平面向量的教案[上学期]
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文档简介
平面向量的教案
钱库高中 黄瑞亮
平面向量概述
一．本章内容
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章重点是：
（1）向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；
（2）向量的代数运算法则，向量的数量积；
本章难点是：
（1）熟练运用向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；
（2）理解和运用向量的运算法则；
引入向量后，运算对象扩充了，要注意熟悉这套运算法则，特别要区别向量运算与实数运算的异同．另外通过向量的应用，学会把实际问题抽象为数学模型，提高解决问题的能力．向量知识处处充满唯物辩证法，是中学阶段不可多得的培养唯物辩证思想的内容，有目的、有计划地指导学生运用辩证唯物主义观点去研究问题，是学生进行德育教育，培养学生辩证唯物主义思想的极好途径．
二．本章教学要求
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加法与减法。
3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
§ 2. 1向量 (1课时)
教学目的：
1．理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；
2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行(共线)、相等的关系；
4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力．
教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．
教学难点：向量概念的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
南辕北辙——据说战国时，有个北方人要到南方的楚国去。他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去。有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢 ”他却说：“不要紧，我有一匹好马，……，什么地方都能走到！”
结果：他永远到不了目的地！成为笑柄！
原因：脚力虽快，可惜方向错了！
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．
对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．这就是我们今天要学习的第二章——平面向量的第一小节：向量(板书课题)．
二、新课：
1．向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量．例：力、速度、加速度等．
2．向量的表示方法：
(1) 几何表示法：点和射线(数学中通常用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量)．
有向线段——具有一定方向的线段．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作 (注意起讫)．
(2) 字母表示法：可表示为(印刷时用黑体字)．
例 小船由A地向西北方向航行15n mail(海里)到达B地，小船的位移如何表示？
用1cm表示5n mail(海里)，如图．
3．向量的模：向量的大小——长度称为向量的模．
记作：||，模是可以比较大小的．
注意：(1) 数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小．
4．两个特殊的向量：
(1) 零向量——长度为零的向量，表示为：．
(2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量．
5．向量间的关系：
(1) 平行向量——方向相同或相反的非零向量(如图)，
记作：////．规定：与任一向量平行．
长度相等且方向相同的向量．
记作：=．规定：=．
注意：1°零向量与零向量相等．
2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
问：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？
答：各向量的终点都在同一条直线上，是平行向量．
(3) 共线向量——由此，我们把平行向量又叫做共线向量．
6．例题分析：
例1 有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量；单位向量大小相等；单位向量不一定相等．
例2 判断下列命题真假或给出问题的答案：
(1) 平行向量的方向一定相同．
(2) 不相等的向量一定不平行．
(3) 与零向量相等的向量是什么向量？
(4) 与任何向量都平行的向量是什么向量？
(5) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
(6) 两个非零向量相等的充要条件是什么？
(7) 共线向量一定在同一直线上吗？
解：(1) 根据定义：平行向量可以方向相反，故命题(1)为假；
(2) 平行向量没有长、短要求，故命题(2)为假；
(3) 只有零向量； (4) 零向量； (5) 平行向量；
(6) 模相等且方向相同； (7) 不一定，只要它能被平移成共线就行．
说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零．
例3 选择题：
(1) 下列命题中，正确的是( C )
A．|| = || = B．|| = ||且// =
C．= // D．|| = 0 = 0
(2) 下列命题，真命题的个数为( D )
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线．
C．若//，且//，则//．
D．四边形ABCD为平行四边形的充要条件是．
小结：本例(2)C说明，向量平行的传递性要成立，就需“过渡”向量不为零向量．事实上，在的情况下：
①，时，∵//，∴与同向或反向．又∵//，∴与同向或反向，∴与同向或反向，∴//．
②若与中有一个为零，则另一个无论为零还是不为零，均有//．
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量．
解：==，==，
===．
思考：在上例中：
(1) 与向量长度相等的向量有多少个？(11个)
(2) 是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？(存在)
(3) 与向量共线的向量有哪些？(有、和)
三、小结：
1．描述一个向量有两个指标：模、方向．
2．平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．
3．向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．
四、巩固练习：
1．下列各量中是向量的是( B )
A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
2．等腰梯形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过P且EF // AB，则下列等式正确的是( D )
A． B． C． D．
3．物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量． (答：相等，相反)
五、课后作业：
1．教材P86练习及习题2.1中1，2，3，4．
§ 2. 2.1向量的加法与减法 (2课时)
第一课时 向量的加法
教学目的：
1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；
2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；
3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
4．培养学生化归的数学思想．
教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．
教学难点：对向量加法定义的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
1．复习上节要点，并判断下列命题的真假：
(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；
(2) 两个向量平行是两个向量相等的必要条件；
(3) 向量与向量平行，则与的方向相同或相反．
2．设置情境，引入新课：
由于大陆和台湾没有直航，因此，虽然台湾国民党主席连战和亲民党主席宋楚瑜来大陆访问的第一站都是南京，但都要先从台北到香港，再从香港到南京．请问他们的两次位移之和是什么？
这就是向量的加法 (板书课题)．
二、新课：
