的解决学生的疑问，通过导数可以简化运算，从而解决生活中的实际问题，再次数学来源于生活理应再回到生活中去。
例4 已知函数
(1)求函数的导数
(2)求函数的图象在处的切线方程.
【设计意图】主要考察导数的几何含义，与定义法求导相比，体现出求导公式与法则的魅力，该题型也是高考常考内容之一。
问题5 我们学习了哪些知识内容？
导数的四则运算法则及运用导数的四则运算法则求函数的导数.
【设计意图】通过本节课的学习，让学生回顾所学内容，有个整体把握。
追问： 你有哪些收获？
运用函数的导数运算法则求函数的导数，比用导数定义求函数的导数要方便很多.
运用导数运算法则可以求很多初等函数的导数，这有助于研究更多函数的性质.
【设计意图】学习本节课的意义就是可以简化运算，体现出求导法则的作用
板书设计
5.2.2 导数的四则运算法则
对于两个函数和，有如下法则：
；
；
；
.(共24张PPT)
5.2.2 导数的四则运算法则
学习目标：
1. 理解并掌握导数的四则运算法则；
2. 用导数的四则运算法则求简单函数的导数.
教学重点：
能灵活运用导数的四则运算法则求函数导数.
教学难点：
函数积、商的求导法则.
基本初等函数的导数公式
复习回顾
问题1 我们怎样求一个函数的导数？
导数的定义（求增量、算比值、求极限）；
直接通过公式得到基本初等函数的导数.
问题2 如何求函数的导数？
问题探究
目前，我们只能通过定义来求其导数.
设，由导数的定义，
问题3 观察，，；与导数，，.你有什么发现和猜想？
；.
大胆猜想：.
所以
所以
即
同理可证：
所以
小心论证设 f (x) ，g (x) 均为可导函数， y ＝ f (x) ＋ g (x) 则
一般地，对于两个函数的和（或差）的导数，我们有如下法则：
函数和、差的求导运算法则
总结归纳
（课本P76）例1 求下列函数的导数：
（1）； （2）；
例题讲解
解：（1）
（2）
练习1.
问题4 以 ，为例，计算与，看看是否相等？
追问：再验算 与商的导数是否等于它们导数的商？
，，
所以.
小心论证 设 f (x) ，g (x) 均为可导函数，y ＝ f (x) . g (x) 则
所以
所以
即
所以
同理可证 设 f (x) ，g (x) 均为可导函数，y ＝
所以
所以
即
所以
事实上，对于两个函数的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
函数积、商的求导运算法则
由函数乘积的导数法则可以得出
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即：
（课本P77）例2 求下列函数的导数：
；
解：（1）
总结
求函数的导数的策略
(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．
(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．
练习2 求的导数
（课本P77）例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
1.求净化到下列纯净度，所需净化费用的瞬时变化率;
（1） （2）.
解
所以
(1)因为，所以净化到纯净度为，净化费用的瞬时变化率为元/吨.
(2)因为，所以净化到纯净度为，净化费用的瞬时变化率为21元/吨.
2.根据计算结果能得出哪些结论？
净化到纯净度为时净化费用的变化率是净化到纯净度为时的倍.
即净化到纯净度为98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净度为90%时净化费用变化快慢的倍.
这说明水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快。
(1)．
例4 已知函数
(1)求函数的导数
(2)求函数的图象在处的切线方程.
(2)由题意可知切点的横坐标为，
所以切线的斜率是，
切点纵坐标为，
故切点的坐标是，
所以切线方程为，即．
问题5 我们学习了哪些知识内容？
导数的四则运算法则及运用导数的四则运算法则求函数的导数.
追问： 你有什么感受？
运用函数的导数运算法则求函数的导数，比用导数定义求函数的导数要方便很多.
运用导数运算法则可以求很多初等函数的导数，这有助于研究更多函数的性质.
基础题组 课本P78练习123
拔高题组课本P81习题5.2 456
课后作业
再会！
