教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
2、能用公式进行简单的求值.
3、培养学生的创新意识与应用意识.
教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用.
教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系
2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系.
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体
教学过程：
1、 复习巩固
上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15 =cos(45 -30 )
之类问题，而cos75 =cos(45 +30 ) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？
2、 公式推导
借助于两角差的余弦公式cos()=coscos+sinsin,则有：
思考途径一：把转化为
cos()=cos[]=coscos(-)+sinsin(-)
=coscos-sinsin.
思考途径二：把任意角换成-
cos()=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.
即：
两角和的余弦公式 cos()=coscos-sinsin.
注意：1两角和差余弦公式的异同之处.
2两角和、差余弦公式间的关系.
3公式中的角具有任意性.
4 cos()=cos + cos一定成立吗？
练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值
（1） cos75 （2） cos105
练习2、证明公式 cos(-)=sin
如何利用两角和与差的余弦公式 cos()=coscos-sinsin和 cos()=coscos+sinsin推导出两角和与差的正弦公式？
运用公式cos()=coscos-sinsin及诱导公式有：
sin(=cos[]=cos[]
=cos()cos+sin()sin= sincos+cossin
即：两角和的正弦公式 sin(= sincos+cos sin.
在上式中用-代换 得：sin(= sincos（-）+cossin（-）
即：两角差的正弦公式 sin(= sincos-cossin
注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.
2 两公式间的关系、异同.
3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.
4牢记公式，熟练左右互化.
练习3、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值
(1) sin75 (2) sin105
练习4、证明公式 sin(-)=cos
如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？
利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos()≠0时，将公式sin(= sincos+cos sin 与 cos()=coscos-sinsin两边分别相除，有：
若coscos≠0 时，上式即为:
两角和的正切公式
用-代换，则有：
两角差的正切公式
练习5、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值
(1) tan75 (2) tan105
注意：
1、 和角公式: S、 C 、 T
差角公式： S、 C 、 T
2、公式之间的内在联系.
3、明确各三角函数的意义.
4、公式的逆向变换、多向变换.
5、理解公式推导中角的代换的实质.
6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例
如：
7、形如asinx+bsinx(a、b不同时为0)的变化.
三、例题
例1、（利用两角和与差的余弦公式解题）
（1）求cos20 cos70 -sin20 sin70 的值.
（2）在ΔABC中，已知sinA=, cosB= , 求cosC的值.
例2、（利用两角和与差的正弦公式解题）
(1) 求sin72 cos42 -cos72 sin42 的值.
(2) 已知cos=,(0,),求sin().
(3) 求的值.
例3、（利用两角和与差的正切公式解题）
（1） 求的值.
（2） 设求 的值.
例4、 已知
求 的值.
分析：由于，可通过求出和的正、余弦值来求.
四、练习：P146.1～7
五、作业：P152-4.5.6.7.8.9.10
六、课堂小结：通过对和差公式的探索、推导和初步应用，体会和认识公式的特征及功能.
七、教学后记：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2沿X轴平行移动
横坐标伸长或缩短
纵坐标伸长或缩短
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
教学目标：让学生了解正弦函数、余弦函数图象的画法及其图像的特征．
教学重点：五点作图法画正、余弦函数的图象，正、余弦函数图像的特征．
教学难点：1、正弦函数图像在内的画法
2、由拓展为R上的正、余弦函数的图像
教学用具: 多媒体
教学类型：新授课
教学过程：
一、复习与巩固
1、诱导公式
规律：奇变偶不变，符号看象限
2、三角函数线
二、新课
1、引入（1）作简谐运动的试验；（2）水波，水浪
2 、直接可得波形图像
3、正课
（一）正弦函数图像的画法
1、画出y=sinx，x∈的图象
思考:上图是否是的图像，为什么？
因为的定义域是R
当角x继续增大时，图像如何画？
当角x取负值时，图像如何画？
2、画出y=sinx，x∈R的图象．
画法1
思考：正弦函数线与正弦函数图像的区别和联系？
（1）正弦函数线是个体，正弦函数图像是整体
（2）正弦函数线是做正弦函数图像的基础，正弦函数图像是包含有正弦函数线
正弦函数图像的画法（2）
常规方法：描点法
由于我们已知正弦函数的图像是波形，所以我们只需找出的关键点即可，通常取以下五点
该方法称为五点作图法，拓展以后，即可得到整个图像
思考提问：由正弦函数的图像可观察出，正弦函数的定义域和值域分别是什么？
