【新课标】7.5.2三角形内角和定理 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
7.5.2三角形内角和定理
北师大版八年级上册
教学目标
1.掌握三角形外角的两条性质；
2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧；
3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。
情境导入
B
D
C
A
O
●
40°
70°
？
●
●
●
问题 发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
情境导入
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考 像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
新知讲解
1
2
3
特征:
2. 一条边是三角形的一条边;
3. 另一条边是三角形的某条边的延长线
1. 顶点在三角形的一个顶点上;
∠1、∠2、∠3有什么共同特征？
新知讲解
定义：
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，
叫做三角形的外角。
一个三角形有几个外角？
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
A
B
C
议一议
A
C
B
D
∠1=∠A+∠B
你能证明此结论吗？
∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？
∠1与∠2互补
1
2
∠1+∠2=180°(平角的定义).
∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B
新知讲解
如图，∠1+∠2=180°（平角的定义），
∠A+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理），
所以∠1= ∠A+∠B（等量代换）.
所以∠1＞∠A，∠1＞∠B.
归纳总结
定理：三角形的一个外角大于任何一个与它
不相邻的内角.
A
B
C
符号语言：
三角形内角和定理有关外角的两个推论：
∵ ∠1 是△ABC 的外角
∴ ∠1=∠B+∠C
符号语言：
∵ ∠1 是△ABC 的外角
∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C
定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
1
新知讲解
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
新知讲解
例2 如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥ BC.
A
C
D
B
E
证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C (已知),
2
3
1
∴∠C=∠EAC (等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥ BC(内错角相等,两直线平行).
想一想
对于例2还有其他证明方法吗？
证法二:推理可得:
∠DAC=∠C (已证),
∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).
∴∠BAC+∠B+∠DAC =180°(等量代换).
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
A
C
D
B
E
典例精析
例3.如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证: ∠BPC＞∠A.
证明: 如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义),
∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A.（不等式的性质）
D
A
B
C
P
还有其他证明方法吗？
练一练
如图，点P是△ABC内的一点，连接BP和CP.
证明∠BPC ＞ ∠A．
P
A
B
C
D
证明: 如图
∵∠BPD是△ABP的一个外角(外角定义),
∴∠BPD>∠BAP(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∵∠DPC是△PAC的一个外角(外角定义),
∴∠DPC>∠PAC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPD+∠DPC> ∠BAP+ ∠PAC.（不等式的性质）
即∠BPC ＞ ∠A
课堂练习
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
C
B
课堂练习
3.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.
4．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD.若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD= .
78°
50°
课堂练习
证明：∵ ∠1 +∠BAF=180°(1平角= 180°)
∠2 +∠CBD=180°
∠3 +∠ACE=180°
又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180°
(三角形内角和定理)
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3× 180°
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 ° - 180°= 360°
5.已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
A
B
3
1
2
F
D
E
C
课堂总结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
板书设计
7.5.2三角形的内角和定理
1.三角形的外角定义
2.三角形的外角性质
作业布置
教材183页习题第1，2，3题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin