河北省任丘市名校2022-2023学年高三上学期期中阶段考试数学试题（PDF版含答案）

任丘名校 2022-2023 年第一学期期中阶段考试
高三数学试题
考试范围：高中全部
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 A x x 1 0 ，B x 1 x 6 ，则 A B （ ）
A． ,6 B． 6,1 C． 1,1 D． ,1
2．已知函数 f x 2ex f 1 x f 1，则 lim （ ）
x 0 2 x
e e
A． B． C．e D． e
2 2
3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A、B两点，从 A、B 两点分别测得树尖的仰角为 30°，
45°且 A、B 两点之间的距离为 60m，则树的高度为（ ）
A． 30 3 30 m B． 15 3 30 m
C． 30 3 15 m D． 15 3 15 m
4．如图，某圆锥的轴截面 ABC是等边三角形，点 D 是线段 AB的中点，点 E在底面圆的圆周上，
且 B E的长度是C E长度的两倍，则异面直线DE与 AC 所成角的余弦值是（ ）
1
A． 6 B． 10 C． D． 15
4 4 4 4
1
5．设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B不发生的概率与 B发生 A 不发生 的概
9
率相同，则事件 A 发生的概率 P(A)是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 3 9 18
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6．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如
t
果物体的初始温度为T0 ，则经过一定时间 t 分钟后的温度 T 满足T T 1
h
c T0 Tc ，其中Tc
2
是环境温度，h为常数．现有一个 105℃的物体，放在室温 15℃的环境中，该物体温度降至 75℃
大约用时 1分钟，那么再经过 m 分钟后，该物体的温度降至 30℃，则 m的值约为（ ）
（参考数据： lg 2 0.3010， lg 3 0.4771）
A．2．9 B．3．4 C．3．9 D．4．4
7．已知等比数列 an 满足 a1 0，则“ a1 a4 ”是“ a3 a5 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在平面直角坐标系中，直线 y kx m k 0 与 x轴和 y 轴分别交于 A，B两点，AB 2 2 ，
若CA CB，则当 k ，m变化时，点C到点 1,1 的距离的最大值为（ ）
A．4 2 B．3 2 C．2 2 D． 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．中国正在从电影大国迈向电影强国．下面是 2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，
国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（ ）
A．2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，国
产影片数量占比不低于50%
B．2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，国
产影片数量占比逐年提高
C．2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量
的平均数
D．2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的
方差
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10．设 a，b 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若 a∥b,b∥ ，则 a∥ B．若 a∥b,a∥ ,b∥ ，则 ∥
C．若 a b,a ,b∥ ，则 D．若 a ,b∥ ，则 a b
11．如图 1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 ts时相对于平衡位置的高度 h(单位：cm)由关系
式 h t Asin t (A 0, 0)确定， h t 关于 t的函数图象如图 2，则下列叙述中正确
的是（ ）
A．函数h t 的周期为 2
h t t k 1B．函数 的对称轴为 k Z
4
3 1
C．函数h t 的单调增区间为 2k , 2k 4 4
k Z

D．函数h t 的图象可由函数 y 2sin t 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍得到
4
12．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土
星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系 xOy中，M 2,0 ，N 2,0 ，动点 P
满足 PM PN 5，其轨迹为一条连续的封闭曲线 C．则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 C 与 y 轴的交点为 0, 1 ， 0,1 B．曲线 C 关于 x 轴对称
C．△PMN 面积的最大值为 2 D． OP 的取值范围是 1,3
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知向量a 2,k ，向量b 3, 1 ，a b 与b 垂直，则a 与b 夹角的余弦值为__________．
6
14． x2 2 1 4 x 的展开式中 x 的系数是________（用数字作答）．
x
15．设 z C，且 z 1 z i 0，则 z i 的最小值为________．
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16．已知椭圆 C 的一个焦点为 F 0,1 ，椭圆 C上的点到 F 的距离的最小值为 1，则椭圆 C 的标准
方程为___（2 分）；若 P为椭圆 C上一动点，M 3,3 ，则 PM PF 的最小值为__ _（3 分）．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a
17．（10 分）已知数列 an 中 a1 0， n 1 3， * ．an 2 n N
（1）证明数列 an 3 是等比数列，并求 an 的通项公式；
a 3
（2）记bn n an 2 an 1 2
，Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求证： 4Tn 1．
18．（12 分）已知△ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a 7, b 3， ．