1．向量的加法的定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
已知向量、，在平面内任取一点A，作=，=，则向量叫做向量、的和．记作：+，即+==．
零向量与任意向量，有+=+=．
2．两个向量的和向量的作法：
(1) 三角形法则：两个向量“首尾”相接．
注意：1°．三角形法则对于两个向量共线时也适用；
2°．两个向量的和向量仍是一个向量．
例1 已知向量、，求作向量+．
(2) 平行四边形法则：
3．向量和与数量和的区别：
4．向量的运算律：
(1) 交换律：+=+．
证明：（略）
(2) 结合律：(+) +=+ (+)．
学生自己验证(如右图)．
注：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了．
例如：(+) + (+) = (+) + (+)．
++++= [+ (+)] + (+)．
例2 如图，一艘船从A点出发以2km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为2km / h，求船实际航行的速度的大小与方向．
解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在RtABC中，|| = 2，|| = 2，
所以，|| == 4．
因为tanCAB == CAB = 60．
答：船实际航行的速度的大小为4km / h，方向与水流速间的夹角为60．
三、小结：
1．+是一个向量，在三角形法则下：平移向量，使的起点与的终点重合，则+就是以的起点为起点，的终点为终点的新向量．
2．一组首尾相接的向量和：++…+=，如图．
3．对任意两个向量、，总有| || || | |+| || + ||成立．
四、巩固练习：
1．若O为△ABC内一点，++=，则O是△ABC的( D )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
2．下列各等式或不等式中一定不能成立的个数为( A )
①|| || < |+| < || + || ② || || = |+| = || + ||
③ || || = |+| < || + || ④ || || < |+| = || + ||
A．0 B．1 C．2 D．3
五、课后作业：
1．教材P93-94练习．
2．教材P104习题2.2中第1、2、3、5题．
§ 2. 2.2向量的加法与减法 (2课时)
第二课时 向量的减法
教学目的：
1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；
2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；
3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量．
教学难点：对向量减法定义的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
两个人提一桶水，用力大小一样，怎样提比较省力？
上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法(板书课题：向量的减法)．
二、新课：
1．相反向量：
与长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，记作．
规定：零向量的相反向量仍是零向量．
注意：(1) 与互为相反向量．即 () =．
(2) 任意向量与它的相反向量的和是零向量．即+ () = () +=．
(3) 如果、互为相反向量，那么= ，= ，+=．
2．与的差：
向量加上的相反向量，叫做与的差．即
=+ ()．
3．向量的减法：
求两个向量的差的运算叫做向量的减法．
4．的作法：
已知向量、，在平面内任取一点O，作=，=，则=．即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量．
思考：为从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？()
5．例题分析：
例1 已知向量、、、，求作向量，．
思考：已知的四个向量的起点不同，要作向量与，首先要做什么
例2 如图所示， ABCD中=，=，用、表示向量、．
解：由平行四边形法则，得=+．
由作向量差的方法，得==．
思考：
(1) 例2中，当、满足什么条件时， +与互相垂直？
(2) 例2中，当、满足什么条件时，|+| = ||？
(3) 例2中，+与有可能相等吗？为什么？
三、小结：
1．相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：
=+ ()．
2．向量减法有两种定义：
(1) 将减法运算转化为加法运算：=+ ()；
(2) 将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果+=，则=．
四、巩固练习：
1．在平行四边形ABCD中，=，=，则用、表示向量+的是( A )
A．+ B．+ C． D．+
2．△ABC中，=，=，则等于( B )
A．+ B． (+) C． D．
五、课后作业：
1．教材P96练习．
2．教材P101习题2.2中第6、7、8、9题．
§ 2.2. 3向量数乘运算及其几何意义 (1课时)
教学目标
1．理解并掌握实数与向量的积的意义．
2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想．
教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．
教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系= m，位移与速度的关系=t．这些公式都是实数与向量间的关系．
我们已经学习了向量的加法，若已知非零向量，请同学们作出++和() + () + ()，(已知向量可自己给定)，并请指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
答：++的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，() + () + ()的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反．
我们把++记作3，把() + () + ()记作 3．
本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，(板书课题：实数与向量的积)
二、新课：
1．实数与向量的积：
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
(1) || = ||||．
(2) > 0时，的方向与的方向相同；当 < 0时，的方向与的方向相反；特别地，当 = 0或=时，=．
2．实数乘向量的基本运算律：
设、为任意向量，，为任意实数，则有：
(1) () = ()； (2) ( + )= + ； (3) (+) = +．
根据实数与向量的积的定义，可以验证以上的运算律．
例1 计算：(1) ( 3) 4；
(2) 3(+) 2() ；
(3) (2+ 3) (3 2+)．
例2 设是未知向量，解方程
3．共线向量与实数乘向量的关系：
定理：向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数，使得= ．
对此定理的证明，须分两层来说明：
其一，若存在实数，使= ，则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知与共线，即与共线．
其二，若与共线，且不妨令，设|| ：|| = (这是实数概念)．接下来看、方向如何：①、同向，则= ，②若、反向，则记= ，总而言之，存在实数 ( = 或 )使= ．
推论：向量与向量不共线，且存在实数k1，k2，使得k1= k2，则k1 = 0，且k2 = 0．
例3已知= 3，= 3，试判断与是否共线．
例4 设，为两个不平行的向量．如果，，= ．求证：A，B，D三点共线．
三、小结：
1．实数与向量的积还是一个向量，与是共线的．
2．一维空间向量(共线向量)的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题．
3．运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项．
四、巩固练习：
如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB中点，点N是BD上一点，BN =BD．求证：M、N、C三点共线．
五、课后作业：
1．教材P100练习第1、2、3、4题；．
2．教材P110习题2.2中第9、10、11题．
．
§ 2. 3平面向量的基本定理及坐标表示 (2课时)
第一课时 平面向量基本定理
教学目的：
1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；
2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．
教学重点：平面向量基本定理．
教学难点：理解平面向量基本定理．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．
