2022-2023学年湘教版（2012）数学九年级上册 期末测试（含解析）

期末测试
一、单选题
1．去年某校有1 500人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数约有(　 　)
A．400名 B．450名 C．475名 D．500名
2．从一组数据中取出a个x1，b个x2，c个x3，组成一个样本，那么这个样本的平均数是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，下列能判断BC∥ED的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．，
C．， D．
5．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．如图，已知D．E分别在△ABC的AB．AC边上，△ABC与△AED相似，则下列各式成立的是（ 　）
A．； B．；
C．； D．．
7．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,)
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．两个等腰三角形一定相似 B．两个含角的等腰三角形一定相似
C．两个含角的等腰三角形一定相似 D．两个含角的等腰三角形一定相似
9．众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：
①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；
②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；
③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；
④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
10．若四条不相等的线段a，b，c，d满足，则下列式子中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，，，点在边上，且，点在边上，当______时，以、、为顶点的三角形与相似．
12．某学校有学生名，从中随意询问名，调查收看电视的情况，结果如下表：
每周收看电视的时间（小时）
人数
则全校每周收看电视不超过小时的人数约为________．
13．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，已知腰的坡度为，顶宽为，路基高为，那么路基的下底宽是______．
14．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
15．如果的三边长分别是3、4、5，与其相似的的最长边为15，那么的周长是______.
16．若 ，则 =____．
17．某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有_______人.
18．已知a＝3-tan60°，则代数式________．
19．如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为______．
20．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
三、解答题
21．如图，中，，于，，，求、长．
22．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
23．如图，已知为内的一点，点、分别在边上，且.设，，试用表示.
24．勤劳是中生民的传统美德，学校要求学们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：，，，，．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的作息，解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中________，类别D所对应的扇形圆心角的度数是________度；
（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年级有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？
25．某校根据《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录（2020版）》公布的初中段阅读书目，开展了读书活动．六月末，学校对八年级学生在此次活动中的读书量进行了抽样调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
读书量 频数（人） 频率
1本 4
2本
3本
4本及以上 10
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查学生中，读书量为1本的学生数为______人，读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为______%；
（2）被调查学生的总人数为______人，其中读书量为2本的学生数为______人；
（3）若该校八年级共有550名学生，根据调查结果，估计该校八年级学生读书量为3本的学生人数．
参考答案：
1．B
【分析】根据已知求出该校考生的优秀率，再根据该校的总人数，即可求出答案．
【详解】∵抽取200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀，
∴该校考生的优秀率是：×100%=30%，
∴该校达到优秀的考生约有：1500×30%=450（名）；
故选B．
【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是根据样本求出优秀率，运用了样本估计总体的思想．
2．B
【详解】由题意知，a个x1的和为ax1，b个x2的和为bx2，c个x3的和为cx3，数据总共有a+b+c个，所以这个样本的平均数=，故选B．
3．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对每一项进行分析即可得出答案．
【详解】∵，
∴BC∥ED；
故选C．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，找准对应关系，列出正确的比例式是解题的关键．
4．D
【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求
【详解】A、，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；
B、，，则∥∥，故本选项错误；
C、由已知条件知，，则∥∥，故本选项错误；
D、只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，与不一定平行，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
5．C
【详解】试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中PE∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；
②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中PE∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
综上最多有3条.
故选C．
6．D
【分析】根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可.
【详解】∵△ABC与△AED相似，
∴,
∴.
故选D.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
7．C
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
【详解】∵Rt△OAB的顶点A（ 2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4＝4a，解得a＝1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（ 2，4），
∴B（ 2，0），
∴OB＝2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
令y=2，得2=x2，
解得：x=±
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故答案为：C．
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．D
【分析】根据三角形相似的判定方法逐个分析即可.
【详解】A、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故A不正确；
B、两个含30°角的等腰三角形，如果一个是顶角30°另一个是底角30°，则不相似，故B不正确；
C、 两个含角的等腰三角形，如果一个是顶角另一个是底角，则不相似，故C不正确；
D、两个含角的等腰三角形都是等边三角形所以一定相似，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了三角形形相似的判定方法，常见的判断方法有如下几个：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似．
9．B
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是，错误；
②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，正确；
③这7名同学所捐的零花钱的众数是100，正确；
④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，不能推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数一定是100，错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．
10．D
【分析】根据比例的基本性质进行判断.
【详解】解：∵a，b，c，d满足，∴ad=bc.
A项，由，得ac=bd，所以A项中的式子不成立；
B项，，所以B项中的式子不成立；
C项，，所以C项中的式子不成立.
D项，由，得d（a+c）=c（b+d），整理即得ad=bc,所以D项中的式子成立.
故选D.
【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.