3、余弦函数图像的画法
由诱导公式
由
可见只需把也即是
（1）平移得到图像为
拓展后可得余弦函数的图像为
(2)试用五点作图法画出
4、例题
例1、画出下列函数的简图
解法一、五点作图法
解法二、（1）
（2）
例2、想一想，函数，并在同一直角坐标系中，画出它的草图
5、总结
6、作业P53.1
1.4
三角函数的图像
x
y
y
0
0
y
-1
1
-
-教学目的：1、理解1弧度的角，弧度制的意义
2、掌握角度与弧度的换算公式，能熟练进行角度与弧度的换算
3、熟记特殊角的弧度数
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确的进行角度与弧度换算
教学难点：弧度概念及其与角度的关系
教学用具：多媒体
课时安排：1课时
教学类型：新授课
教学过程：
一、课题导入
初中，我们学过角的度量，的角时怎样定义的呢？[周角的为的角]这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
今天，我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制
二、讲解新课
1、1弧度的角定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用符号rad表示，读作弧度。
[练习]：周角的弧度角是多少？平角呢？直角呢？
[探究]：见课本P7
2、角度制与弧度制的换算
3、例题讲解
例1、课本P8——例1
例2——4 见课本P8-9例2——例4
[练习]：见课本P10 练习
4、特殊角的度数与弧度数对应表
见课本P。9
5、角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。
6、小结：本节课学习了（1）弧度制定义
（2）角度与弧度的换算公式及方法
三、作业
课本P.11 习题1.1 A组7，8，9，10题
1.1.2
弧度制教学目的：让学生充分了解角的范围的推广，并会灵活运用相应知识解决相关题。
教学重点： 负角，正角，零角，象限角，终边相同的概念及其简单之用。
教学难点：终边相同角，负角的概念。
教学用具 ：多媒体
教学课时：1课时
教学类型：新授课
教学过程
1． 复习
初中学过的角的概念
1． 角的基本要素 B
始边OA，终边OB，顶点O。
2． 特殊角（让学生回答） O A
3.思考
故本节就解决类似的问题。
2． 新课
引入看课本P2的齿轮旋转情况，可以看出在一定时间两个齿轮都旋转了一定角度，但来年各个齿轮的旋转方向不同，为了解决方向问题，我们就引入了负角的概念。
1． 正角，负角和零角
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
如果一条射线没作任何旋转，称其为零角。
B O A
O A B
思考：1.如果手表慢了1.25小时,需要将分针旋转多少度读方可校对.
2.如果手表快了2小时,需要将分针旋转多少度方可校对.
总结:角的范围可以推广到大于或小于的角.
2.任意角
任意角包括正角,负角,零角.
3.象限角
象限角定义:角的始边与X轴正向重合,终边所在的象限就称角为第几象限角.
判断：、 、 、、各为第几象限角？
思考：①、各为第几象限角？
②各为第几象限角，两角有什么关系？
4．终边相同角
顾名思义：终边相同的两个角就是终边相同角。
例.
的终边相同角为
一般地,我们有所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周期的和.
例1. 在范围内,找出与角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
总结:判断象限角的其本方法:使得,根据所在象限确定.
例2.
例3．
课内练习
1 写出终边在X正半轴上的角的集合.
2 写出终边在X负半轴上的角的集合.
3 写出终边在X轴上的角的集合.
4 练习P6. 1.2
三.作业P10 1.2
四.教后感
任意角
1.1.11111三角函数习题课
教学目的：1、会利用三角函数的图像及性质解决问题。
2、渗透数形结合、类比与化归思想。
教学重点：1、2
教学难点：数与形的转化，复杂与基本的类比。
教学过程：
一、知识要点
函数 草图 定义域 值域 奇偶性 单调性 周期性
二、例题
1、定义域
例1、求函数的定义域
解题要领：数形结合、类比，转化为解不等式。
答：
2、值域
例2、求函数的值域
分析：一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适应，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。这里，特别注意中间变量。
答
3、利用性质确定参数
例3、已知函数的定义域为[0,]，函数的最大值为1，最小值为－5，求的值。
分析：，由y取最小值－5，取最大值1入手来解，并注意对进行讨论。
答：若，则
若则。
4、周期
例4、证明函数的最小正周期是。利用结论求的最小正周期。
分析：主要进行类比与转换。
答：
5、奇偶性
例5、（1）若函数是偶函数，则的一个值为（ ）
A、 B. C D.
分析：数形结合，赋值验证。答：B
（2）写出函数的中心坐标，对称轴方程。
6、单调性
例6、求函数的单调区间，
分析：一般是先利用诱导公式把化为，再与基本函数作类比求解。
思考：若不转化，直接把与作比较，行吗？
答：增区间是 减区间是
三、作业：每课一练P23 复习与反思
四、教后记：教学目的：1.运用三角函数解决一些实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
教学重点:用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:对问题实际意义的抽象解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.
教学时数:2课时
教具准备:多媒体
教学过程:
第一课时
1. 回顾引入
1. 正、余弦函数有哪些性质 (周期性、奇偶性、单调性、最大值、最小值)
2. 如何利用三角函数的性质解决实际问题呢？
二．讲授新课
应用一:在日常生活中的应用
例1、（2002年全国高考）如图，某地一天从6～14是的气温变化曲线近似的满足函数
（1） 求这一天的最大温差；
（2） 写出这段曲线的解析式.
分析：先根据图像找出最大温差2A,再求出个参量
解：略
说明：1所求出的函数模型只能近似地刻画这天某个时段的温度变化情况.