二、新课：
1．回顾：
(1) 实数与向量的积：
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
(1) || = ||||．
(2) > 0时，的方向与的方向相同；当 < 0时，的方向与的方向相反；特别地，当 = 0或=时，=．
(2) 共线向量的一个充要条件：
定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得= ．
例1 已知向量、，求作向量 2.5+ 3．
推广：已知、是同一平面内的两个不共线的向量，则对于给定的两个实数1、2，都可以在这个平面内作出唯一的一个向量满足
2．平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使
= 1+ 2．
例2 ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，用、表示、、和？
解：（略 ）
例3 如图，ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，且=，=，求，．
解：（略）
例4 如图，、不共线，= t (t R)，用、表示．
解： （略）
三、小结：
1．当平面内取定一组基底、后，任一向量都被、唯一确定，其含义是存在唯一数对(1，2)，使= 1+ 2．
2．三点A、B、C共线= k= 1+ 2 (其中1，2 R且1 + 2 = 1)．
四、课后作业：
1．命题p：向量与共线；命题q：有且只有一个实数，使= ；则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
2．如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN = 2NC，AM与BN相交于点P，求AP ：PM的值．
第二课时 平面向量的正交分解及坐标运算
教学目的：
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
教学重点：理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点：对平面向量坐标表示的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
1．复习：
(1) 平面向量基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
(2) 共线向量的一个充要条件：
2．引入：
平面内有点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，能否用坐标来表示向量呢？这就是我们今天要学面向量的坐标运算．(板书课题)
二、新课：
1．平面向量的正交分解：
2．平面向量的坐标表示：
如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得
= x+ y．
我们就把(x，y)叫做向量的(直角)坐标，记作；
= (x，y)．
这就叫做向量的坐标表示．
显然= (1，0)，= (0，1)，= (0，0)．
如图所示，以原点O为起点与向量相等的向量，则A点的坐标就是向量的坐标，反之设= x+ y，则点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．
2．平面向量的坐标运算：
(1) 加法与减法：
问题：已知= (x1，y1)，= (x2，y2)，求+，的坐标．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
(2) 实数与向量的积：
已知= (x，y)，实数λ．
则λ= λ(x+ y) = λx+ λy， ∴λ= (λx，λy)．
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标．
3．例题分析：
例1 如图所示，用基底、分别表示向量、、、，并求出它们的坐标．
解：= 2+ 3= (2，3)，= 2+ 3= ( 2，3)，
= 2 3= ( 2， 3)，= 2 3= (2， 3)．
例2 已知= (2，1)，= ( 3，4)，求+，，3+ 4的坐标．
解：（略）
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是( 2，1)、( 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标．
解：（略）
三、小结：
1．引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中．
2．要把点坐标(x，y)与向量坐标区分开来，两者不是一个概念．
四、巩固练习：
1．已知三个力= (3，4)，= (2， 5)，= (x，y)的合力++=，求的坐标．
2．已知向量= (6，1)，= (x，y)，= ( 2， 3)，则等于( B )
A．(4 x，y 2) B．(4 + x，y 2)
C．( 4 x， y + 2) D．(4 + x，y + 2)
五、课后作业：
1．教材P112习题2.3A组中第2、3、4、5题．
第三课时 平面向量的坐标运算(2)
教学目的：
1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题；
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
教学重点：向量共线充要条件的坐标表示及应用．
教学难点：向量与坐标之间的转化．
教学过程：
一、复习引入：
1．练习：
(1) 若M(3， 2)，N( 5， 1)，且=，则点P的坐标为( B )
A．( 8， 1) B．( 1，) C．(1，) D．(8， 1)
(2) 已知A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 2= __( 3， 3)__．
2．引入：
引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映平面图形的几何关系？本节课就这些问题作讨论．
二、新课：
1．向量平行的坐标表示：
如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件？会得到什么重要结论？(引导学生)
2．例题分析：
教材P109例7，P110例8．
例3 已知A( 1，2)，B(2，8)，=，= ，求点C、D和向量的坐标．
分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，，和的关系进行坐标运算，用方程思想解之．
解：（略）
例4 已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，如图，求证：=(+)．
证明（略）
三、小结：
1．本节课我们主要学面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行(重合)．
2．向量平行(共线)充要条件的两种表示形式：
//() = λ； //() x1 y2 x2 y1 = 0．
四、课后作业：
1．教材P111练习第6、7题．
2．教材P112习题2。2B组中第2、3、4题．
§ 2. 4 平面向量的数量积(2课时)
第一课时 平面向量的数量积及运算律(1)
教学目的：
1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；
3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识．
教学重点：平面向量的数量积概念、性质及其应用．
教学难点：平面向量的数量积的概念，平面向量数量积的重要性质的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
我们学过功的概念：即一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功：W = ||||cos，其中表示一个什么角度？
表示力的方向与位移的方向的夹角．
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量、，来规定||||cos的含义．
二、新课：
1．两个非零向量的夹角：
2．平面向量的数量积：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量||||cos，叫做向量与的数量积或(内积)记作，即
= ||||cos．
并规定= 0．
例1 已知|| = 5，|| = 4，分别求满足下列条件的．
(1) 与的夹角 = 120；(2) ；(3) //．
练习：已知正ABC的边长为2，设=，=，=．求+ +．(答： 6)
3．向量在向量上的投影：
注意：1°．投影也是一个数量，不是向量．
2°．当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；
当为直角时投影为0；当 = 0°时投影为 ||；当 = 180°时投影为 ||．
4．的几何意义：
例2 已知与的夹角为，且|| = || = 2，求：
(1) 在上的投影；(2) 在+上的投影；(3) 在上的投影．
5．数量积的性质：