11．或
【分析】分两种情况讨论，分别画出适合的图形，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
【详解】如解图①所示，
∵当时，
，
∴，解得；
如解图②所示，当时，
，
∴，
解得

故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．1400
【分析】由样本情况估计总体情况时，用总体人数乘以所求部分占样本的百分比即可．
【详解】样本频率为．
∴全校每周收看电视不超过小时的人数约为．
故答案为：1400．
【点睛】本题考查由样本数据估算总体数据，掌握基本计算方法是关键．
13．15m
【分析】分别过A、B作AE⊥DC于点E，BF⊥DC于点F，易得四边形AEFB为矩形，AB=EF，根据坡度和路基的高度，可求得DE和CF的长度，继而可求得DC的长度．
【详解】分别过A、B作AE⊥DC于点E，BF⊥DC于点F，
∴四边形AEFB为矩形，
∴EF=AB=3m，
∵等腰梯形的腰的坡度为2：3，路基AE=BF=4m，
∴AE；DE=2：3，BF：CF=2：3，
则DE=CF=6m，
∴下底宽CD=DE+EF+FC=15（m）．
故答案为15m．
【点睛】此题考查了坡度坡角问题以及等腰梯形的性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．2
【详解】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在双曲线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
15．36
【分析】根据两三角形相似，对应线段成比例求的另外两边长即可得出周长.
【详解】设的另两边长为，
∵
∴
解得：
∴的周长
故填：36.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握性质是关键.
16．
【分析】设 =k，利用比例的性质可得出x=10k，y=8k，z=9k，再代入求值即可.
【详解】设 =k，则x=10k，y=8k，z=9k，
∴ =
=
= ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键.
17．1200
【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．
【详解】解：由题意得：2000×＝1200人，
故答案为1200．
【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大．
18．
【分析】求出a的值，把分式进行计算，先算括号里面的减法，把除法转化成乘法，再进行约分即可．
【详解】原式，将代入得原式
【点睛】此题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题关键在于求出a的值.
19．
【详解】试题解析：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，
∴OB= =，sin∠AOB=，∠AOB=30°．
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．
∴∠AOC=∠AOB+（180°-∠COD）=30°+180°-60°=150°．
在△AOB和△OCD中，有 ,
∴△AOB≌△OCD（SSS）．
∴S阴影=S扇形OAC．
∴S扇形OAC=πR2=π×22=π．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影=S扇形OAC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据拆补法将不规则的图形变成规则的图形，再套用规则图形的面积公式进行计算即可．
20．
【详解】解：如图所示，
根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．
如图点O即为圆心的位置，
由图可得：外接圆的半径==．
故答案为.
21．，
【分析】根据同角的余角相等证明∠A=∠DCB，可得，先在Rt△ADC中，根据正弦函数的定义求出CD=6. 利用勾股定理得到AD，再根据正切函数的定义求出tan∠A，则tan∠BCD=tan∠A，然后在Rt△CBD中根据正切函数的定义即可求出BD长
【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠A=∠DCB，
∴，
在Rt△ADC中，CD=AC sin∠A=6，
，
，
，
在Rt△BCD中，BD=CD tan∠BCD=.
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，同角的余角相等.能根据已知角，已知边和要求边之间的关系选择正确的三角函数关系式是解决本题的关键.
22．y是x的二次函数
【分析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长×宽即可得出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：设宽为xcm，
由题意得，矩形的周长为800cm，
∴矩形的长为cm，
∴y=x×=﹣x2+400x（0＜x＜400）．
y是x的二次函数．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式及二次函数的定义，属于基础题，表示出矩形的长是解答本题的关键．
23．
【分析】根据,推知DE∥BC，根据平行线分线段成比例来求．
【详解】∵，∴，
∵，∴
∴，∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴
【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用.
24．（1）50；（2）见解析；（3）32，57.6；（4）224名
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据统计图中的数据，可以得到B类和C类的人数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以得到m和的值；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校七年级有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【详解】解：（1）本次共调查了名学生，
故答案为：50；
（2）B类学生有：（人），
D类学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示：
；
（3），
即，
类别D所对应的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：32，57.6；
（4）（人），
即该校七年级有224名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（1）；（2）；（3）人．
【分析】（1）由频数分布表与扇形统计图中的信息可得答案；
（2）读书量达到4本及以上的学生数为人，占被调查学生总人数的百分比为，可得总人数，利用总人数与读书量为2本的学生数的频率为，可得读书量为2本的学生数．
（3）利用样本中的学生读书量为3本的频率估计全年级的读书量为3本的学生人数，从而可得答案．
【详解】解：（1）由频数分布表中得：读书量为1本的学生数为人，由扇形统计图得：读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为
故答案为：
（2）由频数分布表中得：读书量达到4本及以上的学生数为人，
被调查学生的总人数为：（人），
由读书量为2本的学生数的频率为，
所以读书量为2本的学生数为：（人）．
故答案为：
（3）由被调查的人中，学生读书量为3本的学生人数有：
人，
所以550名学生中学生读书量为3本的学生人数有：
（人）．
答：550名学生中学生读书量为3本的学生人数有人．
【点睛】本题考查的是从频数分布表与扇形统计图中获取信息，利用信息作决策，同时考查用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．