AC CB 33 1 2cos A 7在① ；② ；③ sin A 2 3 cos2 A ．这三个条件中任选一个，补
2 2cosB 1 3 2
充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
（1）求△ABC的面积 S；
（2）求角 A 的平分线 AD的长．
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19．（12 分）在四棱锥M ABCD中，四边形 ABCD为平行四边形，△ADM 是等边三角形，
BD MA．
（1）证明： BM BA；
（2）若 BM BA ， BD AD 2 ，求二面角 B MC D的正弦值．
20．（12 分）2020 年初，面对突如其来的新冠肺炎疫情，某省体育局适时推出线上万人健步走活
动，全省 14 万人参赛，掀起了一场前所未有的“健步走热潮”，该省今年将继续举办线上万人健
步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中
国共产党百年华诞献礼．为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取
了 60 人，将他们的年龄分成 7 段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，
70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这 60 人年龄的平均数，并求中位数的估
计值；
（2）若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取 3人，这 3人中年龄不低于 60 岁的人数为 X，求 X
的分布列及数学期望．
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2 2
21．（12 分）已知椭圆C : x y 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，点 P，Q 为椭圆 Ca2 b2
上任意两点，且点 P， F1 ，Q 三点共线，若三角形PQF2的周长为 8，离心率 e
2
．
2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设椭圆 C 外切于矩形 ABCD，求矩形 ABCD面积的最大值．
22．（12 分）已知函数 f x ln x， g x x2 x 1．
（1）求函数 h x f x g x 的单调区间；
（2）若直线 l 与函数 f x ， g x 的图象都相切，求直线 l 的条数．
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答 案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A【解析】由 x 1 0 x 1，所以 A x x 1 ，所以 A B ,6
2．【答案】D【解析】 f x 2ex ，则 f 1 2e，
f 1 x f 1 f 1 x f 1lim 1 lim 1 f ( 1) e ，故选 D．
x 0 2 x 2 x 0 x 2
3．【答案】A【解析】在△ABP中， APB 45 30 ，
sin APB sin(45 30 ) 2 3 2 1 6 2所以 ，
2 2 2 2 4
1
PB AB sin 30
60
由正弦定理得 2 30( 6 2) ，
sin APB 6 2
4
所以，树的高度为30( 6 2)sin 45 30 3 30，故选 A．
4．【答案】B【解析】如图所示：取BC中点为O，BO中点为F ，连接OE、DO、DF、FE，
在△ABC中，D、O分别为 BA、BC的中点，所以DO∥AC，
所以异面直线DE与 AC所成角为 ODE．
设 OE r，则 AB AC 2r， DO r, AO 3r, DF 3 r, OF 1 r，
2 2
2
因为B E的长度是C E长度的两倍，所以 EOF ，3
在△OEF 中， EF r2 1 r2 2r 1 r cos 2 7 r，
4 2 3 2
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又因为 AO 平面BCE，DF∥AO，所以DF 平面 BCE，
又EF 平面 BCE，所以DF EF ．在Rt DEF中， DE 3 r2 7 r2 10 △ r，
4 4 2
10 r
在△DOE中， OD OE r，所以 cos ODE
10
4 ，故选 B．
r 4
5 1．【答案】A【解析】由题设条件可得 P(A)P(B) P(A)P(B) ，P(A)P(B) ，
9
1
又 P(A) 1 P(A)且P(B) 1 P(B) ，解得 P(A) P(B) ，
3
所以 P(A) 1 P(A) 2 ，故选 A．
3
6．【答案】B【解析】由 1 ，有 1 ，
1 h h75 15 105 15
1 2