三、小结：
1．向量的数量积的物理模型是力的做功．
2．||||cos的结果是个实数(标量)．
3．利用= ||||cos，可以求两向量的夹角，尤其是判定垂直．
4．二向量夹角的范围是[0，]．
四、课后作业：
1．教材P117练习第2题．
2．教材P119习题2.4中第1、2、3题)．
§2.4 平面向量数量积(2课时)
第二课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1．掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式．
(1) 根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．
(2) 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．
(3) 根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式．
2．通过本节内容的研究学习，培养学生的动手能力和探索精神．
3．通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的坐标表示的充要条件．
教学难点：平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
我们知道，向量的表示形式不同，对其运算的表达方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？本节课我们就来讨论这一问题．
二、新课：
1．复习回顾：
问题1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？
问题2：向量的运算律有哪些？
问题3：设x轴、y轴上的单位向量分别为和，则
① = __1_ ； ② = __1__； ③= __0__； ④= __0__．
2．平面向量数量积的坐标表示：
已知= (x1，y1)，= (x2，y2)，怎样用、的坐标表示呢？
= x1x2 + y1y2．
类似可得：
|| =，|| =．
3．平面内两点间的距离公式：
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|| =，
这就是A、B两点间的距离公式．
4．几个基本结论：
请说出两个非零向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式．
5．例题分析：
例1 设= ( 3，4)，= ( 4， 2)，求．
解：= ( 3) ( 4) + 4 ( 2) = 4．
问：、的夹角多大？(arccos)
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，求证：ABC是直角三角形．
分析：要证明三条边中有两条边互相垂直, 只需证明由三点所确定的向量中存在两个向量互相垂直．
例3 求与向量= ( 1，+ 1)的夹角为45的单位向量．
分析：单位向量的模为1．可通过两次运算得方程．
三、小结：
1．两向量的数量积有两种计算方法：= ||||cos；= x1x2 + y1y2．
当已知两向量夹角时,一般用前一个公式；而当已知两向量的坐标时，一般用后一个公式．
2．用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角．
3．两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如= (m，n)与= (n， m)总是垂直的．
4．把一平面向量单位化，有时能给讨论问题带来方便，比如求在方向的投影，不妨先把单位化，为，则就是所求答案．
四、巩固练习：
1．设点A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，则等于( B )
A． 1 B．0 C．1 D．2
2．已知= (2，1)，= ( 1，3)，若存在向量，使得= 4，= 9，试求向量的坐标．
提示：分类讨论．
解：① A = 90时，k = ；
② B = 90时，k =；
③ C = 90时，k =．
五、课后作业：
1．教材P119练习第1、2题；
2．教材P123习题2.4中第7、8、9、10．
§2. 5 平面向量应用举例(2课时)
第一课时 平面几何中的向量方法
教学目的：
1．进一步掌握向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用；
2．熟练运用向量解决有关平面几何中的问题．
教学重点：向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用．
教学难点：运用数量积解决有关平面几何的问题．
教学过程：
一、复习：
1．向量的数量积及其坐标表示：
设，是两个非零向量，夹角为，坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则
= ||||cos，= x1x2 + y1y2．
2．两非零向量垂直的充要条件：
= 0 x1x2 + y1y2 = 0．
二、例题分析：
例1P121例1
解：（略）
例2P122例2
解：（略）
例3 已知两个非零向量和满足|+| = ||，求证：．
分析：将已知条件代数化，通过代数变换得到代数结论，再将代数结论几何化．
例4 如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，PFCE是矩形．试用向量法证明：
(1) || = ||；(2) ．
分析：如果我们能用坐标来表示与，则要证明的两结论，只要分别用两点间的距离公式和两向量垂直的充要条件进行验证即可．因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证．
证明：（略）
小结：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的繁与简．
三、巩固练习：
已知= (1，0)，= (1，1)，当为何值时，+ 与垂直？
解：（略）
四、课后作业：P125习题2、5中的1、2、3。
§2. 5 平面向量应用举例(2课时)
第二课时 向量在物理中的应用举例
教学目的：
1．进一步掌握向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用；
2．熟练运用向量解决有关物理中的问题．
教学重点：向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用．
教学难点：运用向量解决有关物理中的问题．
教学过程：
一、复习：
1．向量的数量积及其坐标表示：
设，是两个非零向量，夹角为，坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则
= ||||cos，= x1x2 + y1y2．
二．应用举例：
例1：P124例3
解：（略）
例2：P124例4
解：（略）
例3 如图，一艘船从A点出发以2km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km / h，求船实际航行的速度的大小与方向．
解： （略）
三．作业
1．P125习题2。5中的第4题；
2．P126习题2。5中的第1、2、3题。
小结
教学目的：
1．掌握平面向量的线性运算及基本定理。
2．掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式．
3．通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
教学重点：
平面向量数量积及平面向量的线性运算和基本定理．
教学难点：平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用．
教学过程：
一．复习回顾：
1．平面向量的线性运算及基本定理
2．平面向量数量积的坐标表示：
3．平面内两点间的距离公式：
4．几个基本结论：
请说出两个非零向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式．
答：(1) cos =；
(2) // x1 y2 x2 y1 = 0；
(3) x1x2 + y1y2 = 0．
5．例题分析：
例1 设= ( 3，4)，= ( 4， 2)，求．
问：、的夹角多大？(arccos)
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，求证：ABC是直角三角形．
例3 求与向量= ( 1，+ 1)的夹角为45的单位向量．
三、小结：
1．两向量的数量积有两种计算方法：= ||||cos；= x1x2 + y1y2．
当已知两向量夹角时,一般用前一个公式；而当已知两向量的坐标时，一般用后一个公式．
2．用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角．
3．两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如= (m，n)与= (n， m)总是垂直的．
四、巩固练习：
1．已知= (2，1)，= ( 1，3)，若存在向量，使得= 4，= 9，试求向量的坐标．