2本题主要是运用三角函数的概念、图像、性质，在实际应用中分析问题、解决问题、提升能力.
3本题是根据图像建立函数解析式，即利用函数的模型解决问题.
4要充分调动学生的积极性去分析问题、解决问题.
应用二：在研究函数方面的应用
例2、画出函数的图像并观察其周期
分析：化简=，在画图研究性质
解：（1）图像：
（2） 观察图像，可知：周期为
或由== 知：周期为
说明：1要根据所给出的函数解析式模型建立数学模型，并根据图像认识性质.
2找出y=与y=sinx图像间关系，借助于正弦曲线可类比做出图像.
三、课堂练习
1、练习 2、P74. 1
2、如图，大风车的半径为2m,每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m,风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).
(1) 求函数h=f(t)的关系式；
(2) 画出函数h=f(t)的图像.
四.教学小结:1、根据图像建立解析式；
2、根据解析式做出图像.
五.作业: P76. 1. 2. 3
六.教学后记
第二课时
教学目的：1.运用三角函数解决一些实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
教学重点:用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:对问题实际意义的抽象解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.
教学时数:1课时
教具准备:多媒体
教学过程:
1. 讲授新课
应用三：在建筑学方面的应用
例3、P69.例3
分析：太阳高度角，楼高，与此时楼房在地面的投影h之间有：
解答：略
说明：1 把实际问题抽象成与三角函数有关的数学问题，然后求解.
2 要善于挖掘题目背后隐含的条件，从中抽取基本的数学关系.本题中太阳直射北回归线影子最短，直射南回归线时影子最长，即为地理知识，应综合运用.据此，可由图1.6-3画出图1.6-4,然后由图建立数学模型.
思考：若前面的楼房距你家要买的楼房15m，两幢楼的高都是21m，每层高3m,为了是正午的太阳全年不被遮挡，你应该挑选哪几层的房子？
答案：3楼以上
应用四：在航海中的应用
例4、P70.例4
思路分析：1据图表作散点图
2据散点图特点选择函数模型
3利用有关数据求解析式
4应用
解：略
说明：1注意数形结合解实际应用题，根据已知数据描出散点图，由图联想所求函数解析式.
2要根据实际背景对问题的解进行具体分析.
3思考：如图1.6-7，点P是两图像的交点，此时货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，对吗？
2. 课堂练习: P74. 2. 3
3. 课堂小结：
把实际问题抽象为数学问题，反之，把数学知识应用到实际中去，可培养分析问题、解决问题的能力以及知识的运用能力，通常应：
1阅读理解题目中的文字叙述所反映的是即背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义.
2根据各量的关系，进行数学化设计，即建立目标函数，将实际问题转化成数学问题.
3进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决.
4. 作业:通过查资料或社会调查，解决P75.B1或P75A4题.
5. .教学后记.
1.6
三角函数模型的应用
O
h
A(x,y)
30
20
10
O
6 8 10 12 14
解答要点:
1、先建立直角坐标系,设A(x,y),得关系式 h=y+0.5
2、设∠OO′A=, 得 cos= 即 y=-2cos+2
3、据题意得
4、写出 y= -2cos，
5、所以：h=f(t)= -2cos.5
x
y一、知识点
二、典型问题
一、利用三角函数线讨论正弦，余弦，正切的关系
例1、（P25 。4 改编）
说明：利用单位圆数形结合的研究三角函数间的关系。
二、平方关系得应用
例2、
说明：通过平方关系得到重要关系式：
例3、求证：
说明: 利用平方关系得到“1”的妙用，即
例4、化简
说明: 本题利用平方关系，和三角函数的大小关系进行化简
三、商数关系的应用
例5、
解：
四、已知某一角的三角函数值，求其它三角函数的值
例6、
说明：在
进行分类，主要是为了计算开放符号容易确定。
补充作业：
1.2
任意角的三角函数(复习课)教学目的：
1、 掌握任意角的三角函数的定义。
2、 掌握诱导公式（一）
3、 会用定义及诱导公式求三角函数值。
4、 体会特殊与一般关系及数形结合思想。
教学重点:
任意角的三角函数的定义、诱导公式（一）及应用。
教学难点:
计算三角函数值。
授课类型: 新授课
课时安排: 2课时
教学过程:
1、 复习引入：
1、锐角三角函数的定义。
2、角的概念的推广及弧度制、象限角。
3、问题：直角三角形显然不能包含所有的角，那么，仿照锐角三角函数定义，你认为如何定义任意的三角函数？
二、新知识探究
1、三角函数的定义
角的概念的推广关键是看角的纵边所在位置，因此，可以借助平面直角坐标系来定义。
(1) 比值叫做的正弦，记作，即；
(2) 比值叫做的余弦，记作，即；
(3) 比值叫做的正切，记作，即；
其中。
学生思考讨论：（1）锐角三角函数大小仅与角A的大小有关，与直角三角形的大小无关，这里的三个比值有无类似性质？
（2）比值是否唯一确定？依据函数的定义，可以构成一个函数吗？
（3）这三个函数的自变量是什么？x还是y 是r还是。
（4）若P（x,y）是单位圆与纵边的交点，则sin与cos的表达式如何？
师生共同小结：（1）只要确定，就能在它的纵边上取点，从而确定x及y值，算出r的值，自变量为。
（2）两个量的比值为一个实数，由于角集合与实数之间可以建立一一对应关系，这三个比值可以看成以实数（角用弧度表示）为自变量的函数。
（3）若P（x,y）是单位圆与纵边的交点，则sin与cos的表达式变为
，。
才若P（x,y）的坐标是P(1,y),则
2、定义域与值域
函数 sin cos tan
定义域
值域 -1 tan
3、公式（一）
由三角函数的定义可得
其中。
4、三角函数值的符号
函数 sin cos tan
第一象限 ＋ ＋ ＋
第二象限 ＋ － －
第三象限 － － ＋
第四象限 － ＋ －
三、应用
1、求值，例1、例2、解（略）
解法要领：在纵边上取一点，代入定义的公式。
例5、公式（一）的应用。
2、角的纵边与三角函数值的符号。
例3与例4。
定义的应用。
四、解决课本练习：P17练习1、2、3、4、5、6、7。
小结:
主要内容1：三角函数的定义。2：定义域与值域。3：公式（一）
4：应用（1）求值，（2）角的纵边所在象相与三角函数值的符号。
五.作业: P23A组1、2、3、4、5、6、7、8、9。
六．教学后记
任意角的三角函数（1）
1.2
y
x
O
P(x,y)
y
x
P(x,y)
P(x,y)
y
x
O
O
P(x,y)
y
x
O
教学目的：
（1）使学生掌握从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中推导诱导公式.
（2）能正确的运用诱导公式求任意角的三角函数值，能进行简单三角函数式的化简与恒等式证明.
（3）正确培养学生知识的运用能力.
（4）培养学生数形结合思想.
教学重点：运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简与证明.
教学难点：如何运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简与证明，提高对数学内部联系的认识.
教学过
1、基本知识及其功能
（1）诱导公式
公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值.
公式二：是π+α与α之间的关系式，若α为锐角时可把0～2π间第三象限角转化
为锐角求值.
公式三：研究角α与 -α间关系，常用来把任意负角求值转化为正角求值.
公式四：研究与间关系，若α为锐角时可把0～2π间第二象限角转化为锐角求值.
公式五：研究α与间关系，可实现正、余弦相互转化.
公式六：研究α与间关系，若α为锐角时，可把0～2π间第二象限角转化为锐角求值.
*其它诱导公式：
公式七：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα
公式八：sin()=-cos cos ()=sin tan()=-cot
公式九：sin()=-cos cos()=-sin tan()=cot
(2) 注意：
①各公式中角α可以是任意角，也可看成是锐角.
②公式一、二、三、四、七简记“函数名不变，符号看象限.”
③公式五、六、八、九简记“函数名改变，符号看象限.”
④任意角的三角函数求值转化为锐角三角函数求值的一般步骤：
任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0~2π
的角的三角函数 锐角三角函数.
此过程充分体现把未知知识转化为已知问题的数学思想，即化归思想.
⑤在运用公式时，方法不是唯一的.
2、例题
例1、 求sin(-)的值
法1：sin(-) =-sin=- sin(4+)=- sin=- sin(+)=sin=
法2：sin(-)=sin(-6+)= sin = sin(-)=sin=
注意：方法不唯一.
例2：若sin=，则的值是多少.
利用诱导公式对被求式进行化简 答案：6
3、练习：
(1) （2001年全国高考题）tan300 +sin450 的值为：B
A 1+ B 1- C -1- D -1+
(2) (1999年广东高考题) tan315 -tan(-300 )+cot(-300 )的值是：-1
(3) (2004年湖北高考题) tan2010 的值为:
课后作业：例题的再思考，运用多种方法求解.
教学后记：
教学目的：
1、 理解有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线。
2、 体会特殊与一般关系及数形结合思想。
教学重点:
理解有线线段的定义，正弦线、余弦线、正切线。
教学难点:
数与形的转换解决问题。
授课类型: 新授课
课时安排: 1课时
教学过程:
1、 复习引入：
1、任意角三角函数的定义。
2、在三角函数中，求三角函数的值，实际上是转化为终边上点的坐标的运算，是否能用某一线段来表示？
二、新知识探究
1、有线线段
直角坐标系内，点的坐标与坐标轴的方向有关，因此，一个自然的想法是以坐标轴的方向来规定坐标所对应线段的方向，以使它们的取值与P点的坐标联系起来。因此，引进有线线段的定义。
有线线段：带有方向的线段叫有线线段。
2、用有向线段表示sin、 cos、tan的值。
如下图，作单位圆与终边相交于点P(x,y)
无论终边在何位置，都有
(1) ；
(2) ；
(3) ；
其中r=1。
把分别叫做正弦线、余弦线、正切线。
注意，当角的终边在第二或第三象限时，要确定正切线，必须作出反向延长线。
3、 例题
例1、已知角的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段，则的终边在：
A、第一象限的角平分线上 B、第二象限的角平分线上
C、第三象限的角平分线上 D、第四象限的角平分线上
答：B、D
例2、（2000年全国高考题）
已知，那么下列命题成立的是（ ）
A、 若是第一象限的角，则；
B、 若是第二象限的角，则；
C、 若是第三象限的角，则；
D、 若是第四象限的角，则；
答：D
四、练习、课本P191、2、3、4。
五.作业: P25B组4、
六．教学后记
任意角的三角函数（2）
1.2
y
x
O
P(x,y)
y
x
P(x,y)
P(x,y)
y
x
O
O
P(x,y)
y
x
O
M
M
M
M
A
A
A
A
T
T
T
T教学目的：⒈掌握正弦函数，余弦函数的性质.
⒉会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.
教学重点：正、余弦函数的性质.
教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用.
教学课时：3课时
教学类型：新授课
教 具: 多媒体
教学过程
1． 引入：
上节我们研究了正、余弦函数的图象.今天,我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
Y
O X
y=cosx y=sinx
二．讲解新课:
观察图象可以看出:
1.定义域
函数及定义域都是实数集[或],分别记作:
2.值域
因为在单位圆中,正弦线、余弦线的长度都是小于或等于半径的长1的,所以
即
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].
3.最大值与最小值
由图象可知:
对于正弦函数
(1)当且仅当时,取得最大值1.
(2)当且仅当时,取得最小值-1.
而余弦函数
(1)当且仅当时, 取得最大值1.
（2）当且仅当时,取得最小值-1.
4.周期性
从前面的学习我们已经看到,正弦函数、余弦函数值具有“周而复始”的变化规律,又由
知:当自变量的值增加的整数倍时,函数值重复出现.
数学上,用周期性这个概念来定量刻画这种“周而复始”的变化规律.
周期函数定义:
对于函数 ,如果存在一个非零常数,使得当取定义域 内的每一个值时,都有， 那么函数 就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个.
例如,对于来说,
都是它的周期,一般地,都是它的周期.
最小正周期定义:
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
根据上述意义,可知:
正弦函数.余弦函数都是周期函数. 都是它的周期,最小正周期是。
5.奇偶性:
观察正弦曲线,余弦曲线,可以看到:
正弦曲线关于原点0对称,余弦曲线关于轴对称
由诱导公式可知:
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
6.单调性:
我们可以在正弦函数的一个周期的区间上(如)讨论它的单调性,再利用它的周期性,把单调性扩展到整个定义域.
阅读课p42-43 引导学生观察正弦曲线,共同探讨得出:
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间上都是减函数,其值从1减少到-1.
探究:类似地,你能写出余弦函数的单调区间吗
三． 例题与练习
例1 ：课本p40例2
思考:你能从例2 的解答过程中归纳一下函数的周期与解析式中哪些量有关
练习:课本41页练习第1题,第2题
练习:课本46页练习第2题
例2 ：课本43页例3
练习:课本46页 练习第1题 第4题
例3 : 课本44页例4
例4 :课本44页例5
练习 课本46页练习第4题第5题
四．小结:
1 学会利用数形结合的方法掌握正余弦函数的图象和性质.
2 熟练掌握正弦余弦函数图象性质的简单应用
五． 布置作业
课本 53页第2-8题.
六．教后感
正弦函数、余弦函数的性质
1．4．22.1.1与2.1.2平面向量的背景、概念与几何表示
教学目标： 掌握向量的意义、表示方法以及有关概念
重点与难点： 向量的数学概念及表示方法
教学方法：研究与探索
教学过程：
1、 课题引入：
1、 本章引言：（可让一名学生大声朗读）
2、 请学生阅读课本P84 2.1.1向量的物理背景与概念
3、 教师点评：
在本小结中我们遇到了两种不同性质的量：
（1） 只有大小的量——（物理学中称为标量；数学中称为什么？）
（2） 即有大小又有方向的量——（物理学中称为矢量；数学中：？）
4、 两种不同性质量的意义：
有同学可能会提出一个量只要有大小就足够了，为什么还要规定方向呢？我们举例来回答：
例如：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
再例如:行军时常会遇到方位的问题:A相对于B的准确位置等等
显而易见:日常生活中即有大小又有方向的量很多,在数学中,我们把这种即有大小又有方向的量叫做向量例：力、速度、加速度、冲量等
2、 平面向量的表示方法:
1． 意义：既有大小又有方向的量叫向量。
注意：1数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法：
1几何表示法：点—射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素：起点、方向、长度
2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）
3． 模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
记作：|| 模是可以比较大小的
4． 两个特殊的向量：
1零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。
注意与0的区别
2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
例：与是否同一向量？
答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
3、 向量间的关系：
1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥
规定：与任一向量平行
4、 随堂练习：P88练习1、2、3
5、 本课小结：在数学中可用几种形式表示向量？什么叫向量的模？向量能否比较大小？
6、 课后作业：P88习题1、2
7、 教学后记：
A B
A(起点)
B
（终点）
a
A
B
北
a
b
c教学目的：让学生充分了解角的范围的推广，并会灵活运用相应知识解决相关题。
教学重点： 负角，正角，零角，象限角，终边相同的概念及其简单之用。
教学难点：终边相同角，负角的概念。
教学用具 ：多媒体
教学课时：1课时
教学类型：新授课
教学过程
1． 巩固复习
1.正角，负角和零角
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
如果一条射线没作任何旋转，称其为零角。
2.任意角
任意角包括正角,负角,零角.