2 2 3
m m
m 2 1
h
30 15 1 75 15 1
h 1 2 1 m lg lg
又 ，有 ，即2 2 4 3
，则 3 4，解得
4
m lg 4 2lg 2 3.4
lg 2 lg3 lg3 lg 2 ，故选 B．
7．【答案】A【解析】设等比数列 an 的公比为q，由 a 31 a4 ，即 a1 a1q ，
又 a 3 2 4 21 0，则1 q ，即 q 1，则当 q 1时，由 a3 a5 a1q a1q a1q 1 q2 0，
此时 a3 a5，即由“ a1 a4 ”可得到“a3 a5 ”成立；由 a3 a ，即 a
2 4 2
5 1q a1q ，即 q 1，
即 q 1或 q 1， a a a a q31 4 1 1 a1 1 q3 ，
若 q 1时， a1 a4 a1 1 q3 0， a1 a4 成立；
若 q 1时， a1 a4 a1 1 q3 0，则 a1 a4 不成立，
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所以若“ a3 a5 ”则“a1 a4 ”不成立，
所以“ a1 a4 ”是“a3 a5 ”的充分不必要条件，故选 A．
8 m．【答案】B【解析】由 y kx m k 0 ，得 A( ,0),B(0,m)，
k
m
故由 AB 2 2 ，得 ( )2 m2 8，由CA CB，得
k AC BC 0
，
2 2
设C(x, y)，则 (x m , y) (x, y m) 0，即 (x mk )
2 (y m )2 m m 2 ，即点 C轨2k 2 4k 4
迹为一动圆，设该动圆圆心为 (x , y ) m ，则 x , y m k y ，整理得 ,m 2y ，
2k 2 x
m
代入到 ( )2 m2 8中，得 x 2 y 2 2，即 C轨迹的圆心在圆 x 2 y 2 2上，
k
故点 1,1 与该圆上的点 ( 1, 1) 的连线的距离加上圆的半径即为点C到点 1,1 的距离
的最大值，最大值为 [1 ( 1)]2 [1 ( 1)]2 2 3 2，故选 B．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的
得 0 分．
9．【答案】ACD【解析】对于 A，2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，
每年的国产影片数量均大于等于 5部，故国产影片数量每年的占比都不低于50%，A
正确；
对于 B，2020年国产影片占比为100%，2021年国产影片占比为80%，故国产影片数
量占比并非逐年提高，B错误；
对于 C，2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为
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37 13
7.4，进口影片数量平均数为 2.6，C正确；
5 5
对于 D，2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为
1
5 7.4
2 6 7.4 2 8 7.4 2 10 7.4 2 8 7.4 2 3.04；5
进口影片数量的方差为
1
5 2.6 2 4 2.6
2 2 2.6 2 0 2.6 2 2 2.6 2 3.04，D正确，故选 ACD．
5
10．【答案】ABC【解析】A：当a 时，a∥b,b∥ 可以成立，本选项结论不正确；
B：当 c时，若 a∥b,a ,b ，此时 a∥ ,b∥ 成立，因此本选项结论不
正确；
C：当 ∥ 时，若b ，a ，此时 a b,b∥ 成立，因此本选项结论不正确；
D：因为b∥ ，所以 ，b , d ，所以b∥d，
而a ， d ，所以 a d ，
而b∥d，所以a b，因此a b，所以本选项结论正确，
故选 ABC．
11 3 ．【答案】ABC【解析】由题意和图象可知 A 2， h 0 2 ， h 4 0，
2 2k 3 所以 2sin 2，即 sin ，所以 或 2k ， k Z，
2 4 4

因为 x 0在增区间内，所以 2k ， k Z．所以
4
h(t) 2sin( t 2k ) 2sin( t )，
4 4
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h(3) 2sin(3 因为 ) 0 3 3 ，所以 sin( ) 0，结合图象可知， x 在减区间
4 4 4 4 4 4
3 8k
内，所以 2k ， k Z，解得 ， k Z．
4 4 3
T 3 T 3 3 3 2 2 4
根据图象可知， 且 ，所以 T 3，所以 3，解得 ，
4 4 2 4 2 2 3 3
所以 ，故 h(t) 2sin( t 2 )，对 A：T 2，故 A正确；
4
对 B ：令 t k 1 ， k Z，解得 t k ， k Z，
4 2 4
所以函数h t 1的对称轴为 t k k Z ，故 B正确；
4

对 C：令 2k t 2k ， k Z，解得 2k
3
t 2k 1 ， k Z，
2 4 2 4 4
3 1
所以函数h t 的单调增区间为 2k , 2k k Z ，故 C正确； 4 4
D y 2sin 对 ：函数 t

图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍得到函数
4
y 2sin( t )，故 D错误，故选 ABC．
4
12．【答案】ABD【解析】设点 P(x, y) ，依题意[(x 2)2 y 2][(x 2)2 y 2] 25 ，
整理得 x2 y2 16x2 25 4，
对于 A，当 x 0时，解得 y 1，即曲线 C与 y轴的交点为 0, 1 ， 0,1 ，A正确；
对于 B，因 x2 ( y)2 x2 y2 16x2 25 4 ，由 y换 y 方程不变，曲线 C关于 x
轴对称，B正确；
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对于 C 3 3，当 x2 时，y2 ，即点P( 6 , 6 )在曲线 C上，2 2 S
1 6
△PMN |MN | 6 ，2 2 2 2
C不正确；
对于 D，由 y2 16x2 25 4 x2 0 ，得 x4 8x2 9 0，解得0 x2 9，
于是得 |OP |2 x2 y2 16x2 25 4 [1,9] ，解得1 OP 3，D正确，
故选 ABD．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13 2．【答案】 【解析】∵向量a 2,k ，向量b 3, 1 ，∴a b 1,k 1 ，
2
由于a b与b 垂直，所以 1,k 1 3, 1 3 k 1 0，即 k 4，
a 2,4 a a b 6 4 10 2则 ，所以 与b 的夹角的余弦值是 ，
a b 2 5 10 10 2 2
故答案为 2 ．
2
6
14 1．【答案】27【解析】 1 r 6 r r r r 6 2r x 的第 r 1项为Tr 1 C6 x ( ) ( 1) C x ，
x x
6
6
令6 2r 2，6 2r 4，得 r 2， r 1，代入通项可得 1 x 展开式中的 x
2 和 x4
x
项分别为15x2 和 6x4，分别与 x2 和 2相乘，得 6 的展开式中 x4 项为
x2 2 x 1
x
15x4 12x4 27x4，故 x4 的系数为 27，故答案为 27．
15．【答案】 2 【解析】设 z a bi,a、b R ，则 a 1 bi a (b 1)i ，
2
即 a 1 2 b2 a2 (b 1)2 ，化简得 a b．
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2
所以 z i a (b 1)i a2 (b 1)2 2b2 2b 1 2 1 1 b 2
，
2
1 1
所以当 a ,b 时，
2 2 z i
2 2
，故答案为 ．
min 2 2
y2 216 x．【答案】 1，1【解析】因为椭圆 C的一个焦点为F 0,1 ，所以椭圆 C的
4 3
焦点在 y轴上，且c 1，因为椭圆 C上的点到 F的距离的最小值为 1，所以a c 1，
y2 x2
2 2 2 1
得a 2，因为b a c 3，所以椭圆 C的标准方程为 4 3 ，
2 2
将M 3,3 代入椭圆方程，得 3 3 63 1，所以 M点在椭圆外，
4 3 12
作图如下：设椭圆 C的另一个焦点为F ，则 PF PF 4，
所以 PM PF PM PF 4．
当 F ，P，M三点共线时， PM PF 取得最小值，
且最小值为 MF 3 0 2 3 1 2 5，
所以 PM PF 的最小值为 1，故答案为 y2 x2 ，1．
1
4 3
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
17．【答案】（1）证明见解析， a 3nn 3；（2）证明见解析．
a
【解析】（1）由 n 1 3，可得 an 1 3an 6，即an 1 3 3an 9 3 aa 2 n 3 ，即n
an 1 3 3，又 ，故 a 3 是以 3为首项，3为公比的等比数列，
a a 3 1 0 n n
高三数学试题第 13 页 共 6 页
an 3 3 3
n 1 ， a nn 3 3．
（2）由（1）知 a nn 3 3，
b an 3 3
n 1 ( 1 1故 n ) a n n 1n 2 an 1 2 3 1 3 1 2 3n ， 1 3n 1 1
T 1 ( 1 1 1 1 1 1n )2 3 1 32 1 32 1 33 1 3n 1 3n 1 1
1 ( 1 1 1 1 1 1 n 1 ) ，所以 4T 1．2 3 1 3 1 4 2 3n 1 1 4 n
18 15．【答案】（1）条件选择见解析，15 3 ；（2）条件选择见解析， ．
4 8

