《基本不等式》[下学期]

浙江省萧山中学 张雪芳
课题: §3.4基本不等式（第1课时）
【教学目标】
一．知识与技能：
1．理解重要不等式（）；
2．熟悉基本不等式的结构特点和不等式成立的条件（以及等号成立的条件）；
3．初步掌握利用基本不等式求简单的最值问题。
二．过程与方法
1．经历由几何图形发现代数关系，由基本不等式探究其几何背景的过程，了解不等式的代数形式与几何直观两方面的联系，学会用数形结合来促进对数学知识的理解的思想方法；
2．在基本不等式的探究过程中体会数与形、放缩、类比、代换等思想方法；
3．构建基本不等式，解决简单函数的最值问题，通过实例的探究，理解“和定积最大，积定和最小”，体会用基本不等式求最值必须满足的三个条件（一正，二定，三相等）。
三．态度、情感、价值观
1．感受赵爽“弦图”证明勾股定理的过程，体会中国古代数学文化的先进性，鼓励学生从数学角度观察图形，发现新的数量关系，培养学生抽象、归纳能力；
2．通过应用基本不等式解决最值问题，体会新知识的应用价值；
【教学重点】
基本不等式的探索过程以及它的简单应用。
【教学难点】
1． 感受几何图形中蕴涵的代数关系及基本不等式的几何背景的探索；
2． 利用基本不等式求最值，理解“和定积最大，积定和最小”。
【教学过程】
一、情景导入
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，感受其中蕴涵的中国文化。
赵爽证明勾股定理
二、发现新知
㈠ （）
1．几何图形探究代数等式
如何利用弦图证明勾股定理？
，即
感受中国古代数学的先进性：构造几何图形证明代数恒等式，简洁，直观，严密，体现“以形证数”，“形数统一”。
2．探究代数不等关系
（1）由几何图形中抽象出不等式
通过几何画板动画演示，体会该不等式等号取到的条件
（2）由已有等式，得到相应不等关系
，去掉非负项，体现“放缩”思想
（3）不等式成立的条件
通过“比较法”证明该不等式，发现，均有，当且仅当时，等号成立。
㈡ 基本不等式（）
1．基本不等式的代数结构： （）
（1）通过代换得到（）
（2）作差证明
（3）变形，基本不等式（）。称为的算术平均数，称为的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
联系数列，两个正数的正等比中项不大于它们的等差中项。
2．赋予代数式以几何意义，探究其几何背景（“半弦不大于半径”）
通过几何画板动画演示，体会该不等式等号取到的条件“”
三、新知应用
例（1）用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？ （面积定，求周长的最小值）
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ （周长定，求面积的最大值）
变式：一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃这个矩形的长、宽各为多少时，花圃积最大，最大面积是多少
多种解法
归纳：若，为定值，则，等号当且仅当时成立.
若， 为定值，则，等号当且仅当时成立.
“积定和最小，和定积最大”
“一正，二定，三相等”
四、课时小结
1．知识：
2．思想方法：数形结合，放缩，类比，代换
五、作业布置
1．习题3.4 A组 1，3，4
2．活动与探究：已知都是正数，试从右图探索的大小关系，并证明你的结论。
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