2．RtABC中，= (2，3)，= (1，k)，求k的值．
数学学习诀窍:“快”须定理熟，“对”要概念清；勤练出巧思，浓趣驱惰性
钱库高中 黄瑞亮
平面向量概述
一．本章内容
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章重点是：
（1）向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；
（2）向量的代数运算法则，向量的数量积；
本章难点是：
（1）熟练运用向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；
（2）理解和运用向量的运算法则；
引入向量后，运算对象扩充了，要注意熟悉这套运算法则，特别要区别向量运算与实数运算的异同．另外通过向量的应用，学会把实际问题抽象为数学模型，提高解决问题的能力．向量知识处处充满唯物辩证法，是中学阶段不可多得的培养唯物辩证思想的内容，有目的、有计划地指导学生运用辩证唯物主义观点去研究问题，是学生进行德育教育，培养学生辩证唯物主义思想的极好途径．
二．本章教学要求
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加法与减法。
3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
§ 2. 1向量 (1课时)
教学目的：
1．理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；
2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行(共线)、相等的关系；
4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力．
教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．
教学难点：向量概念的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
南辕北辙——据说战国时，有个北方人要到南方的楚国去。他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去。有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢 ”他却说：“不要紧，我有一匹好马，……，什么地方都能走到！”
结果：他永远到不了目的地！成为笑柄！
原因：脚力虽快，可惜方向错了！
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．
对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．这就是我们今天要学习的第二章——平面向量的第一小节：向量(板书课题)．
二、新课：
1．向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量．例：力、速度、加速度等．
2．向量的表示方法：
(1) 几何表示法：点和射线(数学中通常用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量)．
有向线段——具有一定方向的线段．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作 (注意起讫)．
(2) 字母表示法：可表示为(印刷时用黑体字)．
例 小船由A地向西北方向航行15n mail(海里)到达B地，小船的位移如何表示？
用1cm表示5n mail(海里)，如图．
3．向量的模：向量的大小——长度称为向量的模．
记作：||，模是可以比较大小的．
注意：(1) 数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小．
4．两个特殊的向量：
(1) 零向量——长度为零的向量，表示为：．
(2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量．
5．向量间的关系：
(1) 平行向量——方向相同或相反的非零向量(如图)，
记作：////．规定：与任一向量平行．
长度相等且方向相同的向量．
记作：=．规定：=．
注意：1°零向量与零向量相等．
2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
问：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？
答：各向量的终点都在同一条直线上，是平行向量．
(3) 共线向量——由此，我们把平行向量又叫做共线向量．
6．例题分析：
例1 有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量；单位向量大小相等；单位向量不一定相等．
例2 判断下列命题真假或给出问题的答案：
(1) 平行向量的方向一定相同．
(2) 不相等的向量一定不平行．
(3) 与零向量相等的向量是什么向量？
(4) 与任何向量都平行的向量是什么向量？
(5) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
(6) 两个非零向量相等的充要条件是什么？
(7) 共线向量一定在同一直线上吗？
解：(1) 根据定义：平行向量可以方向相反，故命题(1)为假；
(2) 平行向量没有长、短要求，故命题(2)为假；
(3) 只有零向量； (4) 零向量； (5) 平行向量；
(6) 模相等且方向相同； (7) 不一定，只要它能被平移成共线就行．
说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零．
例3 选择题：
(1) 下列命题中，正确的是( C )
A．|| = || = B．|| = ||且// =
C．= // D．|| = 0 = 0
(2) 下列命题，真命题的个数为( D )
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线．
C．若//，且//，则//．
D．四边形ABCD为平行四边形的充要条件是．
小结：本例(2)C说明，向量平行的传递性要成立，就需“过渡”向量不为零向量．事实上，在的情况下：
①，时，∵//，∴与同向或反向．又∵//，∴与同向或反向，∴与同向或反向，∴//．
②若与中有一个为零，则另一个无论为零还是不为零，均有//．
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量．
解：==，==，
===．
思考：在上例中：
(1) 与向量长度相等的向量有多少个？(11个)
(2) 是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？(存在)
(3) 与向量共线的向量有哪些？(有、和)
三、小结：
1．描述一个向量有两个指标：模、方向．
2．平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．
3．向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．
四、巩固练习：
1．下列各量中是向量的是( B )
A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
2．等腰梯形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过P且EF // AB，则下列等式正确的是( D )
A． B． C． D．
3．物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量． (答：相等，相反)
五、课后作业：
1．教材P86练习及习题2.1中1，2，3，4．
§ 2. 2.1向量的加法与减法 (2课时)
第一课时 向量的加法
教学目的：
1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；
2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；
3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
4．培养学生化归的数学思想．
教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．
教学难点：对向量加法定义的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
1．复习上节要点，并判断下列命题的真假：
(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；
(2) 两个向量平行是两个向量相等的必要条件；
(3) 向量与向量平行，则与的方向相同或相反．
2．设置情境，引入新课：
由于大陆和台湾没有直航，因此，虽然台湾国民党主席连战和亲民党主席宋楚瑜来大陆访问的第一站都是南京，但都要先从台北到香港，再从香港到南京．请问他们的两次位移之和是什么？
这就是向量的加法 (板书课题)．
二、新课：
1．向量的加法的定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