1 33 33【解析】（ ）选①：因为 AC CB ，所以 abcos(π C) ，
2 2
cosC 11又a 7，b 3，所以 ，所以 sinC 5 3 ，所以 S 114 absinC
15 3
．
14 △ABC 2 4
1 2cos A 7 a sin A
选②：因为a 7，b 3，所以由正弦定理可得 ，
2cosB 1 3 b sin B
所以 sin B 2sin Bcos A 2sin AcosB sin A，
sin A sin B 2sin Bcos A 2sin AcosB 2sinC，由正弦定理可得a b 2c，所以
2 2 2
c 5，由余弦定理可得 cos A b c a 1 ，
2bc 2
A (0, ) A 2 由 ，所以 ，所以
3 S
1
△ABC bc sin A
15 3
．
2 4
选③：因为 sin A 2 3 cos2 A A A A，所以 2sin cos 2 3 cos2 ，
2 2 2 2
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A (0, ) cos A 0 tan A 3 A 2 由 ， ，所以 ， ．由余弦定理可得
2 2 3
2 2 2
cos A b c a 1 ，所以c 5，所以 S 1 bc sin A 15 3 ．
2bc 2 △ABC 2 4
（2）选①：由余弦定理可得 c2 b2 a2 2abcosC 25，所以 c 5，
2 2 2 2
所以 cos A b c a 1 ，由 A (0, )，所以 A ．
2bc 2 3
因为 S 1 b AD sin A 1 c A 15 3
15
△ABC AD sin ，所以可解得 AD ．2 2 2 2 4 8
1 A 1 15选②：因为 S△ABC b AD sin c AD sin
A 15 3
，所以可解得 AD ．
2 2 2 2 4 8
1 15选③：因为 S△ABC b AD sin
A 1 A 15 3
c AD sin ，所以可解得 AD ．
2 2 2 2 4 8
19．【答案】（1）证明见解析；（2） 4 3 ．
7
【解析】（1）取 AM的中点 N，连接 DN，BN，
∵△ADM 是等边三角形，∴AM⊥DN，
又 BD MA， BD DN D，∴AM⊥平面 BDN，
又BN 平面 BDN，∴AM⊥BN，又 N为 AM的中点，∴ BM BA．
（2）∵BM BA， BD AD 2，△ADM 是等边三角形，
∴BN 1,DN 3， BD2 BN 2 DN 2，∴ BN DN，
又 AM BN，AM NB N ，∴BN 平面 ADM，
如图建立空间直角坐标系，
则 B 0,0,1 ,D 3,0,0 ,M 0,1,0 , A 0, 1,0 ，
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∴ BC AD 3,1,0 ,BM 0,1, 1 ,DM 3,1,0 ,DC AB 0,1,1 ，
设平面 BMC的法向量为m x1, y1, z1 ，

