高二数学复习讲义-不等式（1） [上学期]

高二数学复习讲义（1）
不等式（1）
一．目的要求：
1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法；
2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；
3．掌握含绝对值的不等式的性质；
4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质。
二．知识要点：
1．不等式的性质：
性 质 内 容
对称性 ，．
传递性 且．
加法性质 ；且．
乘法性质 ；，且．
乘方、开方性质 ；．
倒数性质 ．
2．绝对值不等式的性质：
；．
3．常用基本不等式：
条 件 结 论 等号成立的条件
，，
三．证明不等式的常用方法：比较法，综合法，分析法，换元法，反证法等。
四．运用基本不等式求最值的注意点：
①常用的不等式：，，．
②注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等。
五．常见不等式及其基本解法：
1．一元二次不等式：
（1）利用其与一元二次方程，二次函数的关系；
（2）含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：
①的符号不确定，讨论的大小；
②通过因式分解（或求根公式）得出两根，但根的大小不明确，则讨论根的大小。
（3）一元二次不等式的应用：
①已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；
②恒成立问题：通常可结合二次函数图象来考虑。
2.分式不等式：移项，通分，再转化为不等式组或序轴标根；
3.含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号。
4.高次不等式：序轴标根法；
5.指数、对数不等式：利用指数函数、对数函数的单调性进行等价转化。
六．例题分析：
例1．已知，，，求证：．
证明：∵，∴，又，
∴，∴，又，∴．
例2．已知都是实数，求证：，并指出何时成立。
比较法或综合法，成立的条件是．
例3．已知，，求证：．
证明：∵，∴，又，∴，∴，
要证，只要证，
只要证，即，
只要证，∵，∴只要证，即，
∵成立，∴．
例4.在中，为三条边的长，表示的面积，
求证：，并说明“”成立的条件。
证明：由余弦定理，有，又，
∴
，
∵， ∴，∴，
当且仅当，即，也就是是等边三角形时，“”成立。
七．课后作业： 班级 学号 姓名
1．已知，则下列不等式一定成立的是 （ ）
2.下列命题中成立的是 （ ）
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立。
3．若，且，则下列结论中成立的是 （ ）
异号，； 异号，；
同号，； 同号，．
4． 已知两实数的算术平均数为，实数，，
，则与的大小关系为 ．
5．函数的最大值为 ，此时的值为 ．
6．已知，求证．
7．在中，三条边的长成等差数列，求角的取值范围。
8．已知都是实数，求证：．
9．若，求证：．
10．已知实数满足不等式，求证：．