3.象限角
象限角定义:角的始边与X轴正向重合,终边所在的象限就称角为第几象限角.
4．终边相同角
顾名思义：终边相同的两个角就是终边相同角。
.
的终边相同角为
一般地,我们有所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周期的和.
二．例题
例4．（1）表示出终边在上的角的集合。
（2）表示出终边在上的角的集合。
例5．（1）写出第一象限角的集合。
（2）写出第一、二象限角的集合。
（3）写出第一、三象限角的集合。
答案：（1）
（2）
（3）
解题步骤：①写出在内的范围。
②转化为相应的终边相同角。
③有必要时，可合并或化简。
课内练习
已知角的终边在如图的阴影部分内，写出符合条件的的集合。
① Y ② Y
O X O X
例7．已知角 和 是中边相同角且，求满足条件的 的集合.
解.由题知
例8．已知为第一象限角，则为第几象限角？
解法一.设
当 时, 为第一象限角,
当 时, 为第二象限角,
当 时, 为第三象限角,
如此循环,可知 为第一,二或第三象限角.
解法二.由题知,
三.作业 整理例题在作业本上，复习并预习下一节内容
四.教后感
任意角（2）
1.1.11111教学目的1.学会将0°～360°的角的三角函数转化成锐角的三角函数值.
2.能够运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.
3. 提高对数学内部联系的认识.
教学重点：诱导公式的探究,运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，提高对数学内部联系的认识.
教学难点：发现圆的几何性质(特别是对称性)与三角函数性质的联系,特别是直角坐标系内关于直线 对称的点的性质与()的诱导公式的关系.
授课类型：新授课
课时安排：3课时
教 具：多媒体
教学过程：
1. 引入课题
前面学习过的终边相同角的同名三角函数值相等这一公式的重要作用在于能够把不在0°～360°内的角的三角函数值转化成0°～360°内角的三角函数值.
例如:
总之任意一个角或总可以在0°～360°内找到一个与角的终边相同的角,并通过公式一可将转化成再求值,但是不一定是锐角,那么当是第二、第三、第四象限角时能否转化成锐角再求值呢？换名话说，第二、第三、第四象限角与第一象限的角有什么联系呢？
二．新课
1．当即是锐角，是第一象限的角时下列各角与的关系是什么？
形式 象限 与的关系
I
II 关于轴对称
III 关于原点对称
IV 关于轴对称
IV 关于轴对称
2．下面首先探究 第III象限的角的三角函数值与第I象限的角的三角函数值的联系.
探究过程详见教材P27
3.值得注意的问题:
(1)公式中是任意的角也成立为什么
(2)公式中正负符号的记法:
把看成锐角(实际上可以是任意角)形式上为第III象限的角故其三个三角函数的公式符号与第III象限角的三个三角函数的值的真正符号相同如下:
三角函数 象限 符号 公式二 公式符号
III － －
III － －
III + +
4.求解第三象限角的三角函数值的基本步骤：
例题：求下列各三角函数的值
1）585° 2） 3）
求解过程略
二．归纳与演绎
（这一部分的教学可进行类比教学）
相当于第II与第Ⅳ象限的角
1． π－α和－α与α的关系（见新课1.）
2． 公的推导(略)
3． 符号的判别
三角函数 象限 符号 公式四 公式符号
II + +
II － －
II － －
三角函数 象限 符号 公式三 公式符号
Ⅳ － －
Ⅳ + +
Ⅳ － －
4.学生类比一中解题步骤,小结相当于第二或第四象限的角解题步骤(略)
例题:求下列各角的三角函数值
1) 2) (两种必须会的方法) 3) 4)
第一课时作业:P30 练习1) 、 2) P33 A组1) 、 B组1)
第二课时把例3与习题相结合，以学生练习为主
1． 讲解例3
2． 练习P30 练习3）
3． 习题P33 A组3）、4）
作业：一课一练
第三课时
讲解教材P30并完成课后练习
方法同上
需强调的是
形如的角相当于第一象限的角故公式符号全+
形如的角相当于第二象限角，公式符号与第二象限角的三角函数值的符号相同
作业B组2）与一课一练
教学后记：
三角函数的诱导公式
1.3
1． 大角化成小角：用公式一
（所为大角指的是不在0°～360°之间的角的三角函数值可用公式一化归成0°～360°之间的角的三角函数值）
2．0°～360°间第III象限角：用公式二
（第III象限角总可以写成π+α的形式，故可用公式二将其化归成锐角再求值）
3．公式符号的判别看象限
（即π+α的形式的角相当于第三象限的角；故符号与第三象限的三角函数符号相同）教学目的：⒈ 让学生理解同角的三个三角函数间不独立。
⒉掌握基本规律----公式。
⒊培养学生事物是相互联系的辨证思想。
教学重点：公式的灵活运用
教学难点：公式的灵活运用
教学课时：1课时
教学类型：新授课