已知向量、，在平面内任取一点A，作=，=，则向量叫做向量、的和．记作：+，即+==．
零向量与任意向量，有+=+=．
2．两个向量的和向量的作法：
(1) 三角形法则：两个向量“首尾”相接．
注意：1°．三角形法则对于两个向量共线时也适用；
2°．两个向量的和向量仍是一个向量．
例1 已知向量、，求作向量+．
(2) 平行四边形法则：
3．向量和与数量和的区别：
4．向量的运算律：
(1) 交换律：+=+．
证明：（略）
(2) 结合律：(+) +=+ (+)．
学生自己验证(如右图)．
注：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了．
例如：(+) + (+) = (+) + (+)．
++++= [+ (+)] + (+)．
例2 如图，一艘船从A点出发以2km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为2km / h，求船实际航行的速度的大小与方向．
解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在RtABC中，|| = 2，|| = 2，
所以，|| == 4．
因为tanCAB == CAB = 60．
答：船实际航行的速度的大小为4km / h，方向与水流速间的夹角为60．
三、小结：
1．+是一个向量，在三角形法则下：平移向量，使的起点与的终点重合，则+就是以的起点为起点，的终点为终点的新向量．
2．一组首尾相接的向量和：++…+=，如图．
3．对任意两个向量、，总有| || || | |+| || + ||成立．
四、巩固练习：
1．若O为△ABC内一点，++=，则O是△ABC的( D )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
2．下列各等式或不等式中一定不能成立的个数为( A )
①|| || < |+| < || + || ② || || = |+| = || + ||
③ || || = |+| < || + || ④ || || < |+| = || + ||
A．0 B．1 C．2 D．3
五、课后作业：
1．教材P93-94练习．
2．教材P104习题2.2中第1、2、3、5题．
§ 2. 2.2向量的加法与减法 (2课时)
第二课时 向量的减法
教学目的：
1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；
2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；
3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量．
教学难点：对向量减法定义的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
两个人提一桶水，用力大小一样，怎样提比较省力？
上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法(板书课题：向量的减法)．
二、新课：
1．相反向量：
与长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，记作．
规定：零向量的相反向量仍是零向量．
注意：(1) 与互为相反向量．即 () =．
(2) 任意向量与它的相反向量的和是零向量．即+ () = () +=．
(3) 如果、互为相反向量，那么= ，= ，+=．
2．与的差：
向量加上的相反向量，叫做与的差．即
=+ ()．
3．向量的减法：
求两个向量的差的运算叫做向量的减法．
4．的作法：
已知向量、，在平面内任取一点O，作=，=，则=．即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量．
思考：为从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？()
5．例题分析：
例1 已知向量、、、，求作向量，．
思考：已知的四个向量的起点不同，要作向量与，首先要做什么
例2 如图所示， ABCD中=，=，用、表示向量、．
解：由平行四边形法则，得=+．
由作向量差的方法，得==．
思考：
(1) 例2中，当、满足什么条件时， +与互相垂直？
(2) 例2中，当、满足什么条件时，|+| = ||？
(3) 例2中，+与有可能相等吗？为什么？
三、小结：
1．相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：
=+ ()．
2．向量减法有两种定义：
(1) 将减法运算转化为加法运算：=+ ()；
(2) 将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果+=，则=．
四、巩固练习：
1．在平行四边形ABCD中，=，=，则用、表示向量+的是( A )
A．+ B．+ C． D．+
2．△ABC中，=，=，则等于( B )
A．+ B． (+) C． D．
五、课后作业：
1．教材P96练习．
2．教材P101习题2.2中第6、7、8、9题．
§ 2.2. 3向量数乘运算及其几何意义 (1课时)
教学目标
1．理解并掌握实数与向量的积的意义．
2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想．
教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．
教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系= m，位移与速度的关系=t．这些公式都是实数与向量间的关系．
我们已经学习了向量的加法，若已知非零向量，请同学们作出++和() + () + ()，(已知向量可自己给定)，并请指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
答：++的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，() + () + ()的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反．
我们把++记作3，把() + () + ()记作 3．
本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，(板书课题：实数与向量的积)
二、新课：
1．实数与向量的积：
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
(1) || = ||||．
(2) > 0时，的方向与的方向相同；当 < 0时，的方向与的方向相反；特别地，当 = 0或=时，=．
2．实数乘向量的基本运算律：
设、为任意向量，，为任意实数，则有：
(1) () = ()； (2) ( + )= + ； (3) (+) = +．
根据实数与向量的积的定义，可以验证以上的运算律．
例1 计算：(1) ( 3) 4；
(2) 3(+) 2() ；
(3) (2+ 3) (3 2+)．
例2 设是未知向量，解方程
3．共线向量与实数乘向量的关系：
定理：向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数，使得= ．
对此定理的证明，须分两层来说明：
其一，若存在实数，使= ，则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知与共线，即与共线．
其二，若与共线，且不妨令，设|| ：|| = (这是实数概念)．接下来看、方向如何：①、同向，则= ，②若、反向，则记= ，总而言之，存在实数 ( = 或 )使= ．
推论：向量与向量不共线，且存在实数k1，k2，使得k1= k2，则k1 = 0，且k2 = 0．
例3已知= 3，= 3，试判断与是否共线．
例4 设，为两个不平行的向量．如果，，= ．求证：A，B，D三点共线．
三、小结：
1．实数与向量的积还是一个向量，与是共线的．
2．一维空间向量(共线向量)的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题．
3．运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项．
四、巩固练习：
如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB中点，点N是BD上一点，BN =BD．求证：M、N、C三点共线．
五、课后作业：
1．教材P100练习第1、2、3、4题；．
2．教材P110习题2.2中第9、10、11题．
．
§ 2. 3平面向量的基本定理及坐标表示 (2课时)
第一课时 平面向量基本定理
教学目的：
1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；
2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．
教学重点：平面向量基本定理．
教学难点：理解平面向量基本定理．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．
二、新课：
