不等式 [上下学期通用]

课件34张PPT。不等式特级教师 储瑞年 不等式是用于研究数量的大小关系的有关问题，与函数、数列、三角、解析几何的内在联系密切，是构建知识网络的重要内容，证不等式、解不等式实际上是实施不等式的变换，对能力要求很高，这些都是数学高考的重点． 一、不等式是数学高考的考查重点二、考查不等式的主要问题 1．不等式的判定；
2．证明不等式，主要是与函数、数列有关的不等式的证明；
　　 3．解不等式，特别是含字母系数的不等式；
4．应用不等式确定参数的取值范
围，或解决求最大（小）值的数学问题或应用问题．
1．关于不等式的判定 三、典型例题分析分析：
∵ 0＜a＜1
∴0＜1－a＜1，1＋a＞1＞0．
由指数函数性质可知，
　　　　　，A 错；
由对数函数性质可知，
　　　　　　，B 错；　　由0＜1－a＜1 知 0＜(1－a)3＜1；
由1＋a＞1知(1＋a)2＞1，C 错；
　　当0＜1－a＜1时，　　　　是
减函数，知　　　　　　　　，故
选 D． 解：
（1）当 x＞0且y＞0时，由实数运算的符号法则可知x＋y＞0且 xy＞0，当xy＞0时，x，y同号，又 x＋y＞0，可知x，y同正．
因此，甲是乙的充要条件． 证明：
a，b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2
? a2＋ab＋b2＝a＋b
（两边同除以a－b）
? (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
＞a2＋ab＋b2
＝a＋b
? a＋b＞1（两边同除以正数a＋b）
? 3(a＋b)＜4
? 3(a＋b)2＜4(a＋b)
? 3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)
? a2－2ab＋b2＝(a－b)2＞0，此式一定成立． （1）证明 ；
（2）证明 (1＋m)n＞(1＋n)m ．? 例4 已知i，m，n是正整数，
且1＜i≤m＜n． 分析：
　　第（1）题中不等式两边是正整数的幂与乘积（排列数是正整数的连乘积），且幂指数与排列数中因数的个数相同，宜用求商比较法．
　　第（2）问中，不等式两边的展开式有部分对应项，项数不等，宜用求差比较法． 证明：（1）i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

?
∵
( k＝1，2，…，i－1)
∴ 即
　　　　　　　　　． （2）∵ m＜n
∴
∵ ，
∴ 由 可得 ．

∴ (1＋m)n－(1＋n)m＞0，即
(1＋m)n＞(1＋n)m 例5
设函数　　　　　　　　　　　　，
解不等式 f (x) ≤1． 3 ．关于不等式的解法解：f (x) ≤1
　　?
当0＜a＜1时，直线l与双曲线的另一交点是　　　　 ，h(x)图象位于g(x)图象下方部分各点连同交点横坐标的集合是 ； 当a≥1时，h(x)图象位于g(x)图象下
方部分各点连同交点横坐标集合是 ，
即f(x) ≤1的解集． ∵ a > 1，－a <－1， ∴ 原不等式解集是

说明 解含字母系数的不等式时，要对字母系数进行周密的讨论． 4 ．关于不等式的应用
例7 现有两个定值电阻，串联后等效电阻为R，并联后等效电阻为r，若R＝kr，则实数k 的取值范围是 ．
解：设两个电阻的电阻值分别为r1，
r2，依题意R＝r1＋r2， ． 解得
代入R＝kr，得 ，
∵ (r1＋r2)2≥4r1r2，
∴ k≥4，k的取值范围是 ． 例8 建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．
解：设水池底的长为xm，则宽为 ． 水池总造价为
．
由
，
当且仅当 ，即x＝2时取等号，故最低总造价为1760元．