教学过程
1． 新课导入：
前面我们已经学习了任意角的正、余弦和正切。那么对同一个角，这三个函数间有什么关系呢？
二．公式推导：
设为角的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：
不难得到： （平方关系）
（商的关系）
由三角函数及勾股定理，也可直观看出。
注：恒等式定义若等式，对有意义的公共范围内的任一个 都成立，则叫做恒等式。
例如就是恒等式。
显然，只在时成立。
三．公式的应用
以上两个关系可用于求三角函数值域，证明恒等式。
例6．已知：，求 的值。
解：在第三或四象限，由
①当 在第三象限时，
②当在第四象限时，
注：使用同角三角函数间的关系式求值时，应先用平方关系，从而引发讨论。
例7．求证：
证法1：（综合法）见课本
证法2：（分析综合法）见课本
分析：（在草稿上完成）要（1）成立
课堂练习：P23练习1，2，3，4，5
四．习题 1.2 10，11，12，13
五．教后感
同角三角函数的基本关系
1．2．2教学目的：通过例题的解答，使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式的变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识。加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
教学用具 ：多媒体
教学课时：1课时
教学类型：新授课
教学过程
1． 复习
（用提问的方式复习前面学过的十一个公式）
两角和与差的余弦、正弦、正切公式：
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2． 新课
例1． 试以表示
思考：与有什么关系？
分析：引导学生理解倍、半的相对性，从而选择倍角公式作为桥梁，再用换元和方程的思想求得所要的结果。
练习：1.试以表示
2.已知求
例2.(推导积化和差、和差化积公式)
分析：从等式的右边出发，很容易得出左边，运用和(差)角公式从左边推导出右边，对于第2小题引导学生用换元的数学证明。
提问：哪些公式中包含呢？
在让学生观察公式和所要证明的等式的关系。
练习：课本157页2、3
注意：在例1和例2中都用到了换元的数学思想，在教学时应对此作出引导。
例3．求函数的周期，最大值和最小值。
分析：在以前的学习中，容易得到函数的周期为和最大值、最小值，这里我们就要把学生熟练的恒等变形。
例4．已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形上的动点，ABCD是扇形的内接矩形。记，求角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。
分析：同例3一样是个通过恒等变形得函数性质的问题，不过多了要求学生自己求出函数表达式，为了让学生感受建立函数模型的过程，可以采取引导的方式让学生自己建立函数模型。
三．小结：本节主要学习了半角公式、积化和差、和差化积公式的推导，形如
的三角式子的恒等变形从而有利与研究函数性质。
四．作业P158 1、2、3、4、5
五．教后感
简单的三角恒等变换
3.2教学目的：1.借助图象理解正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值,图象与X轴交点等).
2.会求正切函数的定义域、周期、单调区间
3.体会正切函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
教学重点:正切函数的性质
教学难点:正切函数的性质的理解与应用
教学时数:2课时
教学方法:启发引导式
教具准备:多媒体
教学过程:
第一课时
1. 回顾引入
1. 正切函数的定义域,值域是什么
2. 正切函数有哪些性质 (周期性、奇偶性、单调性、最大值、最小值)
3. 单位圆中的正切线如何表示？
二．讲授新课
（一）作出的图象
1．如何作出在上的图象.
图略 见图
2.作出的图象！
（二）讨论正切函数的性质
1．周期性
正切函数是周期函数，周期是
2．奇偶性
正切函数是奇函数
3．单调性
由图形知在是单调增函数
由周期性知在内都是增函数
注意：只能说在某个区间内是增函数，不能说在定义域范围是增函数.与在某个某个定义域范围内是增函数是有区别的.
4. 值域
由图形可知正切函数的值域是实数集R
(三)例题讲解
例1.求的定义域,周期.
解略(1)定义域:
(2)
注:求最小正周期,对.用求之.
三.课堂练习.
四.教学小结:本节学习了正切函数的图象与性质(周期性,奇偶性,单调性,值域)
五.作业:
六.教学后记
第二课时
1. 复习回顾
1. 正切函数的图象
2. 正切函数的性质
2. 讲授新课
例1. 求函数的定义域 周期和单调区间.
例6
(1) 定义域
(2) T=2
(3) 单调递增区间
例2. 求函数的定义域.