1．回顾：
(1) 实数与向量的积：
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
(1) || = ||||．
(2) > 0时，的方向与的方向相同；当 < 0时，的方向与的方向相反；特别地，当 = 0或=时，=．
(2) 共线向量的一个充要条件：
定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得= ．
例1 已知向量、，求作向量 2.5+ 3．
推广：已知、是同一平面内的两个不共线的向量，则对于给定的两个实数1、2，都可以在这个平面内作出唯一的一个向量满足
2．平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使
= 1+ 2．
例2 ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，用、表示、、和？
解：（略 ）
例3 如图，ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，且=，=，求，．
解：（略）
例4 如图，、不共线，= t (t R)，用、表示．
解： （略）
三、小结：
1．当平面内取定一组基底、后，任一向量都被、唯一确定，其含义是存在唯一数对(1，2)，使= 1+ 2．
2．三点A、B、C共线= k= 1+ 2 (其中1，2 R且1 + 2 = 1)．
四、课后作业：
1．命题p：向量与共线；命题q：有且只有一个实数，使= ；则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
2．如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN = 2NC，AM与BN相交于点P，求AP ：PM的值．
第二课时 平面向量的正交分解及坐标运算
教学目的：
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
教学重点：理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点：对平面向量坐标表示的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
1．复习：
(1) 平面向量基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
(2) 共线向量的一个充要条件：
2．引入：
平面内有点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，能否用坐标来表示向量呢？这就是我们今天要学面向量的坐标运算．(板书课题)
二、新课：
1．平面向量的正交分解：
2．平面向量的坐标表示：
如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得
= x+ y．
我们就把(x，y)叫做向量的(直角)坐标，记作；
= (x，y)．
这就叫做向量的坐标表示．
显然= (1，0)，= (0，1)，= (0，0)．
如图所示，以原点O为起点与向量相等的向量，则A点的坐标就是向量的坐标，反之设= x+ y，则点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．
2．平面向量的坐标运算：
(1) 加法与减法：
问题：已知= (x1，y1)，= (x2，y2)，求+，的坐标．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
(2) 实数与向量的积：
已知= (x，y)，实数λ．
则λ= λ(x+ y) = λx+ λy， ∴λ= (λx，λy)．
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标．
3．例题分析：
例1 如图所示，用基底、分别表示向量、、、，并求出它们的坐标．
解：= 2+ 3= (2，3)，= 2+ 3= ( 2，3)，
= 2 3= ( 2， 3)，= 2 3= (2， 3)．
例2 已知= (2，1)，= ( 3，4)，求+，，3+ 4的坐标．
解：（略）
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是( 2，1)、( 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标．
解：（略）
三、小结：
1．引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中．
2．要把点坐标(x，y)与向量坐标区分开来，两者不是一个概念．
四、巩固练习：
1．已知三个力= (3，4)，= (2， 5)，= (x，y)的合力++=，求的坐标．
2．已知向量= (6，1)，= (x，y)，= ( 2， 3)，则等于( B )
A．(4 x，y 2) B．(4 + x，y 2)
C．( 4 x， y + 2) D．(4 + x，y + 2)
五、课后作业：
1．教材P112习题2.3A组中第2、3、4、5题．
第三课时 平面向量的坐标运算(2)
教学目的：
1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题；
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
教学重点：向量共线充要条件的坐标表示及应用．
教学难点：向量与坐标之间的转化．
教学过程：
一、复习引入：
1．练习：
(1) 若M(3， 2)，N( 5， 1)，且=，则点P的坐标为( B )
A．( 8， 1) B．( 1，) C．(1，) D．(8， 1)
(2) 已知A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 2= __( 3， 3)__．
2．引入：
引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映平面图形的几何关系？本节课就这些问题作讨论．
二、新课：
1．向量平行的坐标表示：
如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件？会得到什么重要结论？(引导学生)
2．例题分析：
教材P109例7，P110例8．
例3 已知A( 1，2)，B(2，8)，=，= ，求点C、D和向量的坐标．
分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，，和的关系进行坐标运算，用方程思想解之．
解：（略）
例4 已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，如图，求证：=(+)．
证明（略）
三、小结：
1．本节课我们主要学面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行(重合)．
2．向量平行(共线)充要条件的两种表示形式：
//() = λ； //() x1 y2 x2 y1 = 0．
四、课后作业：
1．教材P111练习第6、7题．
2．教材P112习题2。2B组中第2、3、4题．
§ 2. 4 平面向量的数量积(2课时)
第一课时 平面向量的数量积及运算律(1)
教学目的：
1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；
3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识．
教学重点：平面向量的数量积概念、性质及其应用．
教学难点：平面向量的数量积的概念，平面向量数量积的重要性质的理解．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
我们学过功的概念：即一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功：W = ||||cos，其中表示一个什么角度？
表示力的方向与位移的方向的夹角．
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量、，来规定||||cos的含义．
二、新课：
1．两个非零向量的夹角：
2．平面向量的数量积：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量||||cos，叫做向量与的数量积或(内积)记作，即
= ||||cos．
并规定= 0．
例1 已知|| = 5，|| = 4，分别求满足下列条件的．
(1) 与的夹角 = 120；(2) ；(3) //．
练习：已知正ABC的边长为2，设=，=，=．求+ +．(答： 6)
3．向量在向量上的投影：
注意：1°．投影也是一个数量，不是向量．
2°．当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；
当为直角时投影为0；当 = 0°时投影为 ||；当 = 180°时投影为 ||．
4．的几何意义：
例2 已知与的夹角为，且|| = || = 2，求：
(1) 在上的投影；(2) 在+上的投影；(3) 在上的投影．
5．数量积的性质：
三、小结：
1．向量的数量积的物理模型是力的做功．