BM m y
则 1
z1 0
，令 x1 1，则 y1 z1 3，∴m 1, 3, 3 ；
BC m 3x1 y1 0


DMC
DM n 3x y 0
设平面 的法向量为n x2 , y 2 22 , z2 ，则 ，令 x2 1，则
DC n y2 z2 0
cos m,n m n 1 3 3 1y 3, z 3，∴n 1, 3, 3 ，∴ 2 2 ，∴m n 7 7
sin m,n 4 3 ，∴二面角B MC D的正弦值为 4 3 ．
7 7
20．【答案】（1）平均数为 37，中位数估计值为 35；（2）分布列见解析，数学期望为
1．【解析】（1）这 60人年龄的平均数为
15 0．15 25 0．2 35 0．3 45 0．15 55 0．1 65 0．05 75 0．05 37．
前两组所占频率之和为 0．015 0．020 10 0．35，
前三组数据频率之和为 0．015 0．020 0．030 10 0．65，
设中位数估计值为 x，则0．35 0．030 x 30 0．5，解得 x 35．
（2）由题意可知，年龄在[50，60）内的人数为 6，[60，70）内的人数为 3，X的可
C3C0 20 5 C 2C1 45 15
能取值有 0，1，2，3． p X 0 6 33 ， P X 1 6 33 ，C9 84 21 C9 84 28
P X 2 C
1C 26 3 18 3
0 3
，3 P X
C C 1
3 6 3 ，∴X的分布列为
C9 84 14 C
3
9 84
X 0 1 2 3
5 15 3 1
P
21 28 14 84
高三数学试题第 16 页 共 6 页
E X 0 1 15 2 3 3 1 1．
28 14 84
2 2
21．【答案】（1） x y 1；（2）12．
4 2
【解析】（1）解：因为三角形 PQF 22的周长为 4，所以 4a 8，则a 2，又∵ e ，2
2
∴ x y
2
a 2c，∴c 2，∴b2 4 2 2，所以椭圆 C的方程为 1．
4 2
（2）当矩形 ABCD中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，
此时 SABCD 4 2 2 8 2 ；当矩形 ABCD的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨
设直线 AB的方程为： y kx m，则CD的方程为 y kx m．
1 1
AD的方程为 y x n， BC的方程为 y x n．
k k
y kx m

由 x2 y2 ，得 1 2k 2 x2 4kmx 2 m2 2 0，
1
4 2
4
令 Δ 0，得m2 4k 2 2，同理得 n2 ．
k 2
2
2m 2n
矩形 ABCD的边长分别为 AD ， AB ．
1 k 2 1 1
k 2
8 2k 2 1 2 1 k 22m 2n 4 mnk k 2
∴ S ABCD
1 k 2 1 1
1 k 2 1 k 2

k 2
高三数学试题第 17 页 共 6 页
8 2 1 1 8 2
1
12，当且仅当 k 1时取等号，
2 k
2 2 4
k
所以矩形 ABCD面积的最大值是 12．
22．【答案】（1）在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减；（2）两条．
【解析】（1）解：由题设h x f x g x ln x x2 x 1，定义域为 0, ，
2 2x 1 x 1
则 h x 1 2x 1 2x x 1 ，
x x x
当0 x 1时， h x 0；当 x 1时， h x 0，
所以h x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减．
（2）解：因为 f x ln x 1， g x x2 x 1，所以 f x ， g x 2x 1，
x
设直线 l分别与函数 f x ， g x 的图象相切于点 A x1, ln x1 ， B x , x22 2 x2 1 ，
2
则 f x1 g x k
1 ln x x x 1
2 AB，即 2x 1 2 2x 2
1 ，
1 x1 x2
1 ln x x2 x 1 x x
由 1 2 2 ，得 1 2 ln x1 x
2
2 x2 1，x x x1 1 x2 1
1 x x即 2 ln x1 x
2 2 2
x 2
x2 1，即 ln x1 x2 x2 2 0，
1 x1
1 x 2
由 2x 1
1 x1 1 x1 1 x1 1
x 2
1，得 x2 ，代入上式，得2x ln x1 2 2 0
，
1 1 2x1 2x1 2x1
x 2 1 x 1 2即 ln x 11 2 2 0，则

F x 1 1 7 ln x 2 2 ln x ，4x1 4x 2x 4x2 4
1 1 1 2x2设 F x x 1
2x 1 x 1
2 3 3 3 x 0 ，x 2x 2x 2x 2x
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当0 x 1时， F x 0；当 x 1时， F x 0，
所以F x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增．
2 2
1 e2 1 e2
因为F x F 1 1 0 2 2 min ， F e ln e 4 2 0 ，4e 4e4
则F x 在 1, 上仅有一个零点．
2
因为 F e 2 2 e e
4 7 e2 4 e4 7
0 ，则F x 在 0,1 上仅有一个零点．
2 4 4 2 4
所以F x 在 0, 上有两个零点，故与函数 f x ，g x 的图象都相切的直线 l有两
条．
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