解:由
利用单位圆的有向线段先在和
上找出满足(1)式的X取值范围再写函数的定义域
例3．下列四个命题中正确的是（ ）
A． 正切函数在整个定义域内是增函数
B． 周期函数一定有最小正周期
C． 函数的图象关于Y轴对称
解：由1：排除A
是周期函数,但没有最小正周期.排除B
知可选C
例3. 试讨论函数的奇偶性.
解:因为函数的定义域是
又因为
所以
所以是奇函数.
例5.写函数成立的X的集合.
3. 课堂练习:
4. 作业:
5. .教学后记.
1.4.3
正切函数的性质与图象
X
Y
O
Y
X教学目标：1、引导学生发现公式的内在联系，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;
2、能利用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；
教学重点：二倍角公式的推导、的两种变形公式以及简单应用
教学难点：理解倍角公式与两角和、差三角函数公式得内在联系，理解二倍的实质并会简单应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体
教学过程：
一、复习引入
前面几节课我们共同学习了合角公式、差角公式，利用这些公式可以解决类似于等等这样的问题，首先我们回顾前面的公式：
这样，我们可以得到，那么，如何根据来求，
这就是我们今天要研究的内容——二倍角的正弦、余弦、正切（板书课题）
二、推导公式
我们前面学习了合角公式
若令,可以得到二倍角的公式
另外，对于二倍角的余弦公式结合可以得到下列公式
注意：1、公式中的角具有任意性
2、倍角不单是只是的倍角，例如：4和2之间也可以利用倍角公式
三、例题
例1、P148-例5（公式的直接运用）
例2、P149-例6（倍角公式和和角公式的综合运用）
例3、化简
总结：1、公式的逆用
2、注意理解二倍的实质即是的二倍等等；
3、公式中的是任意的角，也可以是代数式的形式如
例4、求值 （参考）
（1）
（2）
四、练习 ：P150-1、2、3、4
五、作业：P153-15、16、20
六、教学后记
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目的：通过作的图象，使学生会作线性复合函数的图象，从而深入理解运动变换的观念，进而培养他们的创造意识.
重点:用参数思想讨论的图象变换过程.
难点:图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识.
课型:新授
学时:2
教学进程:
1. 如何用的图象作出的图象.
命题1.(横向平移) 的图象可由的图象上的点向左(“+”)或向右(“-”)平移个单位而得到.
例1:用用的图象作出的图象.
(1)
(2)
评注:图中有无穷多点,我们无法操作.因此只需在原图上取关键点(越轴点,曲线端点,极大(小)值点等)进行,注意:“向左(右)平移个单位”的意义是:纵坐标不变,横坐标减(加).如,
建议:开始时列表进行:如(1)对应的变换表为
关键点 C(e,1)
像点
上述评注可移植到以下各变换之中.
2. 如何用的图象作出的图象
命题2.(横向伸缩变换) 的图象可由的图象上的点纵坐标不变,横坐标伸缩到原来的而得到.
注:“横向伸缩变换”也叫“周期变换”
例2．用的图象作的图象
解:步骤: 1.取关键点列变换表:
关键点 A(0,0)
像点
思考:<0怎么办
课堂练习:
作业:习题1.5 A组1, 2,(1),(2)
第二课时
3. 如何用的图象作出的图象.
命题3.(纵向伸缩变换) 的图象可由的图象上的点横坐标不变纵坐标伸缩到原来的A倍而得到.
注:纵向伸缩变换也叫“振幅变换”.
例:略
思考:A<0怎么办
4. 如何用的图象作出的图象.
命题4.(纵向平移) 的图象可由的图象上的点向上(“+”)或向下(“–”)平移B个单位而得到.
例3．判断下面两个命题是否正确.
(1)的图象可由的图象向左平移得到.
(2)函数的图象可由的图象向右平移3个单位而得到.
解:(1)不正确,应是的图象向左平移.
(2)不正确,因为的定义域是,当时，不一定有意义.
如何由的图象作出的图象
即当四种变换同时存在时,按怎样的顺序变换简单呢
下面我们推荐的一种次序:
1. 先画的图象并找出关键点
2. 先作横向平移变换(平移).
3. 后作伸缩变换(纵向,横向任选).
4. 最后作纵向平移.
口诀:紧扣关键点,先横移,后伸缩,纵向平移放尽头.
例4.作的简图.
解:(1)作图找关键点
(2)作的图象.(把上图向右平移)
(3)作的图象.(把上图横向伸3倍)
(4)作的图象.(把图纵伸2倍)
(5)作的图象.(把图象向下平移1个单位)
讲振幅、周期、频率、相位、初相等概念（见６２页）
例5及解（见62页）
课堂练习：62页练习 1（4），2（3），3
作业：习题1.5 A 2 (3),(4) ,3, 4
1.5
函数的图象
C
A
B
X
Y
0
B’
A’
C’
X
Y
A
A’
B
B’
C
E
D
E’
C’
D’