2．||||cos的结果是个实数(标量)．
3．利用= ||||cos，可以求两向量的夹角，尤其是判定垂直．
4．二向量夹角的范围是[0，]．
四、课后作业：
1．教材P117练习第2题．
2．教材P119习题2.4中第1、2、3题)．
§2.4 平面向量数量积(2课时)
第二课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1．掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式．
(1) 根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．
(2) 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．
(3) 根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式．
2．通过本节内容的研究学习，培养学生的动手能力和探索精神．
3．通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的坐标表示的充要条件．
教学难点：平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
我们知道，向量的表示形式不同，对其运算的表达方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？本节课我们就来讨论这一问题．
二、新课：
1．复习回顾：
问题1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？
问题2：向量的运算律有哪些？
问题3：设x轴、y轴上的单位向量分别为和，则
① = __1_ ； ② = __1__； ③= __0__； ④= __0__．
2．平面向量数量积的坐标表示：
已知= (x1，y1)，= (x2，y2)，怎样用、的坐标表示呢？
= x1x2 + y1y2．
类似可得：
|| =，|| =．
3．平面内两点间的距离公式：
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|| =，
这就是A、B两点间的距离公式．
4．几个基本结论：
请说出两个非零向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式．
5．例题分析：
例1 设= ( 3，4)，= ( 4， 2)，求．
解：= ( 3) ( 4) + 4 ( 2) = 4．
问：、的夹角多大？(arccos)
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，求证：ABC是直角三角形．
分析：要证明三条边中有两条边互相垂直, 只需证明由三点所确定的向量中存在两个向量互相垂直．
例3 求与向量= ( 1，+ 1)的夹角为45的单位向量．
分析：单位向量的模为1．可通过两次运算得方程．
三、小结：
1．两向量的数量积有两种计算方法：= ||||cos；= x1x2 + y1y2．
当已知两向量夹角时,一般用前一个公式；而当已知两向量的坐标时，一般用后一个公式．
2．用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角．
3．两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如= (m，n)与= (n， m)总是垂直的．
4．把一平面向量单位化，有时能给讨论问题带来方便，比如求在方向的投影，不妨先把单位化，为，则就是所求答案．
四、巩固练习：
1．设点A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，则等于( B )
A． 1 B．0 C．1 D．2
2．已知= (2，1)，= ( 1，3)，若存在向量，使得= 4，= 9，试求向量的坐标．
提示：分类讨论．
解：① A = 90时，k = ；
② B = 90时，k =；
③ C = 90时，k =．
五、课后作业：
1．教材P119练习第1、2题；
2．教材P123习题2.4中第7、8、9、10．
§2. 5 平面向量应用举例(2课时)
第一课时 平面几何中的向量方法
教学目的：
1．进一步掌握向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用；
2．熟练运用向量解决有关平面几何中的问题．
教学重点：向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用．
教学难点：运用数量积解决有关平面几何的问题．
教学过程：
一、复习：
1．向量的数量积及其坐标表示：
设，是两个非零向量，夹角为，坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则
= ||||cos，= x1x2 + y1y2．
2．两非零向量垂直的充要条件：
= 0 x1x2 + y1y2 = 0．
二、例题分析：
例1P121例1
解：（略）
例2P122例2
解：（略）
例3 已知两个非零向量和满足|+| = ||，求证：．
分析：将已知条件代数化，通过代数变换得到代数结论，再将代数结论几何化．
例4 如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，PFCE是矩形．试用向量法证明：
(1) || = ||；(2) ．
分析：如果我们能用坐标来表示与，则要证明的两结论，只要分别用两点间的距离公式和两向量垂直的充要条件进行验证即可．因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证．
证明：（略）
小结：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的繁与简．
三、巩固练习：
已知= (1，0)，= (1，1)，当为何值时，+ 与垂直？
解：（略）
四、课后作业：P125习题2、5中的1、2、3。
§2. 5 平面向量应用举例(2课时)
第二课时 向量在物理中的应用举例
教学目的：
1．进一步掌握向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用；
2．熟练运用向量解决有关物理中的问题．
教学重点：向量的数量积及其坐标表示的基本运算与简单应用．
教学难点：运用向量解决有关物理中的问题．
教学过程：
一、复习：
1．向量的数量积及其坐标表示：
设，是两个非零向量，夹角为，坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则
= ||||cos，= x1x2 + y1y2．
二．应用举例：
例1：P124例3
解：（略）
例2：P124例4
解：（略）
例3 如图，一艘船从A点出发以2km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km / h，求船实际航行的速度的大小与方向．
解： （略）
三．作业
1．P125习题2。5中的第4题；
2．P126习题2。5中的第1、2、3题。
小结
教学目的：
1．掌握平面向量的线性运算及基本定理。
2．掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式．
3．通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
教学重点：
平面向量数量积及平面向量的线性运算和基本定理．
教学难点：平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用．
教学过程：
一．复习回顾：
1．平面向量的线性运算及基本定理
2．平面向量数量积的坐标表示：
3．平面内两点间的距离公式：
4．几个基本结论：
请说出两个非零向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式．
答：(1) cos =；
(2) // x1 y2 x2 y1 = 0；
(3) x1x2 + y1y2 = 0．
5．例题分析：
例1 设= ( 3，4)，= ( 4， 2)，求．
问：、的夹角多大？(arccos)
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，求证：ABC是直角三角形．
例3 求与向量= ( 1，+ 1)的夹角为45的单位向量．
三、小结：
1．两向量的数量积有两种计算方法：= ||||cos；= x1x2 + y1y2．
当已知两向量夹角时,一般用前一个公式；而当已知两向量的坐标时，一般用后一个公式．
2．用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角．
3．两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如= (m，n)与= (n， m)总是垂直的．
四、巩固练习：
1．已知= (2，1)，= ( 1，3)，若存在向量，使得= 4，= 9，试求向量的坐标．
2．RtABC中，= (2，3)，= (1，k)，求k的值．
数学学习诀窍:“快”须定理熟，“对”要概念清；勤练出巧思，浓趣